高考数学一轮复习 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文 新人教A版.ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 直线与平面垂直 定义 直线l与平面 内的 一条直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意 判定定理与性质定理 相交 l a b a b o l a l b a b 平行 a b 2 直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和 所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 则它们所成的角是 一条直线和平面平行或在平面内 则它们所成的角是 范围 它在平面上的射影 锐角 直角 0 的角 3 平面与平面垂直 二面角的有关概念 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点 以该点为垂足 在两个半平面内分别作 的两条射线 这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 平面和平面垂直的定义 两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 两个半平面 垂直于棱 直二面角 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 l 垂线 交线 l l l a l a 2 必备结论教材提炼记一记 1 若两平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 若一条直线垂直于一个平面 则它垂直于这个平面内的任何一条直线 证明线线垂直的一个重要方法 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 证明线线垂直 线面垂直 面面垂直的方法 求线面角 二面角的方法 2 数学思想 数形结合思想 转化与化归思想 3 记忆口诀 判断线面的垂直 线垂面中两交线 两线垂直同一面 两线平行共伸展 两面垂直同一线 一面平行另一面 要让面面相垂直 面过另面一垂线 面面垂直成直角 线面垂直记心间 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 垂直于同一个平面的两平面平行 2 若两条直线与一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 3 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 4 二面角是指两个相交平面构成的图形 5 若两个平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 解析 1 错误 两个平面也可能相交 2 错误 两条直线也可能异面或相交 3 错误 与 不一定垂直 4 错误 二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 5 错误 若平面 平面 则平面 内的直线l与 可平行 可相交 也可在平面 内 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修2p73练习t1改编 下列命题中不正确的是 a 如果平面 平面 且直线l 平面 则直线l 平面 b 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 c 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 d 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 解析 选a 根据面面垂直的性质 知a不正确 直线l可能平行平面 也可能在平面 内 2 必修2p73习题a组t3改编 如图 在三棱锥v abc中 vab vac abc 90 则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为 解析 所以有4个直角三角形 答案 4 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 辽宁高考 已知m n表示两条不同的直线 表示平面 下列说法正确的是 a 若m n 则m nb 若m n 则m nc 若m m n 则n d 若m m n 则n 解析 选b 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 直线aa1 ab1分别与平面cc1d1d平行 但是直线aa1 ab1相交 故选项a错误 根据线面垂直的定义 一条直线垂直于一个平面 则该直线垂直于平面内的任一条直线 可见选项b正确 直线aa1 平面abcd aa1 bc 但直线bc 平面abcd 故选项c错误 直线aa1 平面cc1d1d aa1 cd 但直线cd 平面cc1d1d 故选项d错误 2 2013 新课标全国卷 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 a 且l b 且l c 与 相交 且交线垂直于ld 与 相交 且交线平行于l 解析 选d 因为m n为异面直线 m 平面 n 平面 所以 相交 否则m n为平行直线 设 l 则l m l n 过空间一点p作m m n n 则m n 可确定平面 由题意知 l l 所以l l 3 2015 济南模拟 已知如图 六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abcdef 则下列结论不正确的是 a cd 平面pafb df 平面pafc cf 平面pabd cf 平面pad 解析 选d a中 因为cd af af 平面paf cd 平面paf 所以cd 平面paf成立 b中 因为abcdef为正六边形 所以df af 又因为pa 平面abcdef 所以pa df 又因为pa af a 所以df 平面paf成立 c中 因为cf ab ab 平面pab cf 平面pab 所以cf 平面pab 而d中cf与ad不垂直 故选d 考点1与线 面垂直关系有关命题真假的判断 典例1 1 2014 浙江高考 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 a 若m n n 则m b 若m 则m c 若m n n 则m d 若m n n 则m 2 2015 济南模拟 已知l m n是三条不同的直线 是不同的平面 则 的一个充分条件是 a l m 且l mb l m n 且l m l nc m n m n 且l md l l m 且m 解题提示 1 依据线面平行 垂直的判定与性质逐一判断 2 逐个验证选项中的条件能否推得 规范解答 1 选c 对a若m n n 则m 或m 或m 故a选项错误 对b若m 则m 或m 或m 故b选项错误 对c若m n n 则m 故c选项正确 对d若m n n 则m 或m 或m 故d选项错误 2 选d 对于a 若l m 且l m 如图 1 所示虽满足条件 但 与 不垂直 对于b 当m n时 也得不到平面 与平面 垂直 对于c 如图 2 所示条件满足但平面 与平面 不垂直 对于d 由l m m 得l 又l 因此有 规律方法 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 1 借助几何图形来说明线面关系要做到作图快 准 甚至无需作图在头脑中形成印象来判断 2 寻找反例 只要存在反例 那么结论就不正确 3 反复验证所有可能的情况 必要时要运用判定或性质定理进行简单说明 变式训练 2015 合肥模拟 已知不同的直线l m 不同的平面 下列命题中 若 l 则l 若 l 则l 若l m 则l m 若 l m l 则m 真命题的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 选c 两平面平行 则平面内任何一条直线必平行于另一个平面 故 是真命题 两平面平行 若一条直线垂直于其中一个平面 则必垂直于另一个平面 故 是真命题 对于 直线l也有可能与直线m异面 故 是错误的 对于 若直线m不在平面 内 则不成立 故 是错误的 所以真命题有2个 加固训练 1 2014 衡水模拟 设l是直线 是两个不同的平面 a 若l l 则 b 若l l 则 c 若 l 则l d 若 l 则l 解析 选b 对于a 若l l 则 可能相交 对于b 若l 则平面 内必存在一直线m与l平行 则m 又m 故 选项c l可能平行于 或l在平面 内 选项d l还可能平行于 或在平面 内 2 2015 长沙模拟 设a b c是三条不同的直线 是两个不同的平面 则a b的一个充分条件是 a a c b cb a b c a b d a b 解析 选c 对于选项c 在平面 内存在m b 因为a 所以a m 故a b a b选项中 直线a b可能是平行直线 相交直线 也可能是异面直线 d选项中一定推出a b 考点2线面垂直的判定与性质知 考情直线与平面垂直的判定与应用是高考考查垂直关系的一个重要考向 常与线线垂直 面面垂直及平行关系综合出现在解答题中 考查线面垂直的判定定理及其性质 明 角度命题角度1 证明直线与平面垂直 典例2 2014 福建高考 如图 在三棱锥a bcd中 ab 平面bcd cd bd 1 求证 cd 平面abd 2 若ab bd cd 1 m为ad中点 求三棱锥a mbc的体积 解题提示 1 利用线面垂直的判定定理证明 2 分别求出 abm的面积和高cd 继而求出体积 或利用va mbc va bcd vm bcd求解 规范解答 1 因为ab 平面bcd cd 平面bcd 所以ab cd 又因为cd bd ab bd b ab 平面abd bd 平面abd 所以cd 平面abd 2 由ab 平面bcd 得ab bd 因为ab bd 1 所以s abd 因为m是ad的中点 所以s abm s abd 由 1 知 cd 平面abd 所以三棱锥c abm的高h cd 1 因此三棱锥a mbc的体积va mbc vc abm s abm h 一题多解 解答本题 2 你还知道什么方法 解答本题 2 还有以下方法 2 由ab 平面bcd知 平面abd 平面bcd 又平面abd 平面bcd bd 如图 过点m作mn bd交bd于点n 则mn 平面bcd 且mn ab 又cd bd bd cd 1 所以s bcd 所以三棱锥a mbc的体积va mbc va bcd vm bcd ab s bcd mn s bcd 命题角度2 利用直线垂直平面的性质证明线线垂直 典例3 2015 临沂模拟 如图所示 已知ab为圆o的直径 点d为线段ab上一点 且ad db 点c为圆o上一点 且bc ac pd 平面abc pd db 求证 pa cd 本例源于教材必修2p69例3 解题提示 只需证明直线cd垂直于pa所在的平面pab即可 规范解答 因为ab为圆o的直径 所以ac cb 在rt abc中 由ac bc得 abc 30 设ad 1 由3ad db得 db 3 bc 2 由余弦定理得cd2 db2 bc2 2db bccos30 3 所以cd2 db2 bc2 即cd ao 因为pd 平面abc cd 平面abc 所以pd cd 由pd ao d得 cd 平面pab 又pa 平面pab 所以pa cd 互动探究 在本例的条件下 过点d作de pb 垂足为e 连接ce 求证 ce pb 证明 由本例解析知cd 平面pab 又pb 平面pab 所以cd pb 又de cd d 所以pb 平面cde 又ce 平面cde 所以ce pb 悟 技法1 证明线面垂直的常用方法 1 利用线面垂直的判定定理 2 利用 两平行线中的一条与平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 3 利用 一条直线垂直于两个平行平面中的一个 则与另一个也垂直 4 利用面面垂直的性质定理 2 证明线线垂直的常用方法 1 利用特殊图形中的垂直关系 2 利用等腰三角形底边中线的性质 3 利用勾股定理的逆定理 4 利用直线与平面垂直的性质 通 一类1 2014 广东高考 如图1 四边形abcd为矩形 pd 平面abcd ab 1 bc pc 2 作如图2折叠 折痕ef dc 其中点e f分别在线段pd pc上 沿ef折叠后点p叠在线段ad上的点记为m 并且mf cf 1 证明 cf 平面mdf 2 求三棱锥m cde的体积 解题提示 1 可利用pd 平面abcd 证明md 平面cdef 2 只需求高md及 cde的面积 即可求得结论 解析 1 因为pd 平面abcd 所以pd md 在矩形abcd中md cd 又pd cd d 所以md 平面cdef 所以md cf 又因为mf cf 所以cf与相交直线md和mf都垂直 故cf 平面mdf 2 在 cdp中 cd ab 1 pc 2 则pd pcd 60 cf 平面mdf 则cf df cf df 因为ef dc 所以s cde cd de 由勾股定理可得md 所以vm cde md s cde 2 2014 江西高考 如图 三棱柱abc a1b1c1中 aa1 bc a1b bb1 1 求证 a1c cc1 2 若ab 2 ac bc 问aa1为何值时 三棱柱abc a1b1c1体积最大 并求此最大值 解题提示 1 线线垂直 线面垂直的转化 只需证cc1 平面a1bc 2 把体积表示为aa1的函数 处理函数的最大值问题 解析 1 三棱柱abc a1b1c1中 因为aa1 bc 所以bb1 bc 又bb1 a1b且bc a1b b 所以bb1 平面bca1 又bb1 cc1 所以cc1 平面bca1 又a1c 平面bca1 所以a1c cc1 2 设aa1 x 在rt a1bb1中 同理a1c2 在 a1bc中 cos ba1c sin ba1c 加固训练 2015 武汉模拟 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 底面abc ab ac ac aa1 e f分别是棱bc cc1的中点 1 求证ab 平面aa1c1c 2 若线段ac上的点d满足平面def 平面abc1 试确定点d的位置 并说明理由 3 证明 ef a1c 解析 1 因为a1a 底面abc 所以a1a ab 又因为ab ac a1a ac a 所以ab 平面a1acc1 2 因为平面def 平面abc1 平面abc 平面def de 平面abc 平面abc1 ab 所以ab de 又因为在 abc中e是bc的中点 所以d是线段ac的中点 3 因为三棱柱abc a1b1c1中 a1a ac 所以侧面a1acc1是菱形 所以a1c ac1 由 1 可得ab a1c 因为ab ac1 a 所以a1c 平面abc1 所以a1c bc1 又因为e f分别为棱bc cc1的中点 所以ef bc1 所以ef a1c 考点3平面与平面垂直的判定与性质 典例4 2014 江苏高考 如图 在三棱锥p abc中 d e f分别为棱pc ac ab的中点 已知pa ac pa 6 bc 8 df 5 求证 1 直线pa 平面def 2 平面bde 平面abc 解题提示 1 利用三角形中位线的性质找到线线平行 再运用直线与平面平行的判定定理进行证明 2 利用面面垂直的判定定理证明 在平面bde内找一线de 证明de 平面abc即可 规范解答 1 因为d e分别为棱pc ac的中点 则有pa de 又pa 平面def de 平面def 所以pa 平面def 2 由 1 知pa de 又pa ac 所以de ac 又f是ab的中点 e是ac的中点 所以de pa 3 ef bc 4 又df 5 所以de2 ef2 df2 所以de ef ef ac是平面abc内两条相交直线 所以de 平面abc 又de 平面bde 故平面bde 平面abc 规律方法 1 面面垂直的证明方法 1 定义法 利用面面垂直的定义 即判定两平面所成的二面角为直二面角 将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题 2 定理法 利用面面垂直的判定定理 即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 把问题转化成证明线线垂直加以解决 提醒 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 2 三种垂直关系的转化3 面面垂直性质的应用 1 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 它们的交线也垂直于第三个平面 变式训练 2015 广州模拟 o的直径ab 4 点c d为 o上两点 且 cab 45 f为的中点 沿直径ab折起 使两个半圆所在平面互相垂直 如图 1 求证 of 平面acd 2 在ad上是否存在点e 使得平面oce 平面acd 若存在 试指出点e的位置 若不存在 请说明理由 解析 1 因为 cab 45 所以 cob 90 又因为f为的中点 所以 fob 45 所以of ac 又ac 平面acd 从而of 平面acd 2 存在 e为ad中点 因为oa od 所以oe ad 又oc ab且两半圆所在平面互相垂直 所以oc 平面oad 又ad 平面oad 所以ad oc 由 ad 平面oce 又ad 平面acd 所以平面oce 平面acd 加固训练 1 2015 杭州模拟 如图 四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 1 求证 ce 平面pad 2 求证 平面efg 平面emn 解析 1 方法一 取pa的中点h 连接eh dh 因为e为pb的中点 所以eh ab eh ab 又ab cd cd ab 所以eh cd eh cd 因此四边形dceh是平行四边形 所以ce dh 又dh 平面pad ce 平面pad 因此ce 平面pad 方法二 连接cf 因为f为ab的中点 所以af ab 又cd ab 所以af cd 又af cd 所以四边形afcd为平行四边形 因此cf ad 又cf 平面pad ad 平面pad 所以cf 平面pad 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ef 平面pad ap 平面pad 所以ef 平面pad 因为cf ef f 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 2 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ab pa 所以ab ef 同理可证ab fg 又ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 因此ab 平面efg 又m n分别为pd pc的中点 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 因此mn 平面efg 又mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 2 2015 洛阳模拟 如图 在三棱锥p abc中 pa pb ab 2 bc 3 abc 90 平面pab 平面abc d e分别为ab ac中点 1 求证 de 平面pbc 2 求证 ab pe 3 求三棱锥p bec的体积 解析 1 因为d e分别为ab ac中点 所以de bc 又de 平面pbc bc 平面pbc 所以de 平面pbc 2 连接pd 因为de bc 又 abc 90 所以de ab 又pa pb d为ab中点 所以pd ab 所以ab 平面pd