高中数学 第一章 基本初等函数（Ⅱ）1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（1）课件 新人教B版必修4.ppt

1 3 2余弦函数 正切函数的图象与性质 第1课时余弦函数的图象与性质 1 能正确使用 五点法 图象变换法 作出余弦函数y cosx和y acos x 的图象 并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系 2 理解余弦函数的性质 会求余弦函数的周期 单调区间及最值 并能利用余弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题 1 2 1 余弦函数的图象 1 把正弦函数y sinx的图象向左平移个单位长度就得到余弦函数y cosx的图象 该图象叫做余弦曲线 2 余弦曲线 除了上述的平移法得到余弦曲线 还可以用 描点法 按照列表 描点 连线顺序作出余弦函数图象的方法 五点法 观察余弦函数的图象可以看出 0 1 这五点描出后 余弦函数y cosx x 0 2 的图象的形状就基本上确定了 1 2 做一做1 画出函数y cosx x 0 2 的简图 分析运用五点作图法 首先要找出起关键作用的五个点 然后描点连线 解 按五个关键点列表 描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得y cosx x 0 2 的简图 如图所示 1 2 2 余弦函数的性质 1 2 答案 d 1 2 做一做2 2 函数y 3cosx 1的最大值是 最小值是 解析 1 cosx 1 y 3cosx 1的最大值是4 最小值是 2 答案 4 2 1 2 1 关于余弦曲线的对称性问题剖析 1 余弦曲线既是轴对称图形 又是中心对称图形 其对称轴为x k k z 对称中心为 2 余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点 即此时的余弦值为最大值或最小值 余弦曲线的对称中心为余弦曲线与x轴的交点 其纵坐标y 0 名师点拨关于对称性问题 对一般的函数有如下结论 1 若对函数f x 而言 对任意x r 均有f a x f a x 或f x f 2a x 成立 则x a为f x 图象的对称轴 2 若对函数f x 而言 对任意x r 均有f a x f a x 或f x f 2a x 成立 则点 a 0 为f x 图象的对称中心 显然上述结论对余弦函数是成立的 2 余弦型函数y acos x a 0 0 的性质剖析函数y acos x a 0 0 的性质可由余弦函数y cosx的性质类比得到 1 定义域 x r 2 值域 a a 若a的正负不确定 则值域应为 a a 3 单调区间 求形如y acos x 0 的函数的单调区间可以通过解不等式的方法解答 即把 x 视为一个 整体 与余弦函数y cosx的单调递增 减 区间对应 解出x的区间 即为所求 若 0 4 奇偶性 余弦型函数y acos x 不一定具备奇偶性 定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的前提 在满足这一前提条件下 当 k k z 时 y acos x 为偶函数 当 k k z 时 y acos x 为奇函数 题型一 题型二 题型三 例1 用 五点法 画出函数y 2cos2x的简图 分析先找出此函数图象上的五个关键点 画出其在一个周期上的函数图象 再进行拓展得到在整个定义域内的简图 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 然后把y 2cos2x在 0 上的图象向左 右平移 每次平移 个单位长度 得y 2cos2x在r上的图象如图所示 反思在用 五点法 画出函数y acos x 的图象时 所取的五点 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 答案 d反思一定要注意看清变换的顺序 即是由哪个函数图象作为基准 本题容易错选a或c 还要注意涉及左右平移反映在代数式中是看在x的基础上的变化情况 题型一 题型二 题型三 答案 c 题型一 题型二 题型三 分析首先根据函数的解析式列出使函数有意义的条件不等式组 然后分别求解 最后求交集即可 题型一 题型二 题型三 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷 清晰 但要注意区间的开闭情况 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例4 函数y cosx 的单调递增区间为 单调递减区间为 最小正周期为 解析 将y cosx的图象在x轴上方的部分不动 下方部分对称地翻到x轴上方 即得函数y cosx 的图象 如图所示 由图可知函数y cosx 的最小正周期为 题型一 题型二 题型三 反思1 三角式中带绝对值号 通常通过观察图象得到周期和单调区间 2 正弦函数y sinx和余弦函数y cosx取绝对值后 周期缩为原来的一半 即 1 y sinx 的周期为 2 y cosx 的周期为 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思1 1 求函数的最小正周期的基本方法是 若能直接用某些结论 则用其结论即可 若不能直接用 可对其解析式化简 使之能用结论求解 要注意化简过程必须等价 定义域不能发生变化 2 图象法也是求周期的一种方法 2 判断函数的奇偶性 要根据函数奇偶性的定义 定义域关于原点对称是正确判断函数奇偶性的前提 另外还要注意诱导公式在判断f x 与f x 之间的关系时的应用 题型一 题型二 题型三 1 2 3 4 5 6 7 1 下列说法不正确的是 a 正弦函数 余弦函数的定义域是r 值域是 1 1 b 对于余弦函数 当且仅当x 2k k z 时取得最大值1 当且仅当x 2k 1 k z 时取得最小值 1d 余弦函数在区间 2k 2k k z 上是减函数答案 d 1 2 3 4 5 6 7 答案 a 1 2 3 4 5 6 7 a 奇函数b 偶函数c 增函数d 减函数答案 b 1 2 3 4