MS05对角线向量定理.doc

学习数学，领悟数学，秒杀数学对角线向量定理秒杀秘籍：对角线向量定理：在ABC中，由余弦定理的向量式有；在ABC中，同理有.所以在四边形ABCD中，,即这就是对角线向量定理，它表明四边形的两条对角线对应向量的数量积可用四条边的长度表示。推论1：当时，有 .式子表明，当对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等。推论2：cos 需要说明的是，式子既适用于平面向量也适用于空间向量一：用对角线向量定理秒解平面向量题例1：如图，已知平行四边形ABCD，ABBC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O。若记，,则（）A. abc B.acb C.cab D.bac解：由对角线向量定理得,所以b-a=，而c-a=，所以cab,选择C。例2：如图，在圆O中,若弦AB=3,弦AC=5,则的值是()A. 8 B. 1 C. 1 D. 8解：如图所示，由对角向量定理得，所以答案选D.例3：如图，在四边形ABCD中，若则等于（ ）A. B. C. D.解：如图所示，由对角线向量定理得=所以答案选A.2 用对角线向量定理秒解线线角例4：如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E，现将ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为（ ）解：连接EM,EN,AN,由题意有AM=EM,AN=EN,由对角线向量定理得即,所以答案是90。例5：如图，三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_ .解：容易求得AN=CM=，MN=由推论2有三用对角线向量定理妙解立几翻折问题例6：如图在长方形ABCD中，AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点.现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D做DKAB，K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是_.解：根据推论1有：当DKAF时，设则，所以.例7：已知矩形ABCD，AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线BD谁在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解：在翻折过程中，只有AC的长度是变化的，且.有对角线向量定理有：,显然AC与直线BD不垂直。而.当AC=1时，直线AB与直线CD垂直，所以选择B.例8：如图已知平面四边形ABCD，AB=BC=3,CD=1,AD=,.沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦值的最大值是_.解：翻折后仍有.设直线AC与BD所成角为，由对角线向量定理的，当且仅当BD最小时，AC与BD所成角的余弦值最大.有,所以，在翻折过程中，BD的最小值为BC-CD=2即.1. 在ABC中，AB=2，AC=3.若点P满足,则_.2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.3. 如图P为AOB所在平面内一点，向量，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量，若的值为 （ ）A.3 B.5 C. D.4. 如图平面角为60的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4,AC=6，BD=8，求CD的长5. 如图，在菱形ABCD中，=60线段AD，BD的中点分别为E，F.现将ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是 （ ）A. B. C. D.第5题 第6题 第9题 第10题 第14题6如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4，则异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值为（）ABCD7（2018新课标）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）ABCD8已知ABC与BCD均为正三角形，且AB=4若平面ABC与平面BCD垂直，且异面直线AB和CD所成角为，则cos=（）ABCD9如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是（）A2B1CD210如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，AD=5，BC=3，且梯形ABCD的面积等于8，则可取得的最大值为（）A10B11C12D1511在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=BC=2，AD=1，则=（）A2B3C2D512已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则的最大值为 （）AB1CD13在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则=（）A0B2C2D314如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，P为A1C的中点，则异面直线BP与AD1所成角的余弦值为（）ABCD15如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）AB7C2D916若等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=3，BC=，ABC=45，则的值为 17如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，BCD是等边三角形，若=1，则AD的长为 18如图，在四边形ABCD中，ABBC，AB=6，BC=8，ACD是等边三角形，则的值为 19将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AOC=120，A1O1B1=60，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成角的大小是 第15题 第17题 第18题 第19题 第21题20在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线AC把矩形折成二面角DACB的平面角为60时，则|BD|= 21如图，已知平面平面，=l，Al，Bl，AC，BD，ACl，BDl，且AB=4，AC=3，BD=12，则CD= 22如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）若GDEF，则线段DF的长度的取值范围是 1 . 4 由余弦定理向量式得得BC=3.又所以.由对