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数学推理1等差数列：是数字推理最基础的题型，是解决数字推理的“第一思维”。所谓“第一思维”是指在进行任何数字推理的解题时都要首先想到等差数列，即从数与数之间的差的关系进行推理和判断。(数字推理五大基本类型，多级、多重、分数、幂次和递推数列)2. 二级等差数列的变式：二级等差数列变式概要：后一项减前一项所得的新的数列是一个基本数列，这个数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。3. 级等差数列及其变式： 4、植树问题5.容斥原理 容斥原理关键就两个公式：1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=AB+AB2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=ABC+AB+BC+CA-ABC请看例题：【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )A.22 B.18 C.28 D.26【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50； AB=32-4=28，则根据AB=A+B-AB=50-28=22。答案为A。核心要点提示：总路线长间距(棵距)长棵数。只要知道三个要素中的任意两个要素，就可以求出第三个。6. 和差倍问题 核心要点提示：和、差、倍问题是已知大小两个数的和或差与它们的倍数关系，求大小两个数的值。(和+差)2=较大数；(和差)2=较小数；较大数差=较小数。【例题】甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？解析：设乙班的图书本数为1份，则甲班和乙班图书本书的合相当于乙班图书本数的4倍。乙班160（3+1)=40(本)，甲班403=120(本)。7. 抽屉原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。 抽屉原理2：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m1个或多于ml个的物体。8“牛吃草”问题牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1（牛的头数吃草较多的天数牛头数吃草较少的天数）（吃的较多的天数吃的较少的天数）=草地每天新长草的量。2牛的头数吃草天数每天新长量吃草天数=草地原有的草。9利润问题定价=成本+利润 利润=成本利润率 定价=成本（1+利润率) 利润率=利润成本 利润的百分数=(售价-成本)成本100% 售价=定价折扣的百分数 利息=本金利率期数 本息和=本金（1+利率期数) 10平均数问题这里的平均数是指算术平均数，就是n个数的和被个数n除所得的商，这里的n大于或等于2。通常把与两个或两个以上数的算术平均数有关的应用题，叫做平均数问题。 平均数应用题的基本数量关系是： 总数量和总份数=平均数 平均数总份数=总数量和 总数量和平均数=总份数 解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。11.方阵问题学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。核心公式：1方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数4）13方阵外一层总人数比内一层总人数多24去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21 例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?A256人 B250人 C225人 D196人 （2002年A类真题）解析：正确答案为A。方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数：604+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：1616=25612.年龄问题主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。 解答年龄问题的一般方法： 几年后的年龄=大小年龄差倍数差小年龄 几年前的年龄=小年龄大小年龄差倍数差 例1： 甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁，甲乙现在各有： A45岁，26岁 B46岁，25岁 C47岁，24岁 D48岁，23岁 【答案】B。 解析：甲、乙二人的年龄差为（674）3=21岁，故今年甲为6721=46岁，乙的年龄为4521=25岁13. 尾数计算问题1 尾数计算法 知识要点提示：尾数这是数学运算题解答的一个重要方法，即当四个答案全不相同时，我们可以采用尾数计算法，最后选择出正确答案。首先应该掌握如下知识要点：24526133065 和的尾数5是由一个加数的尾数2加上另一个加数的尾数3得到的。24526131839 差的尾数9是由被减数的尾数2减去减数的尾数3得到。24526131503076 积的尾数6是由一个乘数的尾2乘以另一个乘数的尾数3得到。24526134 商的尾数4乘以除数的尾数3得到被除数的尾数2，除法的尾数有点特殊，请学员在考试运用中要注意。例1 99+1919+9999的个位数字是（ ）。A1 B2 C3 D7 （2004年中央A、B类真题）解析：答案的尾数各不相同，所以可以采用尾数法。99927，所以答案为D。我们发现2的尾数变化是以4为周期变化的即21 、25、2924n+1的尾数都是相同的。3n是以“4”为周期进行变化的，分别为3，9，7，1， 3，9，7，1 7n是以“4”为周期进行变化的，分别为9，3，1，7， 9，3，1，7 8n是以“4”为周期进行变化的，分别为8，4，2，6， 8，4，2，6 4n是以“2”为周期进行变化的，分别为4，6， 4，6，9n是以“2”为周期进行变化的，分别为9，1， 9，1，5n、6n尾数不变。14. 最小公倍数和最小公约数问题1关键提示：最小公倍数与最大公约数的题一般不难，但一定要细致审题，千万不要粗心。另外这类题往往和日期（星期几）问题联系在一起，要学会求余。2核心定义：（1）最大公约数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。（2）最小公倍数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫这几个数的最小公倍数。(如果两个数的最大公因数是1，则称这两个数互质)例题1：甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要：A60天 B180天 C540天 D1620天 （2003年浙江真题）解析：下次相遇要多少天，也即求5，9，12的最小公倍数，可用代入法，也可直接求。显然5，9，12的最小公倍数为5334180。所以，答案为B。例题2：三位采购员定期去某商店，小王每隔9天去一次，大刘每隔11天去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相会，下次相会是星期几？A星期一 B星期二 C星期三 D星期四解析：此题乍看上去是求9，11，7的最小公倍数的问题，但这里有一个关键词，即“每隔”，“每隔9天”也即“每10天”，所以此题实际上是求10，12，8的最小公倍数。10，12，8的最小公倍数为52232120。120717余1，15 一、普通递推倍数数列这类题目一般符合递增的特点，且相邻项变化适中，一般在两倍到五倍之间。例1、 5，6，16，28，60，( )A.72 B.84 C. 92 D. 116解析：递推规律为：52-4=6，62+4=16，162-4=28，282+4=60，所以下一项应该是602-4=116。选D。例2、3，5，10，25，75，( )，875A.125 B.250 C. 275 D. 350解析：an+2= (an+1- an)5，(5-3)5=10，(10-5)5=25，(25-10)5=75，(75-25)5=250，(250-75)5=875，选B。二、双项倍数递推数列这一类数列不再是一项的倍数加上另一项推出下一项，或者两项的加减后乘以一个倍数推出下一项，而是两项各自都有变化后再相加得到下一项。例3、 1, 2, 8, 28, 100, ( )。A. 196 B. 248 C. 324 D.356解析：an+2=3an+1+2an；12+23=8;22+83=28;82+283=100。由此可知第一项的2倍加第二项的3倍的和为第三项，即282+1003=356。故选D。三、其他特殊递推数列例4、 0.5，l，2，5，17，107，( )A. 1947 B. 1945 C. 1943 D. 1941解析：选A。原数列递推关系为an-1(an+1)+ an = an+1，n1。例5、-2，1/2，4，2，16，( )A. 32 B. 64 C. 128 D. 256解析：选D，推理特点为四、递推倍数数列新题型预测以上介绍了联考考过的一些递推倍数的题型，联考尚未考察过，却又十分重要的一种新型递推倍数数列隔项递推，需要引起大家的注意。例6、 12，4，8，32，24，768，( )A.432 B.516 C.744 D.1268解析：选C。我们容易看出规律6+(-4)=8、-48=-32、8+(-32)=-24、-32(-24)=768，所以答案为-24+768=744。所谓图形推理的思维路线，其实就是拿到图形推理之后，如何对于图形单元进行拆分和组合的问题。以2009年度的一道国家考题为例来说明。此类试题是近几年各类公考中图形推理的热点题型。A B C D本题可以从四种不同的路径来进行推理。路径（一）分组渐变由中间将所给图形分为两组。前一组三个图形中圆圈的数量变化为4、2、0，五角星的数量变化为0、1、2，均构成等差数列；后一组三个图形中圆圈的数量变化也应符合这个规律，因此后一组中圆圈的数量变化应为4、2、0，五角星的数量变化为1、2、3，因此D选项正确。路径（二）分组同化由中间将所给图形分为两组，将1颗五角星等效为2个圆圈。前一组三个图形中圆圈数量均为4个，后一组三个图形中圆圈数量均为6个，通过等效替换发现D选项正确。路径（三）全列渐变将1颗五角星等效为3个圆圈，则全列来看圆圈的数量依次为4、5、6、7、8、（9），通过等效替换发现D选项正确。路径（四）左右对称将六个图形从中间对称来看，第三图和第四图叠加之后有4个圆圈3个五角星，第二图和第五图叠加之后有4个圆圈3个五角星，第一图和第六图叠加之后也应符合这个规律，因此D选项正确。由以上一道例题的四种解法可以看出，图形推理的思维路线相对灵活，从各种角度去考虑图形可能都能得到正确的结果，如果能够多多掌握不同的思维路线，对于求解图形推理会有很大的帮助。以下的三道例题体现出图形最常见三种思维路线：例1：（2010年918联考第46题）解析：C。本题的思维路线是从图一至图五呈现一致变化规律。观察可以发现每个图形都被内部的线段分割为几个独立的封闭区间，前四幅图都是4个封闭区间，第五幅图也应符合这个规律，因此C选项正确。例2：（2008年江苏C类第40题）解析：A。本题的思维路线是隔项变化。观察图一至图五，可发现图一、三、五构成元素相同。图二、四构成元素相同。很容易推出本题属于隔项变化路线，也就是说图一、三、五为一组，图二、四、六为一组，两组呈现相似的规律。观察奇数项的规律，可知，椭圆的位置分别为上、中、下。观察偶数项的规律，图二、四、六中横线的位置应为上、中、（下）。A项符合此规律，因此A选项正确。例3：（2010年国家第57题）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ） 解析：D。本题的思维路线是对称变化。观察图一至图五的对称轴，分别为横、竖、横竖、横竖、竖。其变化路线为对称变化，图三、四一致，图二、五一致，所以图六应与图一一致具有横向的对称轴。D选项符合此规律。图形推理中常见的题型主要有四种，图列推理、类比推理、九宫格和空间几何题型。其中前三种题型都有各自不同的变化路线。因此，观察时要根据不同的题型从不同的变化路线寻找题目的规律图形推理：1. 考察图形的封闭区域数 图形中的数量关系、图形中的相对位置、图形中的旋转、移动和翻转，图形中的组合与叠加，图形中的空间形式推理1 去同存异。顾名思义，就是“留下不同的，去掉相同2 图形与边框的接触点、图形由几个部分组成、图形可以由几笔画成、图形中各个图形的数目等等。3图形的水平移动。这种变化方式往往是先将图形看成几个部分，部分再按照一定的方式移动得到其他的图形4.几个图形分别是曲线，直线交替组成十字