中考一元二次方程及其解法聚焦

中考一元二次方程及其解法聚焦一元二次方程及解法是中学数学的重要内容，与解法有关的问题更是中考的必考内容，为了帮助大家了解这部分知识在中考中的考查形式及求解方法，在“知己”的基础上“知彼”，现结合中考试题将这部分知识考查情况归纳如下：基础篇一、 概念例1、（盐城市）已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是（ ）A1 B0 C0或1 D0或-1析解：本题考查了一元二次方程根的定义，按照根的定义首先将x=1代入该方程解得m=1，故选A。点评：此类题求解一般将所给的解直接代入所给方程，从而转化为解待定系数的方程。注意二次项的系数不为0。二、 一元二次方程的解法1、 配方法例2、（淮安市）方程x2+4x=2的正根为（ ） A2- B2+ C-2- D-2+析解：由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解，用公式法也较繁琐，适合用配方法来解，原方程配方得：（x+2）2=2+4=6，解这个方程得：x+2=,x1=-2+,x2=-2-，由此可得这个方程的正根是-2+，故选D。2、公式法：例3、（福州市）解方程：x2+8x+1=0析解：由题目的特点可知本题适宜用公式法来解，这里a=1，b=8，c=1，则b2-4ac=82-411=60,所以x=-4,则x1=-4+,x2=-4-.3、因式分解法例4、（天门市）方程x（x+3）=（x+3）的根为（ ）A、x1=1,x2=3 B、x1=1,x2=3 C、x=1 D、x=3析解：本题等号的两边都有x+3，故知适合用因式分解法来解，原方程移项得：x（x+3）（x+3）=0，提取公因式x+3得：（x-1）（x+3）=0，解得x1=1，x2=3。点评：解一元二次方程关键是方法的选择。当一个方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。注意用公式法求解时，应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0，再确定a、b、c的值，同时还应明确其使用的前提是b2-4ac0.三、“b2-4ac”的应用例3、（北京市）若关于x得一元二次方程x23xm=0有实数根，则m的取值范围是 。析解：由一元二次方程根的判别式可知该方程有实数根时应有b2-4ac=94m0,由此求得m的取值范围是m。点评：此类题求解应明确一元二次方程根的判别式的根种情况是关键。再由方程根的情况解不等式或方程即可。综合篇三、 学科内综合题例4、（嘉兴市）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x26x80的一个根，则这个三角形的周长是（ ）（A）9（B）11（C）13（D）11或13析解：本题为一道关于三角形的三边关系和一元二次方程的解法的综合题，首先利用因式分解法求出这个方程的解x1=2，x2=4，再将其给出的三角形的两边组合，看其是否符合三角形的三边关系，如符合，则保留，反之，则舍去，据此可知4是这个三角形的第三边，则这个三角形的周长是13，故选C。点评：此类题注意在求出方程的解后一定要利用三角形的三边关系去检验，再确定三角形的周长。 创新篇五、新运算规则题例5、（兰州市）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为ab=a2b2，根据这个规则，方程（x+2）5=0的解为 。析解：本题为一道一元二次方程创新题，弄清题目规则是求解的关键，由规则（x+2）5=0变为（x+2）252=0,将其因式分解得（x+2+5）（x+2-5）=0.解得x1=-7,x2=3.即这个方程的解为x1=-7,x2=3。六、开放性试题例6、（北京市海淀区）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x21=0 x2+x2=0 x2+2x3=0 x2+(n1)xn=0（1）请解上述一元二次方程,；（2）请你指出这n个方程的根具有什么不同特点，写出一条即可。析解：（1）上面几个方程利用因式分解法可得其解分别为：；。（2）本题答案不唯一，观察这些解不难得出其共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等。点评：此类题应对求出的解从多方面去观察、分析和归纳，进而总结出其特点。七、探究性试题例7、（广东省）将一条长为20的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于172，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于122吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。析解：（1）不妨设剪成两段后其中一段长为xcm，则另一段长（20-x）cm，则由题意得：（）2+（）2=17,解得x1=16,x2=4.（2）因（）2+（）2=12，