人教版七年级数学上册期末各章复习巩固资料VIP

第一章第一章 有理数总复习有理数总复习 一 知识归纳 一 知识归纳 1 数轴是一条规定了原点 方向 长度单位的直线 有了数轴 任何一个有理数都可以用它上面的一个确定的点来表示 在数的研究上它起着重要的作 用 它使数和最简单的图形 直线上的点建立了对应关系 它揭示了数和形之间的内在关系 因此它 是数形结合的基础 但要注意数轴上的所有点并不是都有有理数和它对应 借助于数轴上点的位置关系可以比较有理数的大小 法则是 在数轴上表示的两个有理数 右边的 数总比左边的数大 2 相反数是指只有符号不同的两个数 零的相反数是零 互为相反的两个数位于数轴上原点的两边 离开原点的距离相等 有了相反数的概念后 有理数的减法运算就可以转化为加法运算 3 绝对值 在数轴上 一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值 显然有 正数的绝对值 是它本身 负数的绝对值是它的相反数 零的绝对值是零 对于任何有理数 a 都有 a 0 4 倒数可以这样理解 如果 a 与 b 是非零的有理数 并且有 a b 1 我们就说 a 与 b 互为倒数 有了倒数的概念后 有理数的除法运算就可以转化为乘法运算 5 有理数的大小比较 1 正数都大于零 负数都小于零 即负数 零 正数 2 两个正数 绝对值大的数较大 3 两个负数 绝对值大的数反而小 4 在数轴上表示的有理数 右边的数总比左边的大 6 科学记数法 是指任何数记成 a 10n的形式 其中用式子表示 a 的范围是 0 a 10 7 近似数与精确度 近似数 一个与实际数很接近的数 称为近似数 精确度 右边最后一位数所在的位数 就是精确到的数位 二 有理数的运算法则二 有理数的运算法则 1 有理数的加法法则 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相 等时和为 0 绝对值不等时 取绝对值较大的数的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一个数同 0 相加 仍得这个数 由此可得 互为相反数的两数相加的 0 三个数相加先把前两个数相加 或先把后 两个数相加 和不变 2 有理数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数 注意 一切加法和减法运算都可以统 一成加法运算 3 有理数的乘法法则 两数相乘 同号得正 异号得负 绝对值相乘 任何数同零相乘都得零 4 有理数的除法法则 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 零除以任何一个不为零 的数都得零 5 有理数混合运算的顺序 有理数混合运算中 先算乘方 再算乘除 最后算加减 运算中 如果 有括号 就先算括号里面的 6 有理数的运算律 交换律 a b b a ab ba 结合律 a b c a b c ab c a bc 乘法对加法的分配律 a b c ab ac 三 值得注意的几个问题三 值得注意的几个问题 1 数的范围扩大到有理数后 一定要注意考虑负数 如不能认为 最小的整数是零 2 有理数都可以用数轴上的点表示 但数轴上的点不都表示有理数 3 单独的一个数或字母 省略的指数是 1 而不是零 4 对负数或分数进行乘方运算要注意加括号 如当 3 a 时 9 3 22 a 而不是 932 2 a 5 有理数的运算要特别注意符号 基础回顾与练习 一 一 正负数正负数 有理数的分类 统称整数整数 试举例说明 统称分数分数 试举例说明 统称有理数有理数 基础练习基础练习 1 把下列各数填在相应额大括号内 1 1 0 10 1 789 789 2525 0 0 20 20 3 14 3 14 590 590 6 76 7 正整数集 正有理数集 负有理数集 负整数集 自然数集 正分数集 负分数集 2 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落 规定上涨记为正 则 5 8 元的意义是 如果这种油的原价是 76 元 那么现在的卖价是 二二 数轴数轴 规定了规定了 的直线 叫数轴的直线 叫数轴 基础练习基础练习 1 如图所示的图形为四位同学画的数轴 其中正确的是 2 在数轴上画出表示下列各数的点 并按从大到小的顺序排列 用在数轴上画出表示下列各数的点 并按从大到小的顺序排列 用 号连接起来 号连接起来 4 4 2 2 4 5 4 5 1 1 0 0 3 下列语句中正确的是 数轴上的点只能表示整数 数轴上的点只能表示分数 数轴上的点只能表示有理数 所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4 比 3 大的负整数是 已知 是整数且 4 m0 时 a 2 当 a 是负数 即 a0 B 2 02 0 C 7 5 7 4 D 06 4 如果两个非零有理数的和为零 那么它们的商是 A 0 B 1 C 1 D 1 5 在数轴上 下面说法不正确的是 A 在两个有理中数绝对值大的离原点远 B 在两个有理数中较大的在右边 C 在两个有理数中 较大的离原点远 D 在两个负有理数中 较大的离原点近 6 若a与b互为相反数 则下列式子不成立的是 A 0 ba B a b C 0 ba D b a 7 一个有理数的相反数大于它本身 这个数是 A 负有理数 B 零 C 正有理数 D 不可能存在 8 下列说法 1 在 3 和 4 之间没有正数 2 在 0 与 1 之间没有负数 3 在 1 和 2 之间有很多个正分数 4 在 0 1 和 0 2 之间没有正分数 则正确的是 A 3 B 4 C 1 2 3 D 3 4 9 某商店规定 用 4 个矿泉水空瓶可以换取矿泉水一瓶 小明现有 16 个矿泉水空瓶 若小明只用这 16 个 矿泉水空瓶 且不再花钱 那么他最多可以换矿泉水 A 3 瓶 B 4 瓶 C 5 瓶 D 6 瓶 10 下列叙述正确的是 A 若ba 则 a b B 若baba 则 C 若 a0 所以 2x2 4 0 即 M N 0 所以 M1 个点 每个图 形总的点数 S 是多少 当 n 7 100 时 S 是多少 本章精练二 一一 选择题 每题选择题 每题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 1 在代数式 n 2 33 m 2 2 3 2 m 2 2 b 中 单项式的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 下列语句正确的是 A 中一次项系数为 2 B 是二次二项式 C 是四次三项式 D 是五次三项式 3 下列各组中的两项 属于同类项的是 A yx22 与 2 xy B 5yx2与 0 5zx2 C 3mn与 4nm D 05 ab与abc 4 单项式 3 2 24c ab 的系数与次数分别是 A 2 6 B 2 7 C 3 2 6 D 3 2 7 5 下列合并同类项正确的是 A 325abab B 770mm C 336 22 ababa b D a ba bab 22 2 6 已知 x2 3x 5 的值为 7 那么代数式 3x2 9x 2 的值是 A 0 B 2 C 4 D 6 7 如果綦江电影院第一排有 m 个座位 后面每排比前一排多 2 个座位 那么第n排的座位数共有 个 A mn 2 B mn 2 C 1 2 nm D 2 nm 8 多项式833 22 xyykxyx化简后不含xy项 则k为 A 0 B 3 1 C 3 1 D 3 9 当x分别等于 1 和 1 时 代数式xx 42 25 的值 A 异号 B 相等 C 互为相反数 D 互为倒数 10 若abab 3 则 baba baba 2 22 等于 A 4 1 B 2 1 C 4 3 D 1 二二 填空题 每题填空题 每题 4 4 分 共分 共 2020 分 分 11 2 5 ab 的系数是 12 一个多项式加上 x2 x 2 得 x2 1 则此多项式应为 13 如果 1 3 xmy 与 2x2yn 1是同类项 则 m n 14 一个多项式 A 减去多项式 2x2 5x 3 马虎同学错将减号抄成了加号 运算结果得 x2 3x 7 多项 式 A 是 15 某学校三个班参加植树活动 第一个班种 x 棵 第二个班种的树比第一班种的树的 2 倍还多 8 棵 第 三班种的树比第二班种的树的一半少 6 棵 三个班共种树 棵 三三 解答题 共解答题 共 4040 分 分 16 化简下列各题 每题 5 分 共 10 分 1 34 135 232 aaaa 2 2 5 2 3 2 222 abaabbaab 17 10 分 对于多项式 分别回答下列问题 1 是几项式 2 写出它的最高次项 3 写出最高次项的次数 4 写出多项式的次数 5 写出常数 项 18 共 10 分 求代数式的值 2 5 3 2 222 mnmmnmmmn 其中1m 2n 19 共 10 分 一位同学做一道题 已知两个多项式 A B 计算 2A B 他误将 2A B 看成 A 2B 求得的结果为 9x2 2x 7 已知 B x2 3x 2 求正确答案 第三章 一元一次方程 一 知识梳理 1 方程 1 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程 2 方程的解 能够使方程左 右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解 3 解方程 求方程解的过程叫做解方程 2 一元一次方程 只含有一个未知数 并且未知数的次数是 1 这样的方程叫做一元一次方程 3 解一元一次方程的步骤 去分母 在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数 注意不要漏乘不含分母的项 分子为多项式 的要加上括号 去括号 一般先去小括号 再去中括号 最后去大括号 注意不要漏乘括号里的项 当括号前是 时 去掉括号时注意括号内的项都要变号 移项 将含有未知数的项移到方程的一边 不含未知数的项移到方程的另一边 注意移项要变号 移项和交换位置不同 合并同类项 将同类项合并成一项 把方程化为 ax b a 0 的形式 注意只合并同类项的系数 系数化为 1 在方程 ax b 的两边都除以 a 求出方程的解 x a b 注意符号 不要把方程 ax b 的 解写成 x b a 4 列方程解应用题的步骤 1 读题找相等关系 认真读题 理解题意 分清已知与未知 找出相等关系 2 设出适当的未知数 根据问题的实际情况 设未知数可以直接设未知数 也可以间接设未知数 3 列方程 根据问题中的一个相等关系列出方程 4 解方程 解所列的方程 求出未知数的值 5 写出所求解的答案 求到方程的解 要检验它是否符合实际意义 如果符合实际意义 要写出 完整的答案 5 实际问题的常见类型 1 利息问题 相关公式 本金 利率 期数 利息 未扣税 相等关系 本息 本金 利息 2 利润问题 相关公式 利润率 利润 进价 相等关系 利润 售价 进价 3 等积变形问题 相关公式 长方体的体积 长 宽 高 圆柱的体积 底面积 高 相等关系 变形前的体积 变形后的体积 4 工程问题 数量关系 工作量 工作时间 工作效率 相等关系 总工作量 各部分工作量的和 5 行程问题 相关数量关系 路程 时间 速度 相等关系 相遇问题 两者路程和 总路程 追及问题 两者路程差 相距路程 二 思想方法总结二 思想方法总结 1 方程的思想 方程的思想就是把末知数看成已知数 让代替未知数的字母和已知数一样参与运算 这是一种很重要的数学思想 很多问题都能归结为方程来处理 2 数形结合的思想 数形结合的思想是指在研究问题的过程中 由数思形 由形思数 把数和形结 合起来分析问题的思想方法 本章在列方程解应用题时常采用画图 列表格的方法展示数量关系 使问 题更形象 直观 3 化归思想 所谓化归思想 是指在如解数学问题时 如果对当前的问题感到困惑 可把它先 进行交换 使之筒化 并得到解决的思维方法 如本章解方程的过程 就是把形式比较复杂的方程 逐 步化简为最简方程 ax b a 0 从而求出方程的解 通过对解一元一次方程的学习要体会并掌据化归这一 数学思想方法 三 易错点突破 易错点突破 1 应用等式的基本性质时出现错误 例 1 下列说法正确的是 A 在等式 ab ac 中 两边都除以 a 可得 b c B 在等式 a b 两边都除以 c2 1 可得 11 22 c b c a C 在等式 a c a b 两边都除以 a 可得 b c D 在等式 2x 2a 一 b 两边都除以 2 可得 x a 一 b 剖析 A 中 a 代表任意数 当 a 0 时结论成立 但当 a 0 时 不能运用等式的性质 2 结论不一定 成立 如 0 3 0 1 但 3 1 所以 等式两边同时除以一个数 要保证除数不为 0 才能行 B 中 c2 1 0 所以成立 C 用的性质错误 应在等式两边都乘以 a D 中一 b 这一项没除以 2 应为 x a 2 b 选 B 2 去分母去括号时出现漏乘现象或出现符号错误 移项不变号 错把解方程的过程写成 连等 的形式 例 2 解方程 5 6 2 5 23 xx 错解 5 6 2 5 23 xx 3x 2 10 x 6 2x 2 x 1 剖析 错解的原因是对方程的变形理解不深 受到代数式运算时使用连等式的习惯影响 正解 去分母得 3x 2 10 x 6 移项合并同类项得 2x 2 所以 x 1 3 列方程解应用题时常出现的错误 1 审题不清 没有弄请各个量所表示的意义 2 列方程出现错误 3 应用公式错误 3 单住不统一 4 计算方法出现错误 考点例析 考点一考点一 考查基本概念考查基本概念 例 1 若关于x的方程 2 x 1 a 0 的解是 3 则a的值是 A 4 B 4 C 5 C 5 分析 方程的解是指能使方程左右两边相等的未知数的值 将x 3 代入方程 左右两边相等 从而可以 解出a 解 把x 3 代入方程 得 2 3 1 a 0 解得a 4 例 2 一个一元一次方程的解为 2 请写出这个方程 分析 解为 2 的一元一次方程有无数个 故此题的答案不惟一 解决此题我们可以利用等式的基本性质在 x 2 的两边同时加 或减 同一个整式 或同时乘上 或除以 同一个数 解 如x 1 1 2x 4 3x 2 4 等 考点二考点二 考查一元一次方程的构建考查一元一次方程的构建 例 3 如果单项式 4x2ya 3与 2x2y3 2a是同类项 那么a为 A 2 B 1 C 0 D 1 分析 同类项是指所含字母相同 相同字母的指数也相同的项 所以a 3 3 2a 从而可以解出a 解 根据同类项的定义 知a 2 3 2a 解得a 0 故选 C 例 4 某商店销售一批服装 每件售价 150 元 可获利 25 求这种服装的成本价 设这种服装的成本价为 x元 则得到方程 A x 150 25 B 25 x 150 C 150 x 25 x D 150 x 25 分析 根据利润率 得 150 x 25 x 售价 进价 进价 解 选 C 考点三考点三 考查一元一次方程的解法考查一元一次方程的解法 例 5 解方程 x 2 1 x 2 3 1 x 分析 这是一道一元一次方程的求解题 按照去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 这五个 步骤逐步求解 解时要留意每步的注意点 解 去分母 得 6x 3 x 1 12 2 x 1 去括号 得 6x 3x 3 12 2x 2 移项 得 6x 3x 2x 12 2 3 合并同类项 得 5x 7 系数化为 1 得x 7 5 考点三考点三 考查一元一次方程的应用考查一元一次方程的应用 例 6 某同学在A B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同 书包单价也相同 英语学习机和书包 单价之和是 452 元 且英语学习机的单价比书包单价的 4 倍少 8 元 1 求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元 2 某一天该同学上街 恰好赶上商家促销 超市A所有商品打 7 5 折销售 超市B全场购物满 100 元返购物券 30 元销售 不足 100 元不返券 购物券全场通用 但他只带了 400 元钱 如果他只在一 家超市购买看中的英语学习机 书包 那么在哪一家购买更省钱 分析 1 设书包的单价为x元 则英语学习机的单价为 4x 8 元 根据 英语学习机和书包单价之 和是 452 元 列出方程 求出书包和英语学习机的单价 2 分别求出在超市A B购买看中的英语学 习机 书包的费用 通过比较大小即可知道那种方式购买更省钱 解 1 设书包的单价为x元 则英语学习机的单价为 4x 8 元 根据题意 得 4x 8 x 452 解得x 92 4x 8 4 92 8 360 答 该同学看中的英语学习机单价为 360 元 书包单价为 92 元 2 在超市A购买英语学习机与书包各一件 需花费现金 452 75 339 元 因为 339 400 所以可以选择超市A购买 在超市B可先花费现金 360 元购买英语学习机 再利用得到的 90 元购物券 加上 2 元现金购买书包 总计共花费现金 360 2 362 元 因为 362 400 所以也可以选择在超市B购买 但是 由于 362 339 所以在超市A购买英语学习机与书包 更省钱 专题练习一 内容 一元一次方程 3 1 3 2 一 选择题 每题一 选择题 每题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 1 下列方程中是一元一次方程的是 A 3x 2y 5 B y2 6y 5 0 C 1 3 x 3 1 x D 4x 3 0 2 下列方程的解正确的是 A x 3 1 的解是 x 2 B 1 2 x 2x 6 的解是 x 4 C 3x 4 5 2 x 3 的解是 x 3 D 1 3 x 2 的解是 x 3 2 3 在下列方程中 解是 x 1 的是 A 2x 1 1 B 1 2x 1 C 1 2 x 2 D 13 32 xx 2 4 已知 x y 则下面变形错误的是 A x a y a B x a y a C 2x 2y D xy aa 5 如果812 x 那么14 x A 15 B 16 C 17 D 19 6 方程 2 1 m 3 1 m 5 6 1 m 的解是 A 5 B 10 C 15 D 30 7 方程 2 247 36 xx 去分母得 A 2 2 2x 4 x 7 B 12 2 2x 4 x 7 C 12 4x 8 x 7 D 12 2 2x 4 x 7 8 与方程 x 23 3 x 1 的解相同的方程是 A 3x 2x 2 1 B 3x 2x 3 3 C 2 x 5 1 D 1 2 x 3 0 9 若关于 x 的一元一次方程 23 32 xkxk 1 的解为 x 1 则 k 的值为 A 2 7 B 1 C 13 11 D 0 10 为确保信息安全 信息需要加密传输 发送方由明文 密文 加密 按收方由密文 明文 解密 已知加密规则为明文 a b c 对应的密文 a 1 2b 4 3c 9 例如明文 1 2 3 对应的密文为 2 8 18 如果接收的密文 7 18 15 则解密得到的明文为 A 4 5 6 B 6 7 2 C 2 6 7 D 7 2 二 填空题 每题二 填空题 每题 4 4 分 共分 共 2020 分 分 11 若024 1 m x是一元一次方程 则 m 12 合并下列相同字母的项 1 xxx75 2 yyy y 2 5 2 3 2 13 方程2006342 xx的解是 14 当 x时 代数式53 x与x21 的值相等 15 若方程043 x与方程1246 kx的解相同 则 k 三 解答题 共三 解答题 共 4040 分 分 16 解方程 每小题 5 分 共 10 分 1 3467 xx 2 1 352 xx 17 解方程 每小题 5 分 共 10 分 1 2 5 21 4 32 yyy 2 1 3 8 2 3 xx 18 共 10 分 x 取什么数时 23 x的 1 2 是4 x的相反数 9 共 10 分 当4 x时 多项式14 xax的值是3 那么当5 x时 这个多项式的值是多少 内容 一元一次方程一元一次方程 3 3 3 3 本章末本章末 一 选择题 每题一 选择题 每题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 1 下列方程中 属于一元一次方程的是 A x 3 B x2 1 0 C 2x 3 0 D x y 3 2 下列方程中 解是 2 的方程是 A 3x 6 0 B 1 4 x 1 2 0 C 2 3 x 2 D 5 3x 1 3 已知 x 2 是方程 2x m 4 0 的一个解 则 m 的值是 A 8 B 8 C 0 D 2 4 已知等式 a b c 为任意有理数 则下列等式中 不一定成立的是 A a c b c B a c b c C ac bc D ab cc 5 一件标价为 250 元的商品 若该商品按八折销售 则该商品的实际售价是 A 180 元 B 200 元 C 240 元 D 250 元 6 下列四组变形中 变形正确的是 A 由 5x 7 0 得 5x 7 B 由 2x 3 0 得 2x 3 3 0 C 由 6 x 2 得 x 1 3 D 由 5x 7 得 x 35 7 下列各组方程中 解相同的方程是 A x 3 与 4x 12 0 B x 1 2 与 2 x 1 2x C 7x 6 25 与 71 5 x 6 D x 9 与 x 9 0 8 解方程 14 32 xx 1 去分母正确的是 A 2 x 1 3 4x 1 1 B 2x 1 12 x 1 C 2 x 1 3 4 x 6 D 2x 2 12 3x 6 9 一件工作 甲单独做 20 小时完成 乙单独做 12 小时完成 现由甲独做 4 小时 剩下的甲 乙合做 还需几小时 设剩下部分要 x 小时完成 下列方程正确的是 44 1 1 202012202012 44 1 1 202012202012 xxxx AB xxxx CD 10 甲 乙两种衣服售价均为 60 元 其中一件衣服赢利 20 另一件衣服亏损 20 当商家同时卖出这两 种衣服各一件时 A 不赢不亏 B 赢利 5 元 C 亏损 5 元 D 赢利 6 元 二 填空题 每题二 填空题 每题 4 4 分 共分 共 2020 分 分 11 方程 6x 5 3x 的解是 12 若 x 3 是方程 2x 10 4a 的解 则 a 13 一张试卷上有只有 20 道选择题 做对一道题得 4 分 做错一道题倒扣 1 分 某学生做了全部试卷 共得 70 分 他做对了 道 14 敌我两军相距 14 千米 敌军于 1 小时前以 4 千米 小时的速度逃跑 现我军以 7 千米 小时的速度 追击 小时后可追上敌军 15 某超市规定 如果购买不超过 50 元的商品时 按全额收费 购买超过 50 元的商品时 超过部分按九 折收费 某顾客在一次消费中 向售货员交纳了 212 元 那么在此次消费中该顾客购买了价值 元的商品 三 解答题 共三 解答题 共 4040 分 分 16 解方程 每小题 5 分 共 10 分 1 8725 xx 2 1 3 12 2 3 xx 17 10 分 如图所示 在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片 这些卡片的大小相同 卡片之间露 出了三块正方形的空白 在图中用斜线标明 已知卡片的短边长度为 10 厘米 想要配三张图片来填 补空白 需要配多大尺寸的图片 18 10 分 下表为某相馆的价目表 今逢开业周年庆 底片冲洗与照片冲洗皆打八折 小颖带了一卷底 片去冲洗相纸为 布纹 的照片若干张 打折后共付了 16 8 元 请问小颖洗了多少张照片 项 目费 用 底片冲洗费3 元 卷 相知规格 布纹 照片冲 洗费 0 50 元 张 19 10 分 某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机 已知该厂家生产 3 种不同型号的电 视机 出厂价分别为 A 种每台 1500 元 B 种每台 2100 元 C 种每台 2500 元 1 若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台 用去 9 万元 请你研究一下商场的进货方 案 2 若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元 销售一台 B 种电视机可获利 200 元 销售一台 C 种电 视机可获利 250 元 在同时购进两种不同型号的电视机方案中 为了使销售时获利最多 你选择哪种方 案 专题训练二 应用题专项 1 和差倍分问题 年龄问题 比例问题 日历问题 1 姐姐 4 年前的年龄是妹妹的 2 倍 今年年龄是妹妹的 1 5 倍 求姐姐今年的年龄 2 1992 年 妈妈 52 岁 儿子 25 岁 哪一年妈妈的年龄是儿子的 4 倍 3 爸爸和女儿两人岁数加起来是 91 岁 当爸爸岁数是女儿现在岁数两倍的时候 女儿岁数是爸爸现在岁 数的 那么爸爸现在的年龄是多少岁 女儿现在年龄是多少岁 4 建筑工人在施工中 使用一中混凝土 是由水 水泥 黄沙 碎石搅拌而成的 这四种原料的重量的 比是 0 7 1 2 4 7 搅拌这种混凝土 2100 千克 分别需要水 水泥 黄沙 碎石多少千克 5 小名出去旅游四天 已知四天日期之和为 65 求这四天分别是哪几日 2 等积问题 1 直径为 30 厘米 高为 50 厘米的圆柱形瓶里存满了饮料 现把饮料倒入底面直径为 10 厘米的圆柱形 小杯中 刚好倒满 20 杯 求小杯子的高 2 用 60 米长的篱笆 围成一个长方形的花圃 若长比宽的 2 倍少 3 米 则长方形的面积是多少 3 将一个长 宽 高分别为 15 厘米 12 厘米和 8 厘米的长方体钢块 锻造成一个底面边长为 12 厘米的 正方形的长方体零件钢坯 试问是锻造前长方体钢块的表面积大 还是锻造后的长方体零件钢坯的表面 积大 请计算回答 3 行程问题 航行问题 相遇问题 追及问题 火车过桥问题 1 一艘轮船 航行于甲 乙两地之间 顺水用 5 小时 逆水比顺水多用 2 小时 已知轮船在静水中的速 度是每小时 52 千米 求水流的速度 2 小红和小明绕周长为 1200 米的湖晨练 小红的速度为 85 米 分 小明比她快 10 米 分 1 如果两人同时同向同一地点开跑 多少分钟两人会相遇 2 如果两人同时相向同地开跑 多少分钟两人会相遇 3 如果小红在小明前面 200 米两人同时反向开跑 多少分钟两人会相遇 3 甲乙两人骑自行车 从相距 60 千米的两地相向而行 甲每小时走 12 千米 乙每小时走 10 千米 如甲走 15 分钟后乙再出发 问甲出发后几小时与乙相遇 4 敌军和我军相距 27 千米 敌军以 4 千米 小时的速度逃跑 我军迅速以 7 千米 小时的速度追击敌军 需 几小时可以追上 5 一列火车以每分钟 1 千米的速度通过一座长 400 米的桥 用了半分钟 则火车本身的长度为多少米 6 小强 小芳 小亮在郊游 看到远处一列火车匀速通过一个隧道后 产生了以下对话 各位同学 请 根据他们的对话求出这列火车的长 4 劳力调配及配套问题 小亮 我爸爸参与过这个 隧道的修建 他告诉我隧 道长 500 米 小芳 整列火车完全 在隧道里的时间是 20 秒 小强 火车从开始进 入隧道到完全开出 隧道共用 30 秒 1 甲车队有 15 辆汽车 乙车队有 28 辆汽车 现调来 10 辆汽车分给两个车队 使甲车队车数比乙车队 车数的一半多 2 辆 应分配到甲乙两车队各多少辆车 2 某车间有工人 85 人 平均每人每天可加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 人 又知二个大齿轮和三个小齿 轮配套一套 问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套 3 某队有 55 人 每人每天平均挖土 2 5 方或运土 3 方 为合理安排劳力 使挖出的土及时运走 应如 何分配挖土和运土人数 5 销售盈亏问题 1 某种衣服因换季打折销售 每件衣服如果按标价的 5 折出售将亏 60 元 而如果按标价的 8 折出售将 赚 120 元 问这件衣服的标价和成本各是多少元 2 某商品因换季准备打折出售 如果按定价的七五折出售将赔 25 元 而按定价的九折出售将赚 20 元 问这种商品的定价是多少元 3 团体购买公园门票 票价如下 购票人数 1 50 人 51 100 人 100 人以上 每人门票价分别是 65 元 55 元 45 元 问题 今有甲 乙两个旅游团 若分别购票 两团总计应付门票费 6570 元 若合在一起作为一个团体购 票 总计应须付 5040 元 问这两个旅游团各有多少人 6 银行利率问题 1 小颖的爸爸为了准备小颖 3 年后读高中的费用 准备用 1 万元参加教育储蓄 已知教育储蓄一年期 的利率为 2 25 三年期的利率为 2 70 现在有两种存法 1 一年 下一年连本带息再存一年 到期 后连本带息再存一年 2 接存一个三年期 请你帮着计算一下 小颖的爸爸应选择哪一种储蓄方式 7 数字问题 1 有一个两位数 个位数字是十位数字的 4 倍 把这个两位数的数字对调位置后 新的两位数比原两位 数多 54 则原两位数为多少 2 若有一个七位自然数 它的第一位数字是 3 若把 3 移到末位 其他数位上的数字顺序不变 则新数 等于这个原数的 2 倍还多 11 求原来的七位数 8 余不足问题 1 用化肥若干千克给一块麦田施肥 每亩用 6 千克 还差 17 千克 每亩用 5 千克 还多 3 千克 这 块麦田有多少亩 2 毕业生在礼堂入座 1 条长凳坐 3 人 有 25 人坐不下 1 条长凳坐 4 人 正好空出 4 条长凳 则 共有多少名毕业生 长凳有多少条 3 有一次数学竞赛共 20 题 规定做对一题得 5 分 做错或不做的题每题扣 2 分 小景得了 86 分 问小景对了几题 9 工程问题工程问题 1 有一个水池 用两个水管注水 如果单开甲管 2 小时 30 分注满水池 如果单开乙管 5 小时注 满水池 1 如果甲 乙两管先同时注水 20 分钟 然后由乙单独注水 问还需要多少时间才能把水池注满 2 假设在水池下面安装了排水管丙管 单开丙管 3 小时可以把一满池水放完 如果三管同时开放 多少小时才能把一空池注满水 2 一项工程 甲单独完成需要 9 天 乙单独完成需要 12 天 丙单独完成需要 15 天 若甲 丙先做 3 天 后 甲因故离开 由乙接替甲工作 问还需多少天能完成这项工程的 10 方案问题 1 某中学要添置某种教学仪器 方案 1 到商店购买 每件需要 8 元 方案 2 学校自己制作 每 件 4 元 另外需要制作工具的租用费 120 元 设需要仪器 x 件 1 分别求出方案 1 和方案 2 的总费用 2 当购制仪器多少件时 两种方案的费用相同 3 若学校需要仪器 50 件 问采用哪种方案便宜 请说明理由 2 张老师带领该校七年级 三好学生 去开展夏令营活动 甲旅行社说 如果老师买全票一张 则学生可享受半价优惠 乙旅行社说 包括老师在内按全票价的 6 折优惠 若全票价为 240 元 当 学生从数为多少人时 两家旅行社的收费一样多 3 某校七年级组织学生秋游 如果租用若干辆 45 座的客车 则有 15 人无座位 如果租用 60 座的 客车 则可比 45 座的客车少租 2 辆 且保证人人有座而无空位 求 1 七年级共有多少名学生 2 若 45 座客车的租金为每辆 420 元 60 座客车的租金为每辆 600 元 那么应如何安排客车的型号和 数量 使得租金最少 是多少元 11 其它问题 有一个伿允许单向通过的窄道口 通常情况下 每分种可以通过 9 人 一天 王老师到达道口 此时 自己前面还有 36 个人等待通过 假定先到的先过 王老师过道口的时间忽略不计 通过道口 还需 7 分 钟到达学校 1 此时 若绕道而行 要 15 分钟到达学校 从节省时间考虑 王老师应选择绕道去学校 还是选择是 通过拥挤的道口去学校 2 若在王老师等人的维持下几分钟后 秩序恢复正常 维持秩序期间 每分钟若有 3 人通过道口 结果 王老师比拥挤情况下提前 6 分钟通过道口问维持秩序的时间是多少 第四章 图形认识初步 一 知识梳理 二 重点 难点 二 重点 难点 角和平分线 等角的补角相等 等角的余角相等 角的度量 角的大小比较与运算 余角和补角 角 从不同方向看立体图形 展开立体图形 平面图形 几何图形 点 线 面 体 立体图形 平面图形 直线 射线 线段 线段大小的比较 两点确定一条直线 两点之间 线段最 短 立体图形与平面图形的互相转化 及一些重要的概念 性质等是本章的重点 建立和发展空间观念是空间与图形学习的核心目标之一 能由实物形状想象出几何图形 由几何图 形想象出实物形状 进行几何体与其三视图 展开图之间的相互转化是培养空间观念的重要方面 另外 对图形的表示方法 对几何语言的认识与运用 都要有一个熟悉的过程 等等这些 对于今后的学习都 很重要 同时也是本章的难点 三 知识要点 三 知识要点 本章的主要内容是图形的初步认识 从生活周围熟悉的物体入手 对物体的形状的认识从感性逐步 上升到抽象的几何图形 通过从不同方向看立体图形和展开立体图形 初步认识立体图形与平面图形的 联系 在此基础上 认识一些简单的平面图形 直线 射线 线段和角 1 多姿多彩的图形 通过多姿多彩的图形引入几何图形 使我们认识立体图形 平面图形 通过三 视图我们可以把立体图形转化为平面图形来研究和处理 也可以把立体图形展开为平面图形 几何体也 简称为体 包围体的是面 面面相交为线 线线相交为点 点动成线 线动成面 面动成体 几何图形 都是由点 线 面 体组成的 点是构成图形的基本元素 如广场礼花在夜空中留下的图形 你是否看 到了点动成线 在电视中看到收割机在麦田中收割小麦 你是否看到了线动成面 2 直线 射线 线段的区别与联系 从图形上看 直线 射线可以看做是线段向两边或一边无限延 伸得到的 或者也可以看做射线 线段是直线的一部分 线段有两个端点 射线有一个端点 直线没有 端点 线段可以度量 直线 射线不能度量 3 直线 线段性质 经过两点有一条直线 并且只有一条直线 或者说两点确定一条直线 两点的所有连线中 线段最短 简单说 两点之间 线段最短 4 线段中点 把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点 如图 若点 C 是线段 AB 的中点 则有 1 AC BC 2 1 AB 或 2 AB 2AC 2BC 反之 若有 1 式或 2 式成立 亦能说明点 C 是线段 AB 的中点 5 关于线段的计算 两条线段长度相等 这两条线段称为相等的线段 记作 AB CD 平面几何中线段 的计算结果仍为一条线段 即使不知线段具体的长度也可以作计算 例 如图 AB BC AC 或说 AC AB BC 6 角的意义 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 公共端点是角的顶点 这两条射线是角的 两条边 角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 7 角的度量 1 60 1 60 1 周角 360 1 平角 180 1 直角 90 8 角的大小的比较 1 叠合法 使两个角的顶点及一边重合 另一边在重合边的同旁进行比较 2 度量法 9 角的平分线 从一个角的顶点出发 把这个角分成相等的两个角的射线 叫做这个角的平分线 如图 OC 平分 AOB 则 1 AOC BOC AOB 或 2 2 AOC 2 BOC AOB 10 有关角的运算 举例说明 如图 AOC BOC AOB AOB AOC BOC 2 1 特殊情况 如果两个角的和等于直角 就说这两个角互为余角 即其中一个是另一个的余角 如果 两个角的和等于平角 就说这两个角互为补角 即其中一个是另一个的补角 等角的余角相等 等角的 补角相等 考点例析 对于多姿多彩的图形来说 从不同方向看立体图形和立体图形与平面图形的关系 是中考考察的热点 直线 射线 线段和角是基本的几何图形 中考对它们的考察多以填空 选择题的形式 并且比较注重 对基础知识的考察 相对来说分值比例较小 考点一考点一 考查图形的认识考查图形的认识 例 1 下列立体图形中是圆柱的为 A B C D 例 2 图 1 中物体的形状类似于 A 棱柱 B 圆柱 C 圆锥 D 球 图 1 析解 例 1 例 2 主要考查对图形的认识 能辨别几何体的是最基本的能力 在日常生活中学会把 几何体与实物相对应起来 例 1 答案 A 例 2 答案 A 考点二 考查图形的展开与折叠 图形的旋转 例 3 下列图形中 不是正方体表面展开图的是 析解 本题主要考查学生的动手能力和空间想象能力 通过自己对这四个图形动手操作 会发现 C 图不能折合成一个正方体 故应选 C 例 4 小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒 如图 2 所示 则这个正方体礼品盒的平面展 开图可能是 图 2 A B C D 析解 通过观察或实际操作 会发现答案 A 是这个正方体礼品盒的平面展开图 例 5 水平放置的正方体的六个面分别 用 前面 后面 上面 下面 左面 右面 表示 如图 3 是一个正方体的平 面展开图 若图中的 似 表示正方体的前面 锦 表示右面 程 表示下面 则 祝 程前你 祝 似锦 你 前 分别表示正方体的 析解 本题也是主要考查动手操作图形的能力和空间想象能力 弄清楚已知的面 亲自折合成正方 体 不难得到其它的面 祝 你 前 分别表示正方体的后面 上面 左面 例 6 下列图形 分别是由 中的 旋转得到 A 1 2 3 B 1 3 4 C 2 3 4 D 2 4 3 析解 通过观察会发现答案应为 D 解答此类题的关键是 弄清各类几何体的本质特征 要在具体情景中 通过自己的观察 加深 点 动成线 线动成面 面动成体 的认识 考点三考点三 考查从不同方向看立体图形考查从不同方向看立体图形 例 7 小明从正面观察下图所示的两个物体 看到的是 正面 A B C D 析解 从正面观察两个物体 看到的是长方形和正方形 故应选 C 例 8 我们从不同的方向观察同一物体时 可以看到不同的平面图形 如图 从左面看这个几何体是 A B C D 析解 从图的左面看这个几何体 右侧是三个竖排的正方形 左侧是一个正方形 故应选 B 例 9 某物体从不同方向看得到图所示的三个图形 那么该物体形状是 A 长方体 B 圆锥体 C 立方体 D 圆柱体 析解 四个选项从不同方向 看得到的图形分别是 A 是长方形 长方形 正方形或长方形 B 是三角形 三角形 圆 C 是正方形 正方形 正方形 D 是长方形 长方形 圆 故应选 D 考点四考点四 考查直线 射线 线段考查直线 射线 线段 例 10 植树时 只要定出 个树坑的位置 就能确定同一行树坑所在的直线 根据是 析解 2 个树坑 根据是 两点确定一条直线 例 11 下面给出的四条线段中 最长的是 从 正 面 看 从 左 面 看 从 上 面 看 1 2 4 3 A a B b C c D d 析解 用直尺测量或用圆规进行比较 得到答案为 D 例 12 下列关于作图的语句中正确的是 A 画直线 AB 10 厘米 B 画射线 OB 10 厘米 C 已知 A B C 三点 过这三点画一条直线 D 过直线 AB 外一点可以画无数条直线和已知直线相交 析解 由于直线和射线都没有长短 所以 A B 两个选项错误 又因为两点确定一条直线 况且 C 答案的已知条件并没有说明 A B C 三点在同一直线上 所以 C 选项的说法也是错误的 而过 直线外一点可以画许多条直线与已