§2.6-函数模型及其应用(一)

2 6 函数模型及其应用 一 学习目标 1 数学模型与建模 解决实际问题的一般步骤 2 培养分析问题解决问题 应用数学的能力 教学过程 一 复习引入 试解决以下问题 某种商品进货单价为 40 元 按单价每个 50 元售出 能卖出 50 个 如果 零售价在 50 元的基础上每上涨 1 元 其销售量就减少一个 问零售价上涨到多少元时 这 批货物能取得最高利润 二 新课讲授 总结解应用题的策略 解决应用题的一般程序是 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 建模 将文字语言转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 解模 求解数学模型 得出数学结论 还原 将用数学知识和方法得出的结论 还原为实际问题的意义 一般思路可表示如下 三 典例欣赏 例 1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 200 万元 生产每台计算机的可 变成本为 3000 元 每台计算机的售价为 5000 元 分别写出总成本 C 万元 单位成本 P 万 元 销售收入 R 万元 以及利润 L 万元 关于总产量 台 的函数关系式 如果集团 公司不亏本 集团公司应该至少生产多少台 例 2 某科技公司生产一种产品的固定成本为 20000 元 每生产一个产品增加投资 100 元 已知总收益满足 其中是产品的月产量 求每月生产多少个产品时该科技公司的利润最大 最大利润是多少 注 总收益 总成本 利润 例 3 某民营企业生产 A B 两种产品 根据市场调查与预测 A 产品的利润与投资成正比 其关系如图甲 B 产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图乙 注 利润与投资单 位 万元 分别将 A B 两种产品的利润表示为投资 万元 的函数关系式 该企业已筹集到 10 万元资金 并全部投入 A B 两种产品的生产 问 怎样分配这 10 万元投资 才能使企业获得最大利润 其最大利润为多少万元 针对训练 班级 姓名 学号 1 A B 两地相距 150km 某汽车以 50km h 的速度从 A 到 B 到达 B 后在 B 地停留 2 个小 时之后又从 B 地以 60km h 的速度返回 该车离开 A 地的距离 S km 与时间 t 小时 的 函数关系为 2 某公司将进货单价为 8 元一个的商品按 10 元一个销售 每天可卖出 100 个 若销售时 商品的销售价每个上涨一元 则销售量就减少 10 个 那么利润最大时 销售价上涨了多少 元 3 已知某皮鞋厂一天的生产成本 C 元 与生产数量 n 双 之间的函数关系是 C 4000 50n 若 每双皮鞋的售价为 90 元 且生产的皮鞋全部售出 1 试写出这一天的利润 P 关于这一天的生产数量 n 的函数关系式 2 每天至少生产多少双皮鞋 才能不亏本 4 一个小服装厂生产某种风衣 月销售量 x 件 与售价 P 元 件 之间的关系为 P 160 2x 生产 x 件的成本 R 500 30 x 元 1 该厂的月产量多大时 月获得的利润不少于 1300 元 2 当月产量为多少时 可获得最大利润 最大利润是多少元 5 在经济学中 函数的边际函数定义为 某公司每月最多生产 100 台报警系统装置 生产台 的收入函数 单位 元 其成本函数为 单位 元 利润是收入 与成本之差 求利润函数及边际利润函数 利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值 6 有甲 乙两种产品 生产这两种产品所能获得的最大效益依次为 P 和 Q 万元 它们 与投资 x 万元 的关系是 P Q 今投资 3 万元资金生产甲 乙两种产品 为获取最大 收益 对甲 乙两种产品的资金投入分别就为多少 6 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元 每生产千件需另投入 2 7 万元 设该公司年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完 每千件的销售收入 R x 为万元 且 1 写出年利润 W 万元 关于年产品 x 千件的函数解析式 2 年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大 7 某工厂第一季度某产品月生产量分别为 1 万件 1 2 万件 1 3 万件 为了估测以后各月的 产量 以这三个月的产量为依据 用一个函数模拟产品的月产量 y 万件 与月份数 x 的 关系