高考数学复习课件 9.7 立体几何中的向量方法 理 新人教版.ppt

一 用空间向量解决直线 平面的位置关系1 一条直线的方向向量有 个 2 所谓平面的法向量 就是指所在直线与平面垂直的向量 一个平面的法向量也有 个 3 若直线l的方向向量是u a1 b1 c1 平面 的法向量是v a2 b2 c2 则有 1 l u v u v 0 2 l u v u kv a1a2 b1b2 c1c2 0 a1 k a2 b1 k b2 c1 k c2 k 0 无数 无数 二 用空间向量解决异面直线夹角 线面角 二面角 点到面的距离 锐角或直角 3 二面角的取值范围为 设n1 n2是二面角 l 的两个面的法向量 则向量n1 n2的 就是二面角的平面角的大小 直线与它在这个平面内的射影 所成的角 sin 0 夹角或其补角 1 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为u 2 0 4 则 a l b l c l d l与 斜交解析 u 2a 所以a u 所以l 答案 b 2 若两个平面 的法向量分别是n 1 0 1 v 1 1 0 则这两个平面所成的锐二面角的度数是 答案 60 答案 2 3 4 4 已知a 2 3 1 b 4 1 2 c 6 3 7 d 5 4 8 则点d到平面abc的距离为 解析 设平面abc的法向量为n x y z 解 证 与角有关的问题 通常是先 定位 后 定量 空间各种角的度量都是转化为平面角来实现的 要熟练掌握各类角转化为平面角的方法 1 异面直线所成的角可以转化为两条直线的方向向量的夹角或它们的补角 取其中的锐角或直角 即它们夹角的余弦值为非负 2 直线与平面所成的角可以转化为直线和直线在平面内的射影所成的角 即直线的方向向量与平面法向量所成的锐角的余角 3 二面角可以转化为两个半平面内分别垂直于棱的两个向量的夹角 或运用两个平面的定向法向量求得 考点一异面直线所成的角 即时巩固详解为教师用书独有 1 求证 平面pab 平面pad 2 设ab ap 若直线pb与平面pcd所成的角为30 求线段ab的长 在线段ad上是否存在一个点g 使得点g到点p b c d的距离都相等 说明理由 1 证明 因为pa 平面abcd ab 平面abcd 所以pa ab 又ab ad pa ad a 所以ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 2 解 以a为坐标原点 建立空间直角坐标系a xyz 如图 在平面abcd内 作ce ab交ad于点e 则ce ad 在rt cde中 de cd cos45 1 ce cd sin45 1 设ab ap t 则b t 0 0 p 0 0 t 由ab ad 4 得ad 4 t 所以e 0 3 t 0 c 1 3 t 0 d 0 4 t 0 假设在线段ad上存在一个点g 使得点g到点p b c d的距离都相等 由于方程 没有实数根 所以在线段ad上不存在一个点g 使得点g到点p c d的距离都相等 从而 在线段ad上不存在一个点g 使得点g到点p b c d的距离都相等 1 求pb与cd所成的角 2 求直线pd与平面pac所成的角的余弦值 分析 本题中给出的几何体易于建立空间直角坐标系 从而利用 向量法 解决线线角 线面角等夹角问题 考点二二面角 1 证明 平面pqc 平面dcq 2 求二面角q bp c的余弦值 关键提示 建立空间直角坐标系后 要求二面角的余弦值就要分别找出两个半平面的法向量 再由图形观察 结合法向量的余弦值 得所求 解 如图 以d为坐标原点 线段da的长为单位长 射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系d xyz 1 依题意有q 1 1 0 c 0 0 1 p 0 2 0 即时巩固2 在四棱锥v abcd中 底面abcd是正方形 侧面vad是正三角形 平面vad 底面abcd 如图所示 1 证明 ab 平面vad 2 求二面角a vd b的余弦值 1 证明 因为平面vad 平面abcd ab ad 所以根据面面垂直的性质知ab 平面vad 2 解 过v作vo ad于o 由平面vad 平面abcd 得vo 底面abcd 考点三点到平面的距离 案例3 2011 上海 已知abcd a1b1c1d1是底面边长为1的正四棱柱 o1是a1