高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1.2.2 习题课—指数函数及其性质课件 新人教A版必修1.ppt

第2课时习题课 指数函数及其性质 类型一比较两数的大小 典例1 比较下列各题中两个值的大小 3 0 20 3 0 30 2 解题指南 利用指数函数的单调性 图象或中间量比较大小 解析 1 因为0 2 5 所以 2 在同一平面直角坐标系中画出指数函数y 与y 的图象 如图所示 当x 0 5时 由图象观察可得 3 因为0 0 2 0 3 1 所以指数函数y 0 2x与y 0 3x在定义域r上均是减函数 且在区间 0 上函数y 0 2x的图象在函数y 0 3x的图象的下方 类比于题 2 图 所以0 20 2 0 30 2 又根据指数函数y 0 2x在r上是减函数可得0 20 3 0 20 2 所以0 20 3 0 30 2 方法总结 比较幂值大小的三种类型及处理方法 巩固训练 已知a是方程x2 x 1 0的正根且f x ax 若实数m n满足f m f n 则m n的大小关系是 解析 由题意a 1 所以f x ax在r上是增函数 又因为f m f n 故m n 答案 m n 补偿训练 比较下列各组数的大小 解析 因为y 是减函数且 1 8 2 5 所以 因为 0 80 4 又因为y 0 8x是减函数且0 5 0 4 所以0 80 5 0 80 4 即0 80 5 因为0 6 2 0 60 1 所以0 6 2 类型二简单的指数不等式 典例2 1 解不等式 2 2 若a 3x ax 4 a 1 求x的取值范围 解题指南 1 将不等式左端利用分数指数幂的运算性质化为以2为底的指数式 然后利用指数函数y 2x的单调性即可求解 2 利用指数函数y ax a 1 在r上是增函数 将原不等式化为一元一次不等式来求解 解析 1 原不等式 2 2x 1 2 2x 1 1 x 0 故原不等式的解集为 0 2 因为f x ax a 1 是r上的增函数 且a 3x ax 4 所以 3x x 4 即x 1 故x的取值范围是x 1 延伸探究 1 若把本例 2 中的 a 1 换为 0 a 1 其他条件不变 则结果又是什么呢 解析 因为0ax 4 3x 1 故x的取值范围是x 1 2 若把本例 2 中的 a 1 换为 a 0且a 1 其他条件不变 则结果又是什么呢 解析 当a 1时 原不等式 3x x 4 x 1 故当a 1时 x的取值范围是x 1 方法总结 af x ag x a 0且a 1 型的指数不等式的解法 1 a 1时 af x ag x f x g x 2 0ag x f x g x 提醒 不等式的解集一定要写成集合或区间的形式 不能写成不等式的形式 拓展 非同底的简单指数不等式的解法 1 形如ax b的不等式 注意将b化为以a为底的指数幂的形式 再借助y ax的单调性求解 2 形如ax bx的不等式 可借助图象求解 也可转化为 1来解 补偿训练 函数y 的定义域是 解析 由32x 1 3x 0得32x 1 3x 所以2x 1 x 即x 1 答案 1 类型三指数函数性质的综合应用 典例3 2017 大庆高一检测 已知定义在r上的奇函数f x 1 求a b的值 2 判断并证明f x 在r上的单调性 3 求该函数的值域 解题指南 1 利用奇函数的定义列出a b的方程组 求解a b的值 2 利用增函数 减函数的定义去判断 3 采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子 或分母 含有未知数的形式更容易求值域 解析 1 因为f x 是r上的奇函数 2 f x 在r上是增函数 证明如下 由 1 知f x 设x1 x2 r 且x1 x2 则f x1 f x2 因为y 2x是r上的增函数 且x10 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在r上是增函数 3 f x 由2x 0 得2x 1 1 所以0 2 所以 1 1 1 即 1 f x 1 所以函数f x 的值域为 1 1 方法总结 1 形如y f ax a 0 且a 1 的函数的单调性的求法 1 定义法 即 取值 作差 变形 定号 其中 在定号过程中需要用到指数函数的单调性 2 利用复合函数的单调性的规律来判断 2 由指数函数构成的复合函数的值域求法一般用换元法即可 但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下 函数值域的变化情况 3 判定函数奇偶性要注意的问题 1 坚持 定义域优先 的原则 如果定义域不关于原点对称 可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数 2 正确利用变形技巧 耐心分析f x 和f x 的关系 必要时可利用f x f x 0来判定 3 巧用图象的特征 在解答有图象信息的选择 填空题时 可根据奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 进行快速判定 补偿训练 1 2017 杭州高一检测 函数f x k a x k a为常数 a 0且a 1 的图象过点a 0 1 b 3 8 1 求函数f x 的解析式 2 若函数g x 试判断函数g x 的奇偶性 并给出证明 解题指南 1 要求f x 的解析式 只需将a 0 1 b 3 8 的坐标代入f x k a x 列出k与a的方程组 解方程组即可 2 要判断g x 的奇偶性 只需判断g x 与g x 的关系 解析 1 由已知得所以k 1 a 所以f x 2x 2 函数g x 为奇函数 证明如下 g x 其定义域为r 又g x 所以函数g x 为奇函数 2 已知函数f x a 1 1 判断函数的奇偶性 2 求该函数的值域 3 利用定义法证明f x 是r上的增函数 解题指南 1 先求定义域 再判断f x 与f x 相等或互为相反数 2 采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子 或分母 含有未知数的形式更容易求值域 3 定义法证明函数单调性的基本步骤 设元 作差 变形 判号 下结论 可用其证明f x 在r上是增函数 解析 1 因为定义域为 x x r 且f x f x 所以f x 是奇函数 2 f x 因为ax 1 1 所以所以 1 1 1 即f x 的值域为 1 1 3 任取x1 x2 r 且x11时 y ax为r上的增函数 由x1 x2得 所以f x 是r上的增函数 拓展类型 指数型复合函数的单调性 典例 1 函数y 1 x 1 3 x 的单调递增区间是 a 1 b 1 c 1 3 d 1 1 2 求函数y 的单调区间 并证明 解题指南 1 根据复合函数的单调性只需求t x 1 3 x 的单调递减区间 2 要求函数y 的增区间 只需求u x2 2x的减区间 同理 要求y 的减区间 只需求u x2 2x的增区间 解析 1 选a 由定义域为r 令t x 1 3 x x2 2x 3 x 1 2 4 此函数在 1 上为增函数 在 1 上为减函数 又0 1 1 y 1 t在r上为减函数 故函数y 1 x 1 3 x 在 1 上为增函数 2 函数y 的单调递减区间为 1 单调递增区间为 1 证明如下 设u x2 2x 则y 对任意的1 x1y2 所以y 在 1 上是减函数 对任意的x1u2 又因为y 在r上是减函数 所以y1 y2 所以y 在 1 上是增函数 方法总结 1 指数型复合函数的单调性的求解步骤 1 求定义域 依据题意明确研究范围