角平分线模型运用

角平分线模型运用角平分线模型运用 角平分线角平分线 l 定义 如图 2 1 如果 AOB BOC 那么 AOC 2 AOB 2 BOC 像 OB 这样 从一 个角的顶点出发 把这个角分成相等的两个角的射线 叫作这个角的角平分线 图 2 1 2 角平分线的性质定理 如果一条射线是一个角的平分线 那么它把这个角分成两个相等的角 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 3 角平分线的判定定理 在角的内部 如果一条射线的端点与角的顶点重合 且把一个角分成两个等角 那么这条射 线是这个角的平分线 在角的内部 到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上 与角平分线有关的常用辅助线作法 即角平分线的四大基本模型 已知 P 是 MON 平分线上一点 l 若 PA OM 于点 A 如图 2 2 a 可以过 P 点作 PB ON 于点 B 则 PB PA 可记为 图中图中 有角平分线 可向两边作垂线有角平分线 可向两边作垂线 a B A O P M N b B O P M N A 2 若点 A 是射线 OM 上任意一点 如图 2 2 b 可以在 ON 上截取 OB OA 连接 PB 构造 OPB OPA 可记为 图中有角平分线 可以将图对折看 对称以后关系现图中有角平分线 可以将图对折看 对称以后关系现 3 若 AP OP 于点 P 如图 2 2 c 可以延长 AP 交 ON 于点 B 构造 AOB 是等腰三角形 P 是底边 AB 的中点 可记为 角平分线加垂线 三线合一试试看角平分线加垂线 三线合一试试看 4 若过 P 点作 PQ ON 交 OM 于点 Q 如图 2 2 d 可以构造 POQ 是等腰三 角形 可记为 角平分线十平行线 等腰三角形必呈现角平分线十平行线 等腰三角形必呈现 例例 1 1 如图 2 3 a 在 ABC 中 C 90 AD 平分 CAB BC 6cm BD 4cm 那么点 D 到直线 AB 的距离是 cm 图 2 3图 a图 D A B C 2 如图 2 3 b 已知 1 2 3 4 求证 AP 平分 BAC 图 2 3图 b图 4 3 2 1 P A BC 例例 2 如图 2 4 a Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 垂足为 D AF 平分 CAB 交 CD 于点 E 交 CB 于点 F 求证 CE CF C 图 2 4图 a图 E F D A B 将图 2 4 a 中的 ADE 沿 AB 向右平移到 A D E 的位置 使点 E 落在 BC 边上 其它条件不变 如图 2 4 b 所示 试猜想 BE 与 CF 有怎样的数量关 系 请证明你的结论 C 图 2 4图 b图 A D E E F D A B 例例 3 阅读下列学习材料 如图 2 5 a 所示 OP 平分 MON A 为 OM 上一点 C 为 OP 上一点 连接 AC 在射线 ON 上截取 OB OA 连接 BC 如图 2 5 b 易证 AOC BOC 图 2 5图 a图 M O N C A P 图 2 5图 b图 BN O M C A P 请根据上面的学习材料 解答下列各题 l 如图 2 5 c 所示 在 ABC 中 AD 是 BAC 的外角平分线 P 是 AD 上异 于点 A 的任意一点 试比较 PB PC 与 AB AC 的大小 并说明理由 图 2 5图 c图 D C B A 2 如图 2 5 d 所示 AD 是 ABC 的内角平分线 其它条件不变 试比较 PC PB 与 AC AB 的大小 并说明理由 图 2 5图 d图 D A B C P 例例 4 如图 2 6 a 已知等腰直角三角形 ABC 中 A 90 AB AC BD 平分 ABC CE BD 垂足为点 E 求证 BD 2CE 图 2 6图 a图 D E B A C 1 如图 2 7 a BD CE 分别是 ABC 的外角平分线 过点 A 作 AD 上 BD AE CE 垂足分别为 D E 连接 DE 求证 DE BC DE AB BC AC 2 1 图 2 7图 a图 DE A BC 2 如图 2 7 b BD CE 分别是 ABC 的内角平分线 其它条件不变 图 2 7图 b图 F G DE A B C 3 如图 2 7 c BD 为 ABC 的内角平分线 CE 为 ABC 的外角平分线 其 它条件不变 则在图