高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.3.1 相似三角形的判定课件 新人教A版选修41.pptVIP

1 3 1相似三角形的判定 1 相似三角形 1 相似三角形 对应角相等 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 2 相似比 相似三角形对应边的比值叫做相似比 或相似系数 3 表示方法 两个三角形相似 用符号 表示 例如 abc与 a b c 相似 记为 abc a b c 名师点拨理解相似三角形 注意以下几点 1 两个三角形相似 它们不一定全等 两个三角形全等 它们一定相似 2 对应边成比例 是指三角形的三组对应边分别成比例 且比值相同 做一做1 若 abc a1b1c1 则下列结论正确的是 a ab a1b1b abc a1b1c1 d bca b1a1c1答案 b 2 相似三角形的判定 1 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 如图 所示 在 abc中 de bc 则 abc ade 2 判定定理1 对于任意两个三角形 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 简述为 两角对应相等 两三角形相似 3 引理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 4 判定定理2 对于任意两个三角形 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 简述为 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 5 判定定理3 对于任意两个三角形 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相似 简述为 三边对应成比例 两三角形相似 名师点拨1 相似三角形判定定理的作用 1 判定两个三角形相似 2 间接证明角相等 线段长成比例 3 为计算线段的长度及角的大小创造条件 2 相似三角形判定定理的常用推论 1 顶角或底角相等的两个等腰三角形相似 2 腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似 3 如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例 那么这两个三角形相似 4 如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例 那么这两个三角形相似 做一做2 如图 给出下列条件 b acd adc acb ac2 ad ab 其中能够单独判定 abc acd的个数为 a 1b 2c 3d 4解析 答案 c 3 直角三角形相似的判定 1 定理1 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等 那么它们相似 2 定理2 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例 那么它们相似 3 定理3 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 做一做3 在 abc和 a b c 中 a a 90 b 35 则 c 解析 a a 90 abc和 a b c 均是直角三角形 abc a b c c c b 35 c 90 b 90 35 55 c 55 答案 55 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 有两边对应成比例及一个角相等的两个三角形相似 2 有三边分别对应平行的两个三角形相似 3 有两边成比例的两个等腰三角形相似 4 有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似 5 如果两个直角三角形中有一个内角相等 那么它们一定相似 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 三角形相似的定义 例1 如图 在 abc中 ab ac a 36 bd是 b的平分线 试证明 ad2 dc ac 分析 顶角是36 的等腰三角形 它的底角是72 而bd是底角的平分线 所以 cbd 36 则可推出 abc bcd 进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系 证明 a 36 ab ac abc c 72 又bd平分 abc abd cbd 36 ad bd bc 且 abc bcd bc ab cd bc bc2 ab cd 又ad bc ab ac ad2 cd ac 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟根据三角形相似的定义 可由三角形相似得到成比例的线段 从而可推出线段长度之积相等 在推理过程中 要注意对应边 对应角 避免出现不对应的情况 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练1如图 在平行四边形abcd中 点e在dc上 若de ec 1 2 则bf be 解析 de ec 1 2 dc ec 3 2 ab ec 3 2 ab ec abf cef 答案 3 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 三角形相似的判定 例2 如图 在 abc中 ab ac ad是bc边上的中线 cf ba bf交ad于点p 交ac于点e 求证 pce pfc 分析 由于 pce和 pfc有公共角 因此只需再证得另一组对应角相等即可 证明 如图 在 abc中 ab ac d为bc的中点 ad垂直平分bc pb pc 1 2 ab ac abc acb abc 1 acb 2 即 3 4 cf ab 3 f 4 f 又 epc cpf pce pfc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟证明三角形相似的一般思路1 先找两对内角对应相等 2 若只有一个内角对应相等 再判定这个角的两邻边是否对应成比例 3 若无角对应相等 则证明三边对应成比例 判定两个三角形相似 要注意结合图形灵活选择判定定理 特别要注意对应角和对应边 证明线段乘积相等的问题 一般转化为有关线段成比例问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练2如图 在rt abc中 bac 90 bm是ac边上的中线 ad bm 垂足是点d 求证 mcd mbc 证明 在rt adm与rt bam中 amd amb dmc bmc mcd mbc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 直角三角形相似的判定 例3 如图 直线ef分别交ab ac于点f e 交bc的延长线于点d ac bc于点c 且ab cd de ac 求证 ae ce de ef 分析 先证 acb dce 再证 aef dec即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 反思感悟证明直角三角形相似的方法1 使用一般三角形相似的判定方法证明 2 使用直角三角形相似的判定定理证明 即 1 有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 2 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例 那么它们相似 3 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练3如图 在正方形abcd中 p是bc上的点 且bp 3pc q是cd的中点 求证 adq qcp 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 对相似三角形的判定定理理解不准确致误 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 正解 如图 过点c作ce ab 交ad的延长线于点e 过点c1作c1e1 a1b1 交a1d1的延长线于点e1 则 e 1 e1 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 纠错心得在证明两个三角形相似时 有时对判定定理中的 对应 二字把握不准确 容易出现的错误是两个三角形中有角相等或线段成比例就认为这两个三角形相似 本题错解 正是由于对判定定理的这种错误理解而导致 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练如图 o是 abc外一点 d e f分别是oa ob oc的中点 求证 def abc 证明 d e f分别是oa ob oc的中点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 如图 ab 8 ad 3 ac 6 当ae 时 可推出 ade acb 答案 d 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 2 如图 在正三角形abc中 d e分别在ac ab上 ad ac ae be 则 a aed bedb aed cbdc aed abdd bad bcd 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 3 如图 de bc 则 ade a ade aed 若ad 5 db 3 则 ade与 abc的相似比是 答案 abcaabcacb 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 4 如图 bd ce是 abc的高 bd ce交于点f 则图中所有与 ace相似的三角形有 解析 因为rt ace与rt fcd rt abd各有一个公共角 所以它们均相似 又易知 bfe a 故rt ace rt fbe 答案 fcd fbe abd 探究一 探究二 探究三 思维辨析