高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 高考专题突破四 高考中的立体几何问题课件.pptVIP

高考中的立体几何问题 高考专题突破四 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 2 3 4 5 解析 答案 1 在正三棱柱abc a1b1c1中 d为bc的中点 e为a1c1的中点 则de与平面a1b1ba的位置关系为a 相交b 平行c 垂直相交d 不确定 1 2 3 4 5 解析如图取b1c1的中点为f 连接ef df 则ef a1b1 df b1b 且ef df f a1b1 b1b b1 平面efd 平面a1b1ba de 平面a1b1ba 1 2 4 5 解析 3 答案 2 设x y z是空间中不同的直线或平面 对下列四种情形 x y z均为直线 x y是直线 z是平面 z是直线 x y是平面 x y z均为平面 其中使 x z且y z x y 为真命题的是a b c d 解析由正方体模型可知 为假命题 由线面垂直的性质定理可知 为真命题 1 2 4 5 3 解析 3 2018届黑龙江海林市朝鲜中学模拟 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 答案 1 2 4 5 3 解析根据三视图还原几何体为一个直四棱柱 两底面为四边形 侧视图 其余各侧面为矩形 两底面面积为 四个侧面面积为 几何体的表面积为 4 2017 天津滨海新区模拟 如图 以等腰直角三角形abc的斜边bc上的高ad为折痕 把 abd和 acd折成互相垂直的两个平面后 某学生得出下列四个结论 bd ac bac是等边三角形 三棱锥d abc是正三棱锥 平面adc 平面abc 其中正确的是a b c d 解析 答案 1 2 4 5 3 1 2 4 5 3 解析由题意知 bd 平面adc 故bd ac 正确 ad为等腰直角三角形斜边bc上的高 平面abd 平面acd 所以ab ac bc bac是等边三角形 正确 易知da db dc 又由 知 正确 由 知 错 故选b 解析 1 2 4 5 3 答案 或 5 2017 沈阳调研 设 是三个平面 a b是两条不同的直线 有下列三个条件 a b a b b a 如果命题 a b 且 则a b 为真命题 则可以在横线处填入的条件是 把所有正确的序号填上 1 2 4 5 3 解析由线面平行的性质定理可知 正确 当b a 时 a和b在同一平面内 且没有公共点 所以平行 正确 故应填入的条件为 或 题型分类深度剖析 例1 2016 全国 如图 菱形abcd的对角线ac与bd交于点o 点e f分别在ad cd上 ae cf ef交bd于点h 将 def沿ef折到 d ef的位置 1 证明 ac hd 题型一求空间几何体的表面积与体积 证明 故ac ef 由此得ef hd 折后ef与hd保持垂直关系 即ef hd 所以ac hd 解答 所以oh 1 d h dh 3 故od oh 由 1 知ac hd 又ac bd bd hd h bd hd 平面bhd 所以ac 平面bhd 于是ac od 又由od oh ac oh o ac oh 平面abc 所以od 平面abc 所以五棱锥d abcfe的体积 1 若所给定的几何体是柱体 锥体或台体等规则几何体 则可直接利用公式进行求解 其中 等积转换法多用来求三棱锥的体积 2 若所给定的几何体是不规则几何体 则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体 再利用公式求解 3 若以三视图的形式给出几何体 则应先根据三视图得到几何体的直观图 然后根据条件求解 解答 跟踪训练1 2018 乌鲁木齐质检 正三棱锥的高为1 底面边长为 内有一个球与它的四个面都相切 如图 求 1 这个正三棱锥的表面积 解答 2 这个正三棱锥内切球的表面积与体积 解设正三棱锥p abc的内切球球心为o 连接op oa ob oc 而o点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r v三棱锥p abc v三棱锥o pab v三棱锥o pbc v三棱锥o pac v三棱锥o abc 题型二空间点 线 面的位置关系 例2 2017 广州五校联考 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是菱形 pa pd bad 60 e是ad的中点 点q在侧棱pc上 证明 1 求证 ad 平面pbe 证明由e是ad的中点 pa pd可得ad pe 因为底面abcd是菱形 bad 60 所以ab bd 所以ad be 又pe be e pe be 平面pbe 所以ad 平面pbe 证明 2 若q是pc的中点 求证 pa 平面bdq 证明连接ac 交bd于点o 连接oq 因为o是ac的中点 q是pc的中点 所以oq pa 又pa 平面bdq oq 平面bdq 所以pa 平面bdq 解答 解设四棱锥p bcde q abcd的高分别为h1 h2 1 平行问题的转化 利用线线平行 线面平行 面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时 一般遵循从 低维 到 高维 的转化 即从 线线平行 到 线面平行 再到 面面平行 而应用性质定理时 其顺序正好相反 在实际的解题过程中 判定定理和性质定理一般要相互结合 灵活运用 2 垂直问题的转化 在空间垂直关系中 线面垂直是核心 已知线面垂直 既可为证明线线垂直提供依据 又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫 应用面面垂直的性质定理时 一般需作辅助线 基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线 从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题 进而可转化为线线垂直问题 证明 跟踪训练2如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab ac e是bc的中点 求证 1 平面ab1e 平面b1bcc1 证明在直三棱柱abc a1b1c1中 cc1 平面abc 因为ae 平面abc 所以cc1 ae 因为ab ac e为bc的中点 所以ae bc 因为bc 平面b1bcc1 cc1 平面b1bcc1 且bc cc1 c 所以ae 平面b1bcc1 因为ae 平面ab1e 所以平面ab1e 平面b1bcc1 2 a1c 平面ab1e 证明 证明连接a1b 设a1b ab1 f 连接ef 在直三棱柱abc a1b1c1中 四边形aa1b1b为平行四边形 所以f为a1b的中点 又因为e是bc的中点 所以ef a1c 因为ef 平面ab1e a1c 平面ab1e 所以a1c 平面ab1e 题型三平面图形的翻折问题 例3 2016 全国 如图 菱形abcd的对角线ac与bd交于点o ab 5 ac 6 点e f分别在ad cd上 ae cf ef交bd于点h 将 def沿ef折到 d ef的位置 od 1 证明 d h 平面abcd 证明 证明由已知得ac bd ad cd 因此ef hd 从而ef d h 所以oh 1 d h dh 3 于是d h2 oh2 32 12 10 d o2 故d h oh 又d h ef 而oh ef h 所以d h 平面abcd 解答 2 求二面角b d a c的正弦值 解如图 以h为坐标原点 hf hd hd 所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 则h 0 0 0 a 3 1 0 b 0 5 0 c 3 1 0 设m x1 y1 z1 是平面abd 的法向量 则 所以可取m 4 3 5 设n x2 y2 z2 是平面acd 的法向量 则 所以可取n 0 3 1 平面图形的翻折问题 关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 一般地 翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 跟踪训练3如图 1 四边形abcd为矩形 pd 平面abcd ab 1 bc pc 2 作如图 2 折叠 折痕ef dc 其中点e f分别在线段pd pc上 沿ef折叠后 点p叠在线段ad上的点记为m 并且mf cf 证明 1 证明 cf 平面mdf 几何画板展示 证明因为pd 平面abcd ad 平面abcd 所以pd ad 又因为abcd是矩形 cd ad pd cd d pd cd 平面pcd 所以ad 平面pcd 又cf 平面pcd 所以ad cf 即md cf 又mf cf md mf m md mf 平面mdf 所以cf 平面mdf 解答 2 求三棱锥m cde的体积 解因为pd dc pc 2 cd 1 pcd 60 如图 过点f作fg cd交cd于点g 题型四立体几何中的存在性问题 例4 2017 安徽江南名校联考 如图 在四棱锥p abcd中 pd 平面abcd ab dc ab ad dc 6 ad 8 bc 10 pad 45 e为pa的中点 1 求证 de 平面bpc 证明 证明取pb的中点m 连接em和cm 过点c作cn ab 垂足为点n 在平面abcd内 cn ab da ab cn da 又ab cd 四边形cdan为平行四边形 cn ad 8 dc an 6 在rt bnc中 ab 12 而e m分别为pa pb的中点 em ab且em 6 又dc ab em cd且em cd 四边形cdem为平行四边形 de cm cm 平面pbc de 平面pbc de 平面bpc 2 线段ab上是否存在一点f 满足cf db 若存在 请求出二面角f pc d的余弦值 若不存在 请说明理由 解答 解由题意可得da dc dp两两互相垂直 如图 以d为原点 da dc dp所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系dxyz 则a 8 0 0 b 8 12 0 c 0 6 0 p 0 0 8 又平面dpc的一个法向量为m 1 0 0 设平面fpc的法向量为n x y z 假设ab上存在一点f使cf bd 设点f的坐标为 8 t 0 0 t 12 又由图可知 该二面角为锐二面角 对于线面关系中的存在性问题 首先假设存在 然后在该假设条件下 利用线面关系的相关定理 性质进行推理论证 寻找假设满足的条件 若满足则肯定假设 若得出矛盾的结论则否定假设 跟踪训练4 2018 成都模拟 如图 四棱柱abcd a1b1c1d1中 侧棱a1a 底面abcd ab dc ab ad ad cd 1 aa1 ab 2 e为棱aa1的中点 1 证明 b1c1 ce 证明 证明如图 以点a为原点 分别以ad aa1 ab所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 由题意得a 0 0 0 b 0 0 2 c 1 0 1 b1 0 2 2 c1 1 2 1 e 0 1 0 2 求二面角b1 ce c1的正弦值 解答 设平面b1ce的法向量m x y z 消去x 得y 2z 0 不妨令z 1 可得一个法向量为m 3 2 1 由 1 知 b1c1 ce 又cc1 b1c1 cc1 ce c cc1 ce 平面cec1 可得b1c1 平面cec1 解答 设 为直线am与平面add1a1所成的角 则 课时作业 基础保分练 1 2017 北京 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的最长棱的长度为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析在正方体中还原该四棱锥 如图所示 可知sd为该四棱锥的最长棱 由三视图可知正方体的棱长为2 故选b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 答案 2 2018 沈阳质检 如图所示 已知平面 平面 l a b是直线l上的两点 c d是平面 内的两点 且ad l cb l da 4 ab 6 cb 8 p是平面 上的一动点 且有 apd bpc 则四棱锥p abcd体积的最大值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析由题意知 pad pbc是直角三角形 又 apd bpc 所以 pad pbc 因为da 4 cb 8 所以pb 2pa 作pm ab于点m 由题意知 pm 平面 令bm t 则am 6 t pa2 6 t 2 4pa2 t2 所以pa2 4t 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 即为四棱锥p abcd的高 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 答案 3 2017 云南省11校调研 设已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 有下列四个命题 若 m n 则m n 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中所有正确命题的序号是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析对于 当两个平面互相垂直时 分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直 因此 不正确 对于 依据结论 由空间一点向一个二面角的两个半平面 或半平面所在平面 引垂线 这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 可知 正确 对于 分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行 因此 不正确 对于 由n 得 在平面 内必存在直线n1平行于直线n 由m 得m m n1 又n1 n 因此有m n 正确 综上所述 所有正确命题的序号是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 答案 4 如图梯形abcd中 ad bc abc 90 ad bc ab 2 3 4 e f分别是ab cd的中点 将四边形adfe沿直线ef进行翻折 给出四个结论 df bc bd fc 平面dbf 平面bfc 平面dcf 平面bfc 在翻折过程中 可能成立的结论是 填写结论序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析因为bc ad ad与df相交不垂直 所以bc与df不垂直 则 错误 设点d在平面bcf上的射影为点p 当bp cf时就有bd fc 而ad bc ab 2 3 4 可使条件满足 所以 正确 当点p落在bf上时 dp 平面bdf 从而平面bdf 平面bcf 所以 正确 因为点d的投影不可能在fc上 所以平面dcf 平面bfc不成立 即 错误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 答案 5 如图所示 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 e为bc的中点 点p在线段d1e上 则点p到直线cc1的距离的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明 6 2018 烟台模拟 如图 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 ac b1d bb1 底面abcd e f h分别为ad cd dd1的中点 ef与bd交于点g 1 证明 平面acd1 平面bb1d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明 bb1 平面abcd ac 平面abcd ac bb1 又ac b1d bb1 b1d b1 bb1 b1d 平面bb1d ac 平面bb1d ac 平面acd1 平面acd1 平面bb1d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明 2 证明 gh 平面acd1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明设ac bd o 连接od1 e f分别为ad cd的中点 ef od g g为od的中点 h为dd1的中点 hg od1 gh 平面acd1 od1 平面acd1 gh 平面acd1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明 7 2017 青岛质检 在平面四边形abcd中 ab bd cd 1 ab bd cd bd 将 abd沿bd折起 使得平面abd 平面bcd 如图所示 1 求证 ab cd 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明 平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd ab 平面abd ab bd ab 平面bcd 又cd 平面bcd ab cd 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 2 若m为ad的中点 求直线ad与平面mbc所成角的正弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解过点b在平面bcd内作be bd 如图 由 1 知ab 平面bcd be 平面bcd bd 平面bcd ab be ab bd 以b为坐标原点 分别以be bd ba所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 设平面mbc的法向量为n x0 y0 z0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 取z0 1 得平面mbc的一个法向量n 1 1 1 设直线ad与平面mbc所成的角为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 技能提升练 8 2017 郑州模拟 等边三角形abc的边长为3 点d e分别是边ab ac上的点 且满足 如图1 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使二面角a1 de b为直二面角 连接a1b a1c 如图2 证明 1 求证 a1d 平面bced 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明因为等边三角形abc的边长为3 在 ade中 dae 60 由余弦定理得 从而ad2 de2 ae2 所以ad de 折起后有a1d de 因为二面角a1 de b是直二面角 所以平面a1de