高三数学理科平面向量的概念与运算平面向量的数量积例题分析人教

高三数学理科平面向量的概念与运算 平面向量的数量积例题分析一. 本周教学内容：平面向量的概念与运算、平面向量的数量积二. 本周教学重、难点：1.（1）了解共线向量的概念、平面向量的基本定理；会将平面向量用两个非共线向量表示。（2）理解向量的概念，理解两个向量共线的充要条件。（3）掌握向量的几何表示，向量的加法与减法、实数与向量的积。2. 掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的运算及运算律和坐标运算；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。【典型例题】例1 在中，BN与CM交于点E，用表示。解：由已知得，设，则而 同理，设，则 由与不是共线向量，得，解得 ，即例2 如图，已知ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于K，用向量方法求的值。解：设，则 设，则又B、K、F三点共线 存在实数，使即 由（1）：，代入（2） 例3 O为坐标原点，已知A（3，1）B（）若C满足，其中，且，则点C的轨迹方程为？解：由已知得A、B、C三点共线 即例4 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（ ）A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：如图1，令，图1方法一：，则动点P满足，所以点P的轨迹是由点A出发的射线因为所以四边形为菱形，所以平分因此，点P的轨迹一定通过的内心方法二：当时，因为所以得又因为两向量夹角的余弦函数在闭区间上递减所以因为A、B、C不共线，所以AP平分，得点P的轨迹一定通过的内心方法三：考虑特殊情形，取为等腰直角三角形，即，如图2这时，的外心为AC的中点D，垂心为点B而由题设知点P的轨迹是由点A出发，方向为的射线，不经过点D，也不经过点B，故排除A、D两个选项。其次，由于。知射线不平分BC，即不通过的重心，排除选项C，从而得选项B为答案。图2例5 在直角坐标系中，已知点A（0，1）和点B（）。若点C在的平分线上且，则 。解：设的平分线交AB于D点由内角平分线定理，知 例6 设有两个向量，今有动点P从开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为；另一动点Q从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为。 设P、Q在秒时分别在、处，则当时，为多少秒？解：由题意，故P、Q两点的坐标分别为和 ， ，故，即解得例7 已知是同一平面内的三个向量，其中。（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角。解：（1）设 又 ，且 ，由得或（2） 即 夹角为例8 已知向量和，且，求的值。解析：方法一： 由已知，得又 方法二： 由已知，得 一. 选择题：1. 设为不共线向量，则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，向量，如果，那么等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P与的关系为（ ）A. P在的内部B. P在的外部C. P在AB边或其延长线上D. P在AC边上且是AC的一个三等分点4. 已知点A（），B（0，0），C（），设的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于（ ） A. 2 B. C. D. 5. 与向量平行的单位向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若，则在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量与向量互相垂直且=，若，则等于（ ）A. B. C. 或 D. 或二. 解答题：1. 如图所示，D、E是中，AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知。试用表示和。2. 已知A（3，0），B（0，3），C（），O为原点。（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若且，求与的夹角。3. 在平行四边形ABCD中，A（1，1），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P，（1）若，求点C的坐标；（2）当时，求点P的轨迹。参考答案http:/www.DearEDU.com一.1. B 解析：2. C解析：令（），则有3. D解析： 又 即，即P分所成的比为24. C解析：在中，AC=1， AB=2 由内角平分线的性质知 BE=2EC 又 与反向 5. D 解析：与平行的单位向量为6. A 解析：7. C 解析：投影为8. D解析：设，由题意知，消去，得故或二.1. 解析：由三角形的中位线定理，知，故，即2. 解析：（1） 即 （2）