高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念课件 新人教A版必修1.pptVIP

1 2函数及其表示1 2 1函数的概念 主题1函数的概念根据下面的题目 回答有关问题 某物体从高度为44 1m的空中自由下落 物体下落的距离s与所用时间t的平方成正比 这个规律用数学式子可以描述为s gt2 其中g 9 8m s2 1 时间t和物体下落的距离s所满足的条件用集合如何表示 提示 由44 1 9 8t2 t 3 用a表示时间t的取值构成的集合 则a t 0 t 3 用b表示s的取值构成的集合 则b s 0 s 44 1 2 根据上述关系式 试着填写下表 0 7 056 11 025 19 6 25 921 30 625 44 1 通过对应值表你发现了什么 提示 对于集合a t 0 t 3 中的任一个元素 按照对应关系f 在集合b s 0 s 44 1 中都有唯一元素和它对应 结论 函数的定义设a b是非空的 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个数x 在集合b中都有 确定的数f x 和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作 定义域 指的是 值域 指的是 数集 唯一 y f x x a x的取值范围a 函数值的集合 f x x a 微思考 1 任何两个集合都可以建立函数关系吗 提示 不能 只有在非空数集之间才能建立函数关系 2 对于函数y f x x a f x 与f a 有什么不同 提示 f x 为变数 f a 表示函数f x 当x a时的函数值 是一个常数 主题2区间的概念满足1 x 3的实数x构成的集合如何表示 是否还有其他表示形式 1 x 3呢 提示 满足1 x 3的实数x构成的集合可表示为 x 1 x 3 还可用区间表示为 1 3 满足1 x 3的实数x构成的集合可表示为 x 1 x 3 还可用区间表示为 1 3 结论 1 区间的有关概念 a b为实数 且a b a b a b a b a b 2 无穷大的概念 1 实数集r用区间表示为 读作 读作 读作 无穷大 负无穷大 正无穷大 2 无穷区间的几种表示 a a b b 微思考 1 区间的左 右端点值之间有什么关系 提示 区间的左端点值必须小于右端点值 2 集合 x a x b 与区间 a b 的区别是什么 提示 区间 a b 一定是无限集 且隐含ab时 x a x b 这两种情况均不能用区间 a b 表示 预习自测 1 下列式子中不能表示函数y f x 的是 a x y2 1b y 2x2 1c x 2y 6d x 解析 选a 一个x对应的y值不唯一 故a不能表示函数 2 函数f x 的定义域是 a 1 b 0 0 c 1 0 0 d r 解析 选c 由题意知解得x 1且x 0 故选c 3 下列区间与集合 x x 2或x 0 相对应的是 a 2 0 b 2 0 c 2 0 d 2 0 解析 选c 集合 x x 2或x 0 可表示为 2 0 4 区间 5 8 表示的集合是 a x x 5或x 8 b x 5 x 8 c x 5 x 8 d x 5 x 8 解析 选c 区间 5 8 表示大于等于5且小于8的数 即5 x 8 5 下列各函数中 与y 2x 1是相等函数的是 y y 2x 1 x 0 u 2v 1 y 解析 定义域为 x x r且x 与y 2x 1的定义域不同 定义域为 x x 0 与y 2x 1的定义域不同 y 与y 2x 1的对应关系不同 而 定义域是r 值域是r 对应关系是乘2减1 与y 2x 1完全相同 答案 类型一函数的概念及求值问题 典例1 1 2017 汕头高一检测 下列四个等式中 能表示y是x的函数的是 x 2y 2 2x2 3y 1 x y2 1 2x2 y2 4 a b c d 2 已知函数f x g x 2x 1 求f 1 g 1 的值 求f g 2 的值 求f a 1 g a 1 的值 解题指南 1 根据函数的概念对每一式子进行判断 2 利用函数的解析式 直接将相应的自变量的值代入即可 解析 1 选a 对 可化为y x 1 表示y是x的一次函数 可化为y x2 表示y是x的二次函数 当x 5时 y 2或y 2 不符合唯一性 故y不是x的函数 当x 2时 y 2 故y不是x的函数 2 f 1 g 1 2 1 1 3 由g 2 2 2 1 5 所以f g 2 f 5 f a 1 g a 1 2 a 1 1 2a 3 方法总结 1 判断某一对应关系是否为函数的步骤 1 a b为非空数集 2 a中任一元素在b中有元素与之对应 3 b中与a中元素对应的元素唯一 2 函数求值的方法 1 已知f x 的表达式时 只需用a替换表达式中的x即得f a 的值 2 求f g a 的值应遵循由里往外的原则 注意 用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值 否则函数无意义 巩固训练 1 下列从集合a到集合b的对应关系中 不能确定y是x的函数的是 a x x z b y y z 对应关系f x y a x x 0 x r b y y r 对应关系f x y2 3x a x x r b y y r 对应关系f x y x2 y2 25 a r b r 对应关系f x y x2 a x y x r y r b r 对应关系f x y s x y a x 1 x 1 x r b 0 对应关系f x y 0 a b c d 解析 选d 在对应关系f下 a中不能被3整除的数在b中没有数与它对应 所以不能确定y是x的函数 在对应关系f下 a中的数在b中有两个数与之对应 所以不能确定y是x的函数 在对应关系f下 a中的数 除去5与 5外 在b中有两个数与之对应 所以不能确定y是x的函数 a不是数集 所以不能确定y是x的函数 显然满足函数的特征 y是x的函数 故应选d 2 设函数f x 3x2 1 则f a f a 的值是 a 0b 3a2 1c 6a2 2d 6a2 解析 选a f a f a 3a2 1 3 a 2 1 0 补偿训练 1 2017 广州高一检测 如图 可表示函数y f x 的图象的只能是 解题指南 本题利用函数的定义 对于定义域内的任意的自变量x 有唯一的函数值与之对应 判断出哪个图形符合函数的对应法则 即得到本题结论 解析 选d 根据函数的定义 对于定义域内的任意的一个自变量x 有唯一的函数值与之对应 故任作一条垂直于x轴的直线 与函数的图象最多有一个交点 2 2017 青岛高一检测 给定的下列四个式子中 能确定y是x的函数的是 a b c d 解析 选c 由x2 y2 1得y 不满足函数的定义 所以 不是函数 由 x 1 0得x 1 0 0 所以x 1 y 1 所以 不是函数 由 1得y 1 2 1 满足函数的定义 所以 是函数 要使函数y 有意义 则此时不等式组无解 所以 不是函数 类型二求函数的定义域 典例2 求函数f x 的定义域 解题指南 只需根式有意义 同时分母不为0即可 解析 要使此函数有意义 则即x 1且x 0 所以函数的定义域为 x x 1且x 0 延伸探究 1 将本例中的函数改为f x 则定义域如何 解析 要使此函数有意义 则即x 1且x 0且x 1 所以函数的定义域为 x x 1且x 0且x 1 2 本例中条件不变 计算f a 1 的值 解析 因为函数的定义域为 x x 1且x 0 故a 1 1且a 1 0 所以a 2且a 1 此时f a 1 a 2且a 1 方法总结 求解函数定义域的三个步骤 提醒 求函数定义域之前 尽量不要对函数的解析式化简变形 以免引起定义域的变化 补偿训练 1 2017 阜阳高二检测 函数y 的定义域为 解析 由得x 4且x 2 答案 4 2 2 2 函数y 的定义域为 解析 由所以 x 2 故函数的定义域为答案 类型三函数相等的判断 典例3 1 2017 大连高一检测 下列函数与y x是同一函数的是 2 2017 贵州高一检测 与函数y 为同一函数的是 解题指南 根据函数的定义域与对应关系是否相同 对每一函数分别判断 解析 1 选a 函数y x的定义域为r 值域为r 选项a中 y x 且定义域为r 值域为r 所以与y x是同一函数 选项b中 y x x 1 与y x的定义域不同 所以与y x不是同一函数 选项c中 y x 0 与y x的值域不同 对应关系不完全相同 所以与y x不是同一函数 选项d中 y x x 0 与y x的定义域不同 所以与y x不是同一函数 故答案为a 2 选b 函数y 的定义域为 0 故y x x 其他选项错误 故选b 方法总结 判断两函数相等的方法及注意点 1 方法 判断两函数是否相等时 要遵循定义域优先的原则 即要先求定义域 若定义域不同 则不相等 若定义域相同 再化简函数的解析式 看对应关系是否相同 2 两个注意点 函数的表示 与变量用什么字母表示无关 解析式的化简 在化简解析式时 必须是等价变形 巩固训练 下列给出的各组函数f x 与g x 中 是同一个关于x的函数的是 a f x x 1 g x 1b f x 3x 2 g x 3x 2c f x x2 g x d f x 1与g x 解析 选c a项中函数的定义域不同 b项的解析式不同 即对应关系不同 d项的定义域不同 x 0时g x 没有意义 只有c项符合条件 补偿训练 判断下列各组函数是否是相等函数 1 y 1与y x0 2 y 3 y x 1与y 4 解题指南 根据函数的定义域与对应关系是否相同 对每一组中两个函数分别判断 解析 对于 1 函数y 1的定义域为r 函数y x0的定义域为 x x 0 两者定义域不同 所以不是相等函数 对于 2 y 的定义域为r y 2的定义域为 x x 0 两者定义域不同 所以不是相等函数 对于 3 y