高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 第2课时 利用导数研究函数的最值课件 新人教B版选修11.pptVIP

第三章 导数及其应用 3 3 2利用导数研究函数的极值第2课时利用导数研究函数的最值 学习目标 1 能够区分极值与最值两个不同的概念 2 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质 而不是函数在整个定义域内的性质 但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大 哪个值最小 函数的极值与最值有怎样的关系 答 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的极值可以有多个 但最值只能有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值有可能成为最值 非常数函数的最值只要不在端点处取得必定是极值 在开区间 a b 上若有唯一的极值 则此极值必是函数最值 预习导引 1 函数f x 在闭区间 a b 上的最值函数f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在处或处取得 端点 极值点 2 求函数y f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 极值 端点处 最小值 最大值 3 函数在开区间 a b 的最值在开区间 a b 内连续的函数不一定有最大值与最小值 若函数f x 在开区间i上只有一个极值 且是极大 小 值 则这个极大 小 值就是函数f x 在区间i上的 最大 小 值 4 极值与最值的意义 1 是在区间 a b 上的所有函数值相比较最大 小 的值 2 是在区间 a b 上的某一个x0附近相比较最大 小 的函数值 最值 极值 要点一求函数在闭区间上的最值 例1求下列各函数的最值 1 f x 2x3 6x2 3 x 2 4 解f x 6x2 12x 6x x 2 令f x 0 得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 当x 4时 f x 取最大值35 当x 2时 f x 取最小值 37 2 f x x3 3x2 6x 2 x 1 1 解f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 3 f x 在 1 1 内恒大于0 f x 在 1 1 上为增函数 故x 1时 f x 最小值 12 x 1时 f x 最大值 2 即f x 的最小值为 12 最大值为2 规律方法 1 求函数的最值 显然求极值是关键的一环 但仅仅是求最值 可用下面简化的方法求得 求出导数为零的点 比较这些点与端点处函数值的大小 就可求出函数的最大值和最小值 2 若函数在闭区间 a b 上连续且单调 则最大 最小值在端点处取得 跟踪演练1求下列函数的最值 令f x 0得x 2或x 2 2 f x ex 3 x2 x 2 5 解 f x 3ex exx2 f x 3ex exx2 2exx ex x2 2x 3 ex x 3 x 1 在区间 2 5 上 f x ex x 3 x 1 0 即函数f x 在区间 2 5 上单调递减 x 2时 函数f x 取得最大值f 2 e2 x 5时 函数f x 取得最小值f 5 22e5 要点二含参数的函数最值问题例2已知a是实数 函数f x x2 x a 求f x 在区间 0 2 上的最大值 解 f x x2 x a f x x 3x 2a 从而f x max f 2 8 4a 从而f x max f 0 0 规律方法由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性变化 从而导致最值变化 所以解决这类问题常需要分类讨论 并结合不等式的知识进行求解 跟踪演练2在本例中 将区间 0 2 改为 1 0 结果如何 从而f x max f 1 1 a 要点三函数最值的应用例3设函数f x tx2 2t2x t 1 x r t 0 1 求f x 的最小值h t 解 f x t x t 2 t3 t 1 x r t 0 当x t时 f x 取最小值f t t3 t 1 即h t t3 t 1 2 若h t 2t m对t 0 2 恒成立 求实数m的取值范围 解令g t h t 2t m t3 3t 1 m 由g t 3t2 3 0得t 1或t 1 不合题意 舍去 当t变化时g t g t 的变化情况如下表 对t 0 2 当t 1时 g t max 1 m h t 1 故实数m的取值范围是 1 规律方法 1 恒成立 问题向最值问题转化是一种常用的解决 恒成立 问题的方法 一般地 可采用分离参数法进行转化 f x 恒成立 f x max f x 恒成立 f x min 对于不能分离参数的恒成立问题 直接求含参函数的最值即可 2 此类问题特别要小心 最值能否取得到 和 不等式中是否含等号 的情况 以此来确定参数的范围能否取得 跟踪演练3设函数f x 2x3 9x2 12x 8c 1 若对任意的x 0 3 都有f x 0 当x 1 2 时 f x f 1 x 0 3 时 f x 的最大值为f 3 9 8c 对任意的x 0 3 有f x 9 c的取值范围为 1 9 2 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 解由 1 知f x f 3 9 8c 9 8c c2 即c 1或c 9 c的取值范围为 1 9 1 2 3 4 1 函数f x x2 4x 7 在x 3 5 上的最大值和最小值分别是 a f 2 f 3 b f 3 f 5 c f 2 f 5 d f 5 f 3 解析 f x 2x 4 当x 3 5 时 f x 0 故f x 在 3 5 上单调递减 故f x 的最大值和最小值分别是f 3 f 5 b 2 函数f x x3 3x x 1 a 有最大值 但无最小值b 有最大值 也有最小值c 无最大值 但有最小值d 既无最大值 也无最小值解析f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 所以f x 在 1 1 上单调递减 无最大值和最小值 故选d 1 2 3 4 d 1 2 3 4 c 1 2 3 4 解析由f x 2 得a 2x2 2x2lnx 令g x 2x2 2x2lnx 1 2 3 4 g x 0 当x e时 g x 取最大值g e e a e 答案a e 课堂小结1 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间