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解析几何解析几何题库题库 一 选择题一 选择题 1 1 已知圆 C 与直线 x y 0 及 x y 4 0 都相切 圆心在直线 x y 0 上 则圆 C 的方程为 A 22 1 1 2xy B 22 1 1 2xy C 22 1 1 2xy D 22 1 1 2xy 解析 圆心在 x y 0 上 排除 C D 再结合图象 或者验证 A B 中圆心到两直线的距离等于半径即可 2 答案 B 2 2 直线1yx 与圆 22 1xy 的位置关系为 A 相切 B 相交但直线不过圆心 C 直线过圆心D 相离 解析 圆心 0 0 为到直线1yx 即10 xy 的距离 12 22 d 而 2 01 2 选 B 答案 B 3 圆心在y轴上 半径为 1 且过点 1 2 的圆的方程为 A 22 2 1xy B 22 2 1xy C 22 1 3 1xy D 22 3 1xy 解法解法 1 直接法 设圆心坐标为 0 b 则由题意知 2 1 2 1ob 解得2b 故圆的方程为 22 2 1xy 解法解法 2 数形结合法 由作图根据点 1 2 到圆心的距离为 1 易知圆心为 0 2 故圆的方程为 22 2 1xy 解法解法 3 验证法 将点 1 2 代入四个选择支 排除 B D 又由于圆心在y轴上 排除 C 答案 A 4 点 P 4 2 与圆 22 4xy 上任一点连续的中点轨迹方程是 A 22 2 1 1xy B 22 2 1 4xy C 22 4 2 4xy D 22 2 1 1xy 解析 设圆上任一点为 Q s t PQ 的中点为 A x y 则 2 2 2 4 t y s x 解得 22 42 yt xs 代入圆方程 得 2x 4 2 2y 2 2 4 整理 得 22 2 1 1xy 答案 A 5 已知直线 12 3 4 10 2 3 230 lkxk ylkxy 与平行 则 k 得值是 A 1 或 3 B 1 或 5 C 3 或 5 D 1 或 2 解析 当 k 3 时 两直线平行 当 k 3 时 由两直线平行 斜率相等 得 k k 4 3 k 3 解得 k 5 故选 C 答案 C 6 过圆 22 1 1 1C xy 的圆心 作直线分 别交 x y 正半轴于点 A B AOB 被圆分成四部分 如图 若这四部分图形面积满足 SSSS 则直线 AB 有 A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 解析 由已知 得 IVIIIIII SSSS 第 II IV 部分的面 积是定值 所以 IVII SS 为定值 即 IIII SS 为定值 当直线 AB 绕着圆心 C 移动时 只可能有一个位置符合题意 即直线 AB 只有一条 故选 B 答案 B 7 过原点且倾斜角为60 的直线被圆学 22 40 xyy 所截得的弦长为科网 A 3 B 2 C 6 D 23 2222 4024 32 3 xyyxy 解析 A 0 2 O A 2 A到直线O N 的距离是1 O N 弦长 答案 D 二 填空题二 填空题 8 以点 2 1 为圆心且与直线6xy 相切的圆的方程是 解析 将直线6xy 化为60 xy 圆的半径 2 1 6 5 1 12 r 所以圆的方程为 22 25 2 1 2 xy 答案 22 25 2 1 2 xy 9 设直线 1 l的参数方程为 1 1 3 xt yt t 为参数 直线 2 l的方程为 y 3x 4 则 1 l与 2 l的距离为 解析 由题直线 1 l的普通方程为023 yx 故它与与 2 l的距离为 5 103 10 24 答案 5 103 10 若圆4 22 yx与圆 0 062 22 aayyx的公共弦长为32 则 a 解析 由已知 两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 a y 1 利用圆心 0 0 到直线的距离 d 1 1 a 为132 2 2 解得 a 1 答案 1 11 若直线m被两平行线 12 10 30lxylxy 与所截得的线段的长为22 则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 解析 解 两平行线间的距离为2 11 13 d 由图知直线m与 1 l的夹角为 o 30 1 l的倾斜角为 o 45 所以直线m的倾斜 角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 答案 12 已知ACBD 为圆O 22 4xy 的两条相互垂直的弦 垂足为 1 2M 则四边形ABCD的面积的最大值为 解析 设圆心O到ACBD 的距离分别为 12 dd 则 222 12 3ddOM 四边形ABCD的面积 2222 1212 1 2 4 8 5 2 SABCDdddd 4 答案 5 13 已知圆 O 5 22 yx和点 A 1 2 则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 解析 由题意可直接求出切线方程为 y 2 2 1 x 1 即 x 2y 5 0 从而求出在两坐标轴上的截距分别是 5 和 2 5 所以所求面积为 4 25 5 2 5 2 1 答案 25 4 14 过原点 O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分别为P Q 则线段PQ的长为 解析 可得圆方程是 22 3 4 5xy 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ 答案 4 15 设直线系 cos 2 sin1 02 M xy 对于下列四个命题 A M中所有直线均经过一个定点 B 存在定点P不在M中的任一条直线上 C 对于任意整数 3 n n 存在正n边形 其所有边均在M中的直线上 D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 因为cos 2 sin1xy 所以点 0 2 P到M中每条直线的距离 22 1 1 cossin d 即M为圆C 22 2 1xy 的全体切线组成的集合 从而M中存在两条平行直线 所以 A 错误 又因为 0 2 点不存在任何直线上 所以 B 正确 对任意3n 存在正n边形使其内切圆为圆C 故C正确 M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF 故 D 错误 故命题中正确的序号是 B C 答案 B C 三 解答题三 解答题 16 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系xoy中 已知圆 22 1 3 1 4Cxy 和圆 22 2 4 5 4Cxy 1 若直线l过点 4 0 A 且被圆 1 C截得的弦长为2 3 求直线l的方程 2 设 P 为平面上的点 满足 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 1 l和 2 l 它们分别与 圆 1 C和圆 2 C相交 且直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 试求 所有满足条件的点 P 的坐标 解解 1 设直线l的方程为 4 yk x 即40kxyk 由垂径定理 得 圆心 1 C到直线l的距离 22 2 3 4 1 2 d 结合点到直线距离公式 得 2 31 4 1 1 kk k 化简得 2 7 2470 0 24 kkkor k 求直线l的方程为 0y 或 7 4 24 yx 即0y 或724280 xy 2 设点 P 坐标为 m n 直线 1 l 2 l的方程分别为 1 ynk xmynxm k 即 11 0 0kxynkmxynm kk 因为直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 两圆半径相等 由垂径定理 得 圆心 1 C到直线 1 l与 2 C直线 2 l的距离相等 故有 2 2 41 5 31 1 1 1 nm knkm kk k k 化简得 2 3 8 5mn kmnmnkmn 或 关于k的方程有无穷多解 有 20 30 mn mn m n 8 0 或 m n 5 0 解之得 点 P 坐标为 3 13 2 2 或 51 22 20052005 20082008 年高考题年高考题 一 选择题 1 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20 xy 与 x 7y 4 0 原点在等腰三角形的底边上 则底边所在直线的斜率为 A 3 B 2 C 1 3 D 1 2 答案答案 A 解析解析 1 02 11 kyxl 7 1 047 22 kyxl 设底边为kxyl 3 由题意 3 l到 1 l所成的角等于 2 l到 3 l所成的角于是有 37 17 1 1 11 2 2 1 1 k k k kk kk kk kk 再将 A B C D 代入验证得正确答案 是 A 2 原点到直线052 yx的距离为 A 1 B 3 C 2 D 5 答案答案 D 解析解析 5 21 5 2 d 3 将直线3yx 绕原点逆时针旋转 0 90 再向右平移 个单位长度 所得到的直线为 A 11 33 yx B 1 1 3 yx C 33yx D 1 1 3 yx 答案答案 A 4 如图 在平面直角坐标系中 是一个与x轴的正半轴 y轴的正半轴分别相切于点C D的定圆所围成的区域 含边界 A B C D是该圆的四等分点 若点 P xy 点 P xy 满足x x 且y y 则称P优于 P 如果 中的点Q满足 不存在 中的其它点优于Q 那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 B C D 答案答案 D 5 若直线 与圆1 22 yx相交于P Q两点 且 POQ 120 其中O为原点 则k的值为 A 3或3 B 3 C 2或2 D 2 答案答案 A 6 2a 是 直线20axy 平行于直线1xy 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 C 7 圆1 3 1 22 yx的切线方程中有一个是 A x y 0 B x y 0 C x 0 D y 0 答案答案 C AB l C 8 设直线的方程是0 ByAx 从 1 2 3 4 5 这五个数中每次取两个不同的数作为A B的值 则所得不同直线的条数是 A 20 B 19C 18D 16 答案答案 C C 9 设直线l过点 0 2 且与圆1 22 yx相切 则l的斜率是 工 A 1 B 2 1 C 3 3 D 3 答案答案 C 10 若直线02 cyx按向量 1 1 a平移后与圆5 22 yx相切 则 c 的值为 A 8 或 2B 6 或 4C 4 或 6D 2 或 8 答案答案 A 11 m 2 1 是 直线 m 2 x 3my 1 0 与直线 m 2 x m 2 y 3 0 相互垂直 的 A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 B 二 填空题二 填空题 12 已知圆C的圆心与点 2 1 P 关于直线 y x 1 对称 直线 3x 4y 11 0 与圆C相交于BA 两点 且6 AB 则圆C的方程为 答案答案 22 1 18xy 13 已知直线 40l xy 与圆 22 112Cxy 则C上各点到l的距离的最小值为 答案答案 2 14 经过圆 22 20 xxy 的圆心C 且与直线0 xy 垂直的直线 程是 答案答案 10 xy 15 如图 AB 是直线l上的两点 且2 AB 两个半径相等的动圆分别与l相切于AB 点 C是这两个圆的公共点 则圆弧 AC CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是 答案答案 2 2 0 16 圆心为 11 且与直线4xy 相切的圆的方程是 答案答案 x 1 2 y 1 2 2 17 已知变量x y满足约束条件1 x y 4 2 x y 2 若目标函数z ax y 其中a 0 仅在点 3 1 处取得最大值 则a的取值范围为 答案答案 a 1 18 设实数 x y 满足的最大值是则 x y y yx yx 032 042 02 答案答案 2 3 第二部分第二部分 三年联考汇编三年联考汇编 20092009 年联考题年联考题 一 选择题一 选择题 1 a 3 是 直线210axy 与直线640 xyc 平行 的 条件 A 充要 B 充分而不必要 C 必要而不充分 D 既不充分也不必要 答案答案 C C 2 直线 x y 1 0 与圆 21 2 2 yx的位置关系是 A 相交 B 相离 C 相切 D 不能确定 答案答案 C 3 两圆 32cos3cos 42sin3sin xx yy 与的位置关系是 A 内切 B 外切C 相离 D 内含 答案答案 B 4 已知点 P x y 是直线 kx y 4 0 k 0 上一动点 PA PB 是圆 C 22 20 xyy 的两条切线 A B 是切点 若四边形 PACB 的最小面积是 2 则 k 的值为 A 3B 21 2 C 2 2D 2 答案答案 D 5 已知实系数方程 x2 ax 2b 0 的一个根大于 0 且小于 1 另一根大于 1 且小于 2 则 2 1 b a 的取值范围是 A 1 B 答案答案 A 1 4 1 2 1 2 1 4 1 3 6 点 4 t到直线431xy 的距离不大于 3 则t的取值范围是 A 131 33 t B 100t C 100t D 0t 或10t 答案答案 C 7 已知圆的方程为 22 680 xyxy 设圆中过点 2 5 的最长弦与最短弦分别为AB CD 则直线AB与CD的斜率之 A 1 B 0 C 1 D 2 答案答案 B 8 直线 1 1 xkyl和圆02 22 yyx 的关系是 A 相离 B 相切或相交 C 相交 D 相切答案答案 C 9 过点 2 1 M的直线l将圆 x 2 2 y2 9 分成两段弧 当其中的劣弧最短时 直线l的方程是 A 1 x B 1 y C 01 yx D 032 yx 答案答案 D 二 填空题二 填空题 10 从圆 x 1 2 y 1 2 1 外一点 2 3 P向这个圆引切线 则切线长为 答案答案 2 11 直线032 yx与直线04 byax关于点 0 1 A对称 则 b 答案答案 2 12 过点 C 作圆25 22 yx的切线 切点为 A B 那么点 C 到直线 AB 的距离为 答案答案 2 5 13 光线由点 P 2 3 射到直线1 yx上 反射后过点 Q 1 1 则反射光线方程为 答案答案 4x 5y 1 0 14 过 1 2 1 M的直线 l 与圆 C x 1 2 y2 4 交于 A B 两点 当 ACB 最小时 直线的方程为 答案答案 0342 yx 20072007 20082008 年联考题年联考题 一 选择题一 选择题 1 已知点 A 3 2 B 2 7 若直线 y ax 3 与线段 AB 的交点 P 分有向线段 AB 的比为 4 1 则 a 的值为 A 3B 3C 9D 9 答案答案 D D 2 由直线1yx 上的点向圆 x 3 2 y 2 2 1 引切线 则切线长的最小值为 A 17 B 3 2 C 19 D 2 5 答案答案 A A 3 圆 2 2 1 1 y x 被直线0 xy 分成两段圆弧 则较短弧长与较长弧长之比为 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 答案答案 B 4 直线yxb 平分圆 x2 y2 8x 2y 2 0 的周长 则b A 3 B 5C 3 D 5 答案答案 D 5 把直线20 xy 按向量 2 0 a 平移后恰与 22 4220 xyyx 相切 则实数 的值为 A 2 2 或2 B 2 或2 C 2 2 或 2 2 D 2 2 或2答案答案 C 6 若圆 222 5 3 ryx 上有且仅有两个点到直线 4x 3y 2 0 的距离为 1 则半径 r 的取值范围是 A 6 答案答案 A 7 已知直线 ax by 1 0 a b 不全为 0 与圆 x2 y2 50 有公共点 且公共点横 纵坐标均为整数 那么这样的直线有 条 A 66 B 72 C 74 D 78 答案答案 C 二 填空题二 填空题 7 光线从点 P 3 5 射到直线 l 3x 4y 4 0 上 经过反射 其反射光线过点 Q 3 5 则光线从 P 到 Q 所走过的路程为 答案答案 8 8 圆 sin1 cos1 y x 为参数 的标准方程是 过这个圆外一点 P 2 3的该圆的切线方程是 答案答案 x 1 2 y 1 2 1 x 2 或 3x 4y 6 0 9 与圆 22 2 1xy 相切 且在两坐标轴上截距相等的直线共有 条 答案答案 4 10 设直线03 yax与圆 x 1 2 y 2 2 4 相交于 A B 两点 且弦长为32 则 a 答案答案 0 11 设直线 1 l的方程为022 yx 将直线 1 l绕原点按逆时针方向旋转 90得到直线 2 l 则 2 l的方程是 答案答案 2x y 2 0 12 若5 x kx 2 对一切 x 5 都成立 则 k 的取值范围是 答案答案 k 1 10 或 k0 过 M 2 2 N 6 1 两点 O 为坐标原点 I 求椭圆 E 的方程 II 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在说明理由 解 1 因为椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 设该圆的切线方程为 ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm 则 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 222222 222 12121212 222 28 48 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 所以 22 3880mk 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km 所以 2 2 2 38 m m 所以 2 8 3 m 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m 因为直线ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 所求的圆为 22 8 3 xy 此时圆的切线ykxm 都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m 而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 满足OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 OAOB 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以 222 222 121212 2222 4288 84 4 4 1212 12 kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8 84 1 1 12 km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 当0k 时 2 2 321 1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k 所以 2 2 32321 1 12 1 33 44k k 所以 4 6 2 3 3 AB 当且仅当 2 2 k 时取 当0k 时 4 6 3 AB 当 AB 的斜率不存在时 两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 所以此时 4 6 3 AB 综上 AB 的取值范围为 4 6 2 3 3 AB 即 4 6 2 3 3 AB 命题立意 本题属于探究是否存在的问题 主要考查了椭圆的标准方程的确定 直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法 求方程的方法 能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系 47 本小题满分 14 分 设mR 在平面直角坐标系中 已知向量 1 amx y 向量 1 bx y ab 动点 M x y的轨迹为 E 1 求轨迹 E 的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 2 已知 4 1 m 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A B 且OAOB O 为坐标原点 并求出 该圆的方程 3 已知 4 1 m 设直线l与圆 C 222 xyR 1 R 2 相切于 A1 且l与轨迹 E 只有一个公共点 B1 当 R 为何值时 A1B1 取得最大值 并求 最大值 解解 1 因为ab 1 amx y 1 bx y 所以 22 10a bmxy 即 22 1mxy 当 m 0 时 方程表示两直线 方程为1 y 当1m 时 方程表示的是圆 当0 m且1 m时 方程表示的是椭圆 当0 m时 方程表示的是双曲线 2 当 4 1 m时 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y 设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt 解方程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4 4xkxt 即 222 14 8440kxktxt 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A B 则使 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 22 5440tk 即 22 544tk 且 22 41tk 即 22 44205kk 恒成立 所以又因为直线ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 所求的圆为 22 4 5 xy 当切线的斜率不存在时 切线为5 5 2 x 与 2 2 1 4 x y 交于点 5 5 2 5 5 2 或 5 5 2 5 5 2 也满足OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 3 当 4 1 m时 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y 设直线l的方程为ykxt 因为直线l与圆 C 222 xyR 1 R0 与 x 轴 的左 右两个交点 直线l过点 B 且与x轴垂直 S 为l上 异于点 B 的一点 连结 AS 交曲线 C 于点 T 1 若曲线 C 为半圆 点 T 为圆弧AAB的三等分点 试求出点 S 的坐标 II 如图 点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点 试问 是否存在a 使得 O M S 三点共线 若存在 求出 a 的值 若不存在 请说明理由 解解 方法一方法一 当曲线 C 为半圆时 1 a 如图 由点 T 为圆弧AAB的三等分点得 BOT 60 或 120 1 当 BOT 60 时 SAE 30 又 AB 2 故在 SAE 中 有tan30 SBABs t 2 当 BOT 120 时 同理可求得点 S 的坐标为 1 2 3 综上 2 3 1 3 S或S 1 2 3 假设存在 0 a a 使得 O M S 三点共线 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上 故BTOS 显然 直线 AS 的斜率 k 存在且 k 0 可设直线 AS 的方程为 yk xa 由 2 2 22222422 2 1 1 20 x y a kxa k xa ka a yk xa 得 设点 222 22 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k 从而 22 2 1 TT ak yk xa a k 亦即 22 2222 2 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 0 11 a kak B aBT a ka k 由 xa yk xa 得 2 2 s aakOSaak 由BTOS 可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0 0 2kaa 经检验 当2a 时 O M S 三点共线 故存在2a 使得 O M S 三点共线 方法二方法二 同方法一 假设存在 a 使得 O M S 三点共线 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上 故SMBT 显然 直线 AS 的斜率 k 存在且 k 0 可设直线 AS 的方程为 yk xa 由 2 2 22222222 2 1 1 20 x y a bxa k xa ka a yk xa 得 设点 TT T xy 则有 422 22 1 T a ka xa a k 故 2222 22222222 22 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 从而亦即 2 2 1 0 T BTSM T y B akka k xaa k 故 由 xa yk xa 得S a 2ak 所直线 SM 的方程为 2 2 yaka k xa O S M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上 即 2 2 aka ka 0 0 2aKa 故存在2a 使得 O M S 三点共线 60 本小题满分 12 分 已知 椭圆C以过点A 1 3 2 两个焦点为 1 0 1 0 1 求椭圆C的方程 2 E F是椭圆C上的两个动点 如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数 证明直线EF的斜率为定值 并求出这个定值 解解 由题意 c 1 可设椭圆方程为 22 22 1 14 xy bb 因为A在椭圆上 所以 22 19 1 14bb 解得 2 b 3 2 b 3 4 舍去 所以椭圆方程为 22 1 43 xy 证明证明 设直线 方程 得 3 1 2 yk x 代入 22 1 43 xy 得 222 3 3 4 4 32 4 120 2 kxkk xk 设 E x E y F x F y 因为点 1 3 2 在椭圆上 所以 2 2 3 4 12 2 34 E k x k 3 2 EE ykxk 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数 在上式中以k 代k 可得 2 2 3 4 12 2 34 F k x k 3 2 FF ykxk 所以直线EF的斜率 21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk k xxxx 即直线EF的斜率为定值 其值为 1 2 61 本小题满分 12 分 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点 焦点在 s 轴上 它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 求椭圆 C 的方程 若 P 为椭圆 C 上的动点 M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点 OP OM 求点 M 的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 解解 设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac 由已知得 1 4 3 7 ac ac ac 解得 所以椭圆C的标准方程为 22 1 167 xy 设 M x y 其中 4 4x 由已知 2 2 2 OP OM 及点P在椭圆C上可得 2 2 22 9112 16 x xy 整理得 2222 169 16112xy 其中 4 4x i 3 4 时 化简得 2 9112y 所以点M的轨迹方程为 4 7 44 3 yx 轨迹是两条平行于x轴的线段 ii 3 4 时 方程变形为 22 22 1 112112 16916 xy 其中 4 4x 当 3 0 4 时 点M的轨迹为中心在原点 实轴在y轴上的双曲线满足44x 的部分 当 3 1 4 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆满足44x 的部分 当1 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆 62 本小题满分 12 分 已知双曲线 C 的方程为 22 22 1 0 0 yx ab ab 离心率 5 2 e 顶点到渐近线的距离为 2 5 5 1 求双曲线 C 的方程 2 如图 P 是双曲线 C 上一点 A B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上 且分别位于第一 二象限 若 1 2 3 APPB 求 AOB 面积的取值范围 方法一方法一 解解 由题意知 双曲线C的顶点 0 a 到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为 所以 22 2 5 5 ab ab 所以 2 5 5 ab c 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x 由 知双曲线 C 的两条渐近线方程为2yx 设 2 2 0 0A mm Bnn mn 由 APPBP uu u ruur m n 2 m n 得点的坐标为 1 1 将 P 点的坐标代入 22 2 1 1 44 y x 化简得m n 因为2 AOB 14 tan 2 tan sin2 225 又5 5OAm OBn 所以 111 sin22 1 22 AOB SOAOBmn 记 111 1 2 23 S 则 2 11 1 2 S 由 01S 得 又 S 1 2 189 2 334 SS 当1 时 AOB 面积取到最小值2 当当 1 3 时 AOB 面积取到最大值 8 3 所以AOB 面积范围是 8 2 3 方法二方法二 由题意知 双曲线 C 的顶点 0 a 到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为 22 2 52 5 55 abab c ab 即 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x 设直线 AB 的方程为 ykxm 由题意知2 0km 由 2 222 ykxm mm A yxkk 得点的坐标为 由 2 222 ykxm mm B yxkk 得点的坐标为 121 122122 mm APPBP kkkk 得点的坐标为 uu u ruur 将 P 点的坐标代入 2 1x 2 y 4 得 22 2 4 1 4 m k 设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点 则 Q 点的坐标为 0 m AOB S AOQBOQ SS 2 2 111 222 114 2222 4 11 1 2 ABAB OQ xOQ xm xx mmm m kkk gg g 63 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 2 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 FF 离心率 2 2 e 右 准线方程为2x I 求椭圆的标准方程 II 过点 1 F的直线l与该椭圆交于MN 两点 且 22 2 26 3 F MF N 求直线l的方程 解解 I 由已知得 2 2 2 2 c a a c 解得2 1 ac 22 1 bac 所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y II 由 I 得 1 1 0 F 2 1 0 F 若直线l的斜率不存在 则直线l的方程为1 x 由 2 2 1 1 2 x x y 得 2 2 y 设 2 1 2 M 2 1 2 N 22 22 2 2 4 0 4 22 F MF N 这与已知相矛盾 若直线l的斜率存在 设直线直线l的斜率为k 则直线l的方程为 1 yk x 设 11 M x y 22 N xy 联立 2 2 1 1 2 yk x x y 消元得 2222 12 4220 kxk xk 22 1212 22 422 1212 kk xxx x kk 1212 2 2 2 12 k yyk xx k 又 211222 1 1 F MxyF Nxy 221212 2 F MF Nxxyy 2 2 2 22 221212 22 8222 26 2 12123 kk F MF Nxxyy kk 化简得 42 4023170 kk 解得 22 17 1 40 或 舍去 kk 1 k 所求直线l的方程为11或 yxyx 64 本小题满分 12 分 如图 已知抛物线 2 E yx 与圆 222 4 0 Mxyrr 相 交于 A B C D 四 个点 求 r 的取值范围 当四边形 ABCD 的面积最大时 求对角线 AC BD 的交点 P 的坐标 解 解 将抛物线 2 E yx 代入圆 222 4 0 Mxyrr 的方程 消去 2 y 整理得 22 7160 xxr 抛物线 2 E yx 与圆 222 4 0 Mxyrr 相交于A B C D四个点的充要条件是 方程 1 有两个不相等的正 根 016 07 0 16 449 2 21 21 2 rxx xx r 即 44 2 5 2 5 r rr 解这个方程组得4 2 5 r 15 4 2 r II 设四个交点的坐标分别为 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则由 I 根据韦达定理有 2 1212 7 16xxx xr 15 4 2 r 则 21122112 1 2 2 Sxxxxxxxx 2222 12121212 4 2 72 16 415 Sxxx xxxx xrr 令 2 16rt 则 22 72 72 Stt 下面求 2 S的最大值 方法 1 由三次均值有 22 1 72 72 72 72 144 2 Sttttt 33 1 7272144128 2323 ttt 当且仅当72144tt 即 7 6 t 时取最大值 经检验此时 15 4 2 r 满足题意 方法 2 设四个交点的坐标分别为 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则直线 AC BD 的方程分别为 1 12 12 11 12 12 1 xx xx xx xyxx xx xx xy 解得点 P 的坐标为 0 21x x 设 21x xt 由 2 16rt 及 得 4 1 0 t 由于四边形 ABCD 为等腰梯形 因而其面积 22 2 1 2121 xxxxS 则 4 2 21 2 212211 2 xxxxxxxxS 将7 21 xx txx 21 代入上式 并令 2 Stf 等 2 7 0 34398288 27 27 232 tttttttf 76 72 2985624 2 tttttf 令0 tf得 6 7 t 或 2 7 t 舍去 当 6 7 0 t时 0 tf 当 6 7 t时0 tf 当 2 7 6 7 t时 0 tf 故当且仅当 6 7 t时 tf有最大值 即四边形 ABCD 的面积最大 故所求的点 P 的坐标为 0 6 7 65 本小题满分 13 分 如图 过抛物线y2 2PX P 0 的焦点 F 的直线与抛物线相交于M N两点 自M N向准线L作垂线 垂足分别为M1 N1 求证 FM1 FN1 记 FMM1 FM1N1 FN N1的面积分别为S1 S2 S3 试判断S22 4S1S3是否成立 并证明你 的结论 1 证明证明 方法一方法一 由抛物线的定义得 11 MFMMNFNN 1111 MFMMM FNFNNN F 如图 设准线 l 与 x 的交点为 1 F 111 MMNNFFQ 111111 FFMMM FFFNNN F 而 0 111111 180FFMMFMFFNN FN 即 0 1111 22180FFMFFN 0 1111 90FFMFFN 故 11 FMFN 方法二方法二 依题意 焦点为 0 2 p F准线 l 的方程为 2 p x 设点 M N 的坐标分别为 1122 M x yN xy 直线 MN 的方程为 2 p xmy 则有 11121112 22 pp MyNyFMp yFNp y 由 2 2 2 p xmy ypx 得 22 20ympyp 于是 12 2yymp 2 12 y yp 222 1112 0FMFNpy ypp 故 11 FMFN 解解 2 213 4SS S 成立 证明如下 方法一方法一 设 1122 M x yN xy 则由抛物线的定义得 1112 22 pp MMMFxNNNFx 于是 111111 11 222 p SMMFMxy 212112 11 22 SM NFFp yy 311122 11 222 p SNNFNxy 22 213121122 111 4 4 22222 pp SS Sp yyxyxy 2 22 1212121212 1 4 424 pp pyyy yx xxxy y 将 11 22 2 2 p xmy p xmy 与 12 2 12 2yymp y yp 代入上式化简可得 22222222 pm pppm pp 此式恒成立 故 2 213 4SS S 成立 方法二方法二 如图 设直线MNM 的倾角为 12 MFrNFr 则由抛物线的定义得 1113 MMMFrNNNFr 111 11 MMNNFF FMMFNN 于是 222 11322 111 sin sin sin 222 SrSrr 在 1 FMM 和 1 FNN 中 由余弦定理可得 22222222 11111222 22cos2 1 cos 22cos2 1 cos FMrrrFNrrr 由 I 的结论 得 211 1 2 SFMFN 22222222 211121213 11 4 1 cos 1 cos sin4 44 SFMFNrrr rS S 即 2 213 4SS S 得证 66 本小题满分 12 分 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点 焦点在x轴上 它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 1 求椭圆C的方程 2 若P为椭圆C的动点 M为过P且垂直于x轴的直线上的点 OP e OM e 为椭圆 C 的离心率 求点M的轨迹方程 并说 明轨迹是什么曲线 解解 1 设椭圆长半轴长及分别为 a c 由已知得 1 7 ac ac 解得 a 4 c 3 所以椭圆 C 的方程为 22 1 167 xy 设 M x y P x 1 y 其中 4 4 x 由已知得 22 2 1 22 xy e xy 而 3 4 e 故 2222 1 16 9 xyxy 由点P在椭圆C上得 2 2 1 1127 16 x y 代入 式并化简得 2 9112 y 所以点M的轨迹方程为 4 7 44 3 yx 轨迹是两条平行于x轴的线段 67 本小题满分 13 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P 到点 F 3 0 的距离的 4 倍与它到直线 x 2 的距离的 3 倍之和记为 d 当 P 点 运动时 d 恒等于 点 P 的横坐标与 18 之和 求点 P 的轨迹 C 设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M N 两点 求线段 MN 长度的最大值 解解 设点 P 的坐标为 x y 则 22 4 3 dxy 3 x 2 由题设 当 x 2 时 由 得 22 1 3 6 2 xyx 化简得 22 1 3627 xy 当2x 时 由 得 22 3 3 xyx 化简得 2 12yx 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 22 1 1 3627 xy C 在直线 x 2 的右侧部分与 抛物线 2 2 12Cyx 在直线 x 2 的左侧部分 包括它与直线 x 2 的交点 所组成的曲线 参见图 1 如图 2 所示 易知直线 x 2 与 1 C 2 C的交点都是 A 2 2 6 B 2 2 6 直线 AF BF 的斜率分别为 AF k 2 6 BF k 2 6 当点 P 在 1 C上时 由 知 1 6 2 PFx 当点 P 在 2 C上时 由 知 3PFx 若直线 l 的斜率 k 存在 则直线 l 的方程为 3 yk x i 当 k AF k 或 k BF k 即 k 2 6时 直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M 1 x 1 y N 2 x 2 y 都在 C 1上 此时由 知 MF 6 1 2 1 x NF 6 1 2 2 x 从而 MN MF NF 6 1 2 1 x 6 1 2 2 x 12 1 2 1 x 2 x 由 22 3 1 3627 yk x xy 得 2222 34 24361080kxk xk 则 1 x 1 y是这个方程的两根 所以 1 x 2 x 2 2 24 34 k k MN 12 1 2 1 x 2 x 12 2 2 12 34 k k 因为当 2 2 6 6 24 kk 或k2时 2 2 2 1212100 1212 1 3411 4 k MN k k 当且仅当2 6k 时 等号成立 2 当 2 62 6 AEAN kkkk 时 直线 L 与轨迹 C 的两个交点 1122 M x yN xy 分别在 12 C C上 不妨设点 M在 1 C上 点 2 C上 则 知 12 1 6 3 2 MFxNFx 设直线 AF 与椭圆 1 C的另一交点为 E 00012 2 xyxx x 则 102 11 66 332 22 MFxxEFNFxAF 所以MNMFNFEFAFAE 而点 A E 都在 1 C上 且 2 6 AE k 有 1 知 100100 1111 AEMN 所以 若直线 的斜率不存在 则 1 x 2 x 3 此时 12 1100 12 9 211 MNxx 综上所述 线段 MN 长度的最大值为 100 11 68 本小题满分 14 分 已知直线220 xy 经过椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左顶点 A 和上顶点 D 椭圆C的右顶点为B 点S和椭圆 C上位于x轴上方的动点 直线 AS BS与直线 10 3 l x 分别交于 M N两点 I 求椭圆C的方程 求线段 MN 的长度的最小值 当线段 MN 的长度最小时 在椭圆C上是否存在这样的点T 使得TSB 的面积为 1 5 若存在 确定点T的个数 若不存在 说明理由 解解 方法一方法一 I 由已知得 椭圆C的左顶点为 2 0 A 上顶点为 0 1 2 1Dab 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 直线 AS 的斜率k显然存在 且0k 故可设直线AS的方程为 2 yk x 从而 10 16 33 k M 由 2 2 2 1 4 yk x x y 得 2222 14 16164kxk xk 0 设 11 S x y则 2 1 2 164 2 14 k x k 得 2 1 2 28 14 k x k 从而 1 2 4 14 k y k 即 2 22 284 1414 kk S kk 又 2 0 B 由 1 2 4 10 3 yx k x 得 10 3 1 3 x y k 101 33 N k 故 161 33 k MN k 又 1611618 0 2 33333 kk kMN kk 当且仅当 161 33 k k 即 1 4 k 时等号成立 1 4 k 时 线段MN的长度取最小值 8 3 由 可知 当MN取最小值时 1 4 k 此时BS的方程为 6 44 2 20 5 55 xysBS 要使椭圆C上存在点T 使得TSB 的面积等于 1 5 只须T到直线BS的距离等于 2 4 所以T在平行于BS且与BS距离等于 2 4 的直线l上 设直线 10lxy 则由 2 2 42 t 解得 3 2 t 或 5 2 t 69 本题满分 16 分 已知双曲线 2 2 1 2 x cy 设过点 3 2 0 A 的直线