3.1直线的倾斜角与斜率（通用）

直线的斜率素材一、选择题1下列说法中，正确的是()A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则sin 0D任意直线都有倾斜角，且90时，斜率为tan 解析：对于A，当90时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan ，但只有0180时，才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，0，sin 0，故C不正确，故选D.答案：D2已知l1l2，直线l1的倾斜角为60，则直线l2的倾斜角为()A60B120C30D150解析：当两直线互相垂直时，两直线的倾斜角相差90，由l1的倾斜角为60，知l2的倾斜角为150.答案：D3如果过点A(2，a)，B(a, 4)的直线的斜率等于1，那么a的值为()A1B4C1或3D1或4解析：kAB1，a1.答案：A4若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有()Ak1k2k3Bk2k3k1Ck1k3k2Dk2k1k3解析：设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，由图可知32901，故相应斜率的关系为k10k3k2.答案：C二、填空题5在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为_解析：易知kAB，kAC，或kAB，kAC，kABkAC0.答案：06已知点A(1,21)，B(1,1)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率是_解析：因直线AB的斜率k，所以直线AB的倾斜角为60.从而可知，直线l的倾斜角为30，故直线l的斜率是tan 30.答案：三、解答题7直线l的斜率为k1m2(mR)，求直线l的倾斜角的取值范围解：k1m21，所以当k0,1时，倾斜角；当k(，0)时，倾斜角，故倾斜角的范围是.8如图所示，已知A(3,2)，B(4,1)，C(0，1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角解：直线AB的斜率kAB；直线BC的斜率kBC；直线CA的斜率kCA1.由kAB0及kCA0知，直线AB与直线CA的倾斜角均为锐角；由kBC0知，直线BC的倾斜角为钝角一、选择题1(2015青岛一中联考)若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()Am1Cm1解析：由l的倾斜角为锐角，可知kAB0，即m1.答案：A2(2017北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i1,2,3记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_解析：设A1(xA1，yA1)，B1(xB1，yB1)，线段A1B1的中点为E1(x1，y1)，则Q1yA1yB12y1因此，要比较Q1，Q2，Q3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点纵坐标的大小，作图比较知Q1最大又p1，其几何意义为线段A1B1的中点E1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p1，p2，p3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p2最大答案：Q1p2二、填空题3已知三点A(1a，5)，B(a,2a)，C(0，a)共线，则a_.解析：当过A，B，C三点的直线斜率不存在时，即1aa0，无解当过A，B，C三点的直线斜率存在时，则kABkBC，即3，解得a2.综上，A，B，C三点共线时a的值为2.答案：24ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(1,1)，C(2，1)若D为ABC的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围是_解析：由斜率公式得kAB0，kBC，kAC.如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，k的取值范围为.答案：三、解答题5已知两点P(3,4)，Q(3,2)，过点A(1,0)的直线l与线段PQ有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解：如图，由题意可知kPA1，kAQ0.(1)要使直线l与线段PQ有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1或k1.(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PA与AQ的倾斜角之间，又PA的倾斜角是135，QA的倾斜角是45