八年级数学上册 15.4 角的平分线 15.4.1 角的平分线的性质课件 （新版）沪科版.ppt

第15章轴对称图形与等腰三角形 15 4角的平分线 第1课时角的平分线的性质 1 课堂讲解 角的平分线的画法角的平分线的性质 2 课时流程 逐点导讲练 课堂小结 作业提升 1 知识点 角的平分线的画法 问题 怎样作出角的平分线 知1 导 知识点 角的平分线的画法1 通过折纸可以作出一个角的角平分线 在半透明纸上任画一个角 请你用折叠的方法 找出角的平分线 如图 知1 讲 归纳 知1 讲 角是轴对称图形 角平分线所在的直线是它的对称轴 来自教材 知1 讲 角的平分线的画法2 也可以用量角器来画一个角的平分线 角的平分线的画法3 下面介绍用尺规作图的方法作出 aob的平分线 如图 作法 1 以o为圆心 任意长为半径画弧分别交oa ob于点m n 如图 1 2 分别以点m n为圆心 以大于mn长为半径 为什么 在角的内部画弧交于点p 如图 2 3 作射线op 则op为所要求作的 aob的平分线 如图 3 知1 讲 思考 1 根据作图 你能证明所作射线op 就是 aob的平分线吗 2 当 aob的两边成一直线时 即 aob 180 你会作这个角的平分线吗 这时的角平分线与直线ab是什么关系 知1 讲 拓展 过一点作已知直线的垂线 1 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 如图所示 已知直线ab和ab上一点c 作ab的垂线 使它经过点c 作法 如图所示 第一步 作平角acb的平分线cf 第二步 反向延长射线cf 直线cf就是所要求作的垂线 知1 讲 2 经过已知直线外一点作这条直线的垂线 如图所示 已知直线ab和ab外一点c 作ab的垂线 使它经过点c 作法 如图所示 第一步 以点c为圆心 作能与ab相交于d e两点的弧 第二步 作 dce的平分线cf 第三步 反向延长射线cf 则直线cf就是所要求作的垂线 知1 讲 思考 为什么这样作出的直线cf就是所求作的垂线 你能说说道理吗 归纳 知1 讲 来自 点拨 1 理论根据 作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法 sss 拓展 根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线 2 易错警示 作角平分线的最后一步 过两点作射线 时 不能简单地叙述为 连接两点 连接两点是线段 角平分线是射线而不是线段 知1 讲 如图所示 已知 aob 求作 aom aob 导引 要作射线om 使 aom aob 可作 aob的平分线 解 作法 1 以点o为圆心 适当长为半径画弧 交oa于点e 交ob于点f 2 分别以点e f为圆心 大于ef的长为半径画弧 两弧在 aob的内部交于点c 3 画射线oc 4 同理 作 aoc的平分线om aom即为所求 如图所示 来自 点拨 例1 总结 知1 讲 来自 点拨 作法中 适当长为半径画弧 的目的是为方便作图 不能太大或太小 大于ef的长为半径画弧 是因为若以小于或等于ef的长为半径画弧时 画出的两弧不能相交 1 在下面尺规作图中 了解作图道理 保留作图痕迹 不要求写作法 已知一直角边和斜边作直角三角形 知1 练 来自教材 2 作 aob的平分线时 以o为圆心 某一长度为半径作弧 与oa ob分别相交于c d 然后分别以c d为圆心 适当的长度为半径作弧 使两弧相交于一点 则这个适当的长度应 a 大于cdb 等于cdc 小于cdd 以上答案都不对 中考 玉林 根据图中尺规作图的痕迹 先判断得出结论 然后证明你的结论 不要求写已知 求证 知1 练 来自 典中点 3 4 利用尺规作 aob的平分线的方法如下 如图 以点o为圆心 任意长为半径画弧 交oa于点c 交ob于点d 再分别以点c d为圆心 以大于cd的长为半径画弧 两弧在 aob的内部交于点p 作射线op 此作法的依据是 a sasb asac aasd sss 知1 练 来自 点拨 2 知识点 角的平分线的性质 知2 导 思考 如图 op是 aob的平分线 p是op上的任一点 过点p分别作pc oa pd ob 点c d是垂足 你能猜想pc pd长度间有什么关系吗 证明你的猜想 知2 讲 下面我们给出上面 思考 中猜想结论的证明 证明 op平分 aob 已知 aop bop 角平分线定义 又 pc oa pd ob 已知 pco pdo 90 垂直的定义 在 pco和 pdo中 pco pdo aas pc pd 来自教材 知识点 知2 讲 1 角的平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 要点精析 1 点一定要在角平分线上 2 点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度 3 角平分线的性质可用来证明两条线段相等 2 书写格式 如图 op平分 aob pd oa于点d pe ob于点e pd pe 3 易错提示 易找错距离 误以为角平分线上的点到角的两边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离 知识点 知2 讲 例2如图 在 abc中 c 90 ad平分 cab de ab于e f在ac上 be fc 求证 bd df 导引 要证bd df 可考虑证两线段所在的 bde和 fdc全等 两个三角形中已有一角和一边相等 只要再证de cd即可 这可由ad平分 cab及垂直条件证得 证明 ad平分 cab de ab于e c 90 de dc deb c 90 在 bde和 fdc中 bde fdc bd df 来自 点拨 总结 知2 讲 来自 点拨 由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等 这是证线段相等的一个简捷方法 知识点 知2 讲 例3如图 在 abc中 c 90 bc ac ad是 bac的平分线 de ab于点e 若ab 10cm 求 dbe的周长 导引 要求 dbe的周长 实质是求be de bd的长 而题中已知ab 10cm 因此需证de bd ae 又ad是角平分线及垂直条件知de cd 所以需证bc ae 由bc ac 因此只需证ac ae 它可由rt acd rt aed得出 知识点 知2 讲 解 ad平分 cab 且 c 90 de ab dc de 又 c dea 90 ad ad rt acd rt aed ac ae 又 ac bc ac ae bc de eb bd dc eb bd bc eb ae eb ab 又 ab 10cm dbe的周长为db be de 10cm 来自 点拨 1 已知 如图 abc中 ab ac ad是 bac的平分线 de ab df ac 垂足分别为点e f 判断下列结论是否正确 1 de df 2 bd cd 3 ad上任一点到ab ac的距离相等 4 ad上任一点到点b c距离相等 知2 练 来自教材 2 中考 茂名 如图 oc是 aob的平分线 p是oc上一点 pd oa于点d pd 6 则点p到边ob的距离为 a 6b 5c 4d 3如图 在 abc中 c 90 ac bc ad平分 cab交bc于d de ab于e 若ab 6cm 则 dbe的周长是 a 6cmb 7cmc 8cmd 9cm 知2 练 来自 典中点 3 4 中考 湖州 如图 已知在 abc中 cd是ab边上的高线 be平分 abc 交cd于点e bc 5 de 2 则 bce的面积等于 a 10b 7c 5d 4 知2 练 来自 典中点 如图 已知ac平分 bad ce ab于e cf ad于f 且bc cd 1 求证 bce dcf 2 若ab 15 ad 7 求be的长 5 来自 点拨 1 角的平分线图形结构中的 两种数量关系 如图 oc平分 aob 点p在oc上 pd oa pe ob de交oc于点f 1 角的相等关系 aoc boc pdf pef odp oep dfo efo dfp efp pda peb 90 dpo epo odf