高三数学专题总复习.doc

高考数学 复习专题 专题一 集合 逻辑与不等式 集合概念及其基本理论 是近代数学最基本的内容之一 集合的语言 思想 观点渗透于中学数学内容的各个分支 有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析 推理与计算之中 学习关于逻辑的有关知识 可以使我们对数学的有关概念理解更透彻 表达更准确 不等式是高中数学的重点内容之一 是工具性很强的一部分内容 解不等式 不等式的性质等都有很重要的应用 关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的 1 1 集 合 知识要点 1 集合中的元素具有确定性 互异性 无序性 2 集合常用的两种表示方法 列举法和描述法 另外还有大写字母表示法 图示法 韦恩图 一些数集也可以用区间的形式表示 3 两类不同的关系 1 从属关系 元素与集合间的关系 2 包含关系 两个集合间的关系 相等是包含关系的特殊情况 4 集合的三种运算 交集 并集 补集 复习要求 1 对于给定的集合能认识它表示什么集合 在中学常见的集合有两类 数集和点集 2 能正确区分和表示元素与集合 集合与集合两类不同的关系 3 掌握集合的交 并 补运算 能使用韦恩图表达集合的关系及运算 4 把集合作为工具正确地表示函数的定义域 值域 方程与不等式的解集等 例题分析 例1 给出下列六个关系 1 0 N 2 0 1 1 3 0 4 0 5 0 0 1 6 0 0 其中正确的关系是 解答 2 4 6 评析 1 熟悉集合的常用符号 不含任何元素的集合叫做空集 记作 N表示自然数集 N 或N 表示正整数集 Z表示整数集 Q表示有理数集 R表示实数集 2 明确元素与集合的关系及符号表示 如果a是集合A的元素 记作 a A 如果a不是集合A的元素 记作 aA 3 明确集合与集合的关系及符号表示 如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素 那么集合A叫做集合B的子集 记作 AB或BA 如果集合A是集合B的子集 且B中至少有一个元素不属于A 那么 集合A叫做集合B的真子集 AB或BA 4 子集的性质 任何集合都是它本身的子集 AA 空集是任何集合的子集 A 提示 空集是任何非空集合的真子集 传递性 如果AB BC 则AC 如果AB BC 则AC 例2 已知全集U 小于10的正整数 其子集A B满足条件 UA UB 1 9 A B 2 B UA 4 6 8 求集合A B 解 根据已知条件 得到如图1 1所示的韦恩图 图1 1 于是 韦恩图中的阴影部分应填数字3 5 7 故A 2 3 5 7 B 2 4 6 8 评析 1 明确集合之间的运算 对于两个给定的集合A B 由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A B的交集 记作 A B 对于两个给定的集合A B 把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A B的并集 记作 A B 如果集合A是全集U的一个子集 由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U中的补集 记作UA 2 集合的交 并 补运算事实上是较为复杂的 且 或 非 的逻辑关系运算 而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化 是解决集合运算问题的一个很好的工具 要习惯使用它解决问题 要有意识的利用它解决问题 例3 设集合M x 1 x 2 N x x a 若M N 则实数a的取值范围是 答 1 评析 本题可以通过数轴进行分析 要特别注意当a变化时是否能够取到区间端点的值 象韦恩图一样 数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具 例4 设a b R 集合 则b a 分析 因为 所以a b 0或a 0 舍去 否则没有意义 所以 a b 0 1 所以 1 1 a b a a 1 结合a b 0 b 1 所以b a 2 练习1 1 一 选择题 1 给出下列关系 Q 3 N 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 下列各式中 A与B表示同一集合的是 A A 1 2 B 2 1 B A 1 2 B 2 1 C A 0 B D A y y x2 1 B x y x2 1 3 已知M x y x 0且y 0 N x y xy 0 则M N的关系是 A MN B NM C M N D M N 4 已知全集U N 集合A x x 2n n N B x x 4n n N 则下式中正确的关系是 A U A B B U UA B C U A UB D U UA UB 二 填空题 5 已知集合A x x 1或2 x 3 B x 2 x 4 则A B 6 设M 1 2 N 1 2 3 P c c a b a M b N 则集合P中元素的个数为 7 设全集U R A x x 3或x 2 B x 1 x 5 则 UA B 8 设集合S a0 a1 a2 a3 在S上定义运算为 aiaj ak 其中k为i j被4除的余数 i j 0 1 2 3 则a2a3 满足关系式 xx a2 a0的x x S 的个数为 三 解答题 9 设集合A 1 2 B 1 2 3 C 2 3 4 求 A B C 10 设全集U 小于10的自然数 集合A B满足A B 2 UA B 4 6 8 UA UB 1 9 求集合A和B 11 已知集合A x 2 x 4 B x x a A B 求实数a的取值范围 A B A 求实数a的取值范围 A B 且A B A 求实数a的取值范围 1 2 常用逻辑用语 知识要点 1 命题是可以判断真假的语句 2 逻辑联结词有 或 且 非 不含逻辑联结词的命题叫简单命题 由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题 可以利用真值表判断复合命题的真假 3 命题的四种形式 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 否命题 若p 则q 逆否命题 若q 则p 注意区别 命题的否定 与 否命题 这两个不同的概念 原命题与逆否命题 逆命题与否命题是等价关系 4 充要条件 如果pq 则p叫做q的充分条件 q叫做p的必要条件 如果pq且qp 即qp则p叫做q的充要条件 同时 q也叫做p的充要条件 5 全称量词与存在量词 复习要求 1 理解命题的概念 了解 若p 则q 形式的命题的逆命题 否命题与逆否命题 会分析四种命题的相互关系 理解必要条件 充分条件与充要条件的意义 2 了解逻辑联结词 或 且 非 的含义 3 理解全称量词与存在量词的意义 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 例题分析 例1 分别写出由下列命题构成的 p q p q p 形式的复合命题 并判断它们的真假 1 p 0 N q 1N 2 p 平行四边形的对角线相等 q 平行四边形的对角线相互平分 解 1 p q 0 N 或1N p q 0 N 且1N p 0N 因为p真 q假 所以p q为真 p q为假 p为假 2 p q 平行四边形的对角线相等或相互平分 p q 平行四边形的对角线相等且相互平分 p 存在平行四边形对角线不相等 因为p假 q真 所以p q为真 p q为假 p为真 评析 判断复合命题的真假可以借助真值表 例2 分别写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断其真假 1 若a2 b2 0 则ab 0 2 若A B A 则AB 解 1 逆命题 若ab 0 则a2 b2 0 是假命题 否命题 若a2 b2 0 则ab 0 是假命题 逆否命题 若ab 0 则a2 b2 0 是真命题 2 逆命题 若AB 则A B A 是真命题 否命题 若A B A 则A不是B的真子集 是真命题 逆否命题 若A不是B的真子集 则A B A 是假命题 评述 原命题与逆否命题互为逆否命题 同真同假 逆命题与逆否命题也是互为逆否命题 例3 指出下列语句中 p是q的什么条件 q是p的什么条件 1 p x 2 x 3 0 q x 2 2 p a 2 q a 0 分析 由定义知 若pq且qp 则p是q的充分不必要条件 若pq且qp 则p是q的必要不充分条件 若pq且qp p与q互为充要条件 于是可得 1 中p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 2 中p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件 评析 判断充分条件和必要条件 首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论 剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了 例4 设集合M x x 2 N x x 3 那么 x M或x N 是 x M N 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分条件也非必要条件 解 条件p x M或x N 即为x R 条件q x M N 即为 x R 2 x 3 又R x R 2 x 3 且 x R 2 x 3 R 所以p是q的必要非充分条件 选B 评析 当条件p和q以集合的形式表现时 可用下面的方法判断充分性与必要性 设满足条件p的元素构成集合A 满足条件q的元素构成集合B 若AB且BA 则p是q的充分非必要条件 若AB且BA 则p是q的必要非充分条件 若A B 则p与q互为充要条件 例5 命题 对任意的x R x3 x2 1 0 的否定是 A 不存在x R x3 x2 1 0 B 存在x R x3 x2 1 0 C 存在x R x3 x2 1 0 D 对任意的x R x3 x2 1 0 分析 这是一个全称命题 它的否定是一个特称命题 其否定为 存在x R x3 x2 1 0 答 选C 评析 注意全 特 称命题的否定是将全称量词改为存在量词 或将存在量词改为全称量词 并把结论否定 练习1 2 一 选择题 1 下列四个命题中的真命题为 A x Z 1 4x 3 B x Z 3x 1 0 C x R x2 1 0 D x R x2 2x 2 0 2 如果 p或q 与 非p 都是真命题 那么 A q一定是真命题 B q不一定是真命题 C p不一定是假命题 D p与q的真假相同 3 已知a为正数 则 a b 是 b为负数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 A是B的子集 可以用下列数学语言表达 若对任意的x Ax B 则称AB 那么 A不是B的子集 可用数学语言表达为 A 若x A但xB 则称A不是B的子集 B 若x A但xB 则称A不是B的子集 C 若xA但x B 则称A不是B的子集 D 若xA但x B 则称A不是B的子集 二 填空题 5 p是真命题 是 p q是假命题的 条件 6 命题 若x 1 则 x 1 的逆否命题为 7 已知集合A B是全集U的子集 则 AB 是 UBUA 的 条件 8 设A B为两个集合 下列四个命题 AB对任意x A 有xB ABA B ABAB AB存在x A 使得xB 其中真命题的序号是 把符合要求的命题序号都填上 三 解答题 9 判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假 1 指数函数都是单调函数 2 至少有一个整数 它既能被2整除又能被5整除 3 x x x Z log2x 0 4 10 已知实数a b R 试写出命题 a2 b2 0 则ab 0 的逆命题 否命题 逆否命题 并判断四个命题的真假 说明判断的理由 1 3 不等式 含推理与证明 知识要点 1 不等式的性质 1 如果a b 那么b a 2 如果a b 且b c 那么a c 3 如果a b 那么a c b c 如果a c b 那么a b c 4 如果a b c d 那么a c b d 5 如果a b c 0 那么ac bc 如果a b c 0 那么ac bc 6 如果a b 0 c d 0 那么ac bd 7 如果a b 0 那么an bn n N n 1 8 如果a b 0 那么 2 进行不等式关系判断时常用到的实数的性质 若a R 则 3 会解一元一次不等式 一元二次不等式 简单的分式不等式 绝对值不等式 简单的含参数的不等式 4 均值定理 如果a b R 那么当且仅当a b时 式中等号成立 其他常用的基本不等式 如果a b R 那么a2 b2 2ab a b 2 0 如果a b同号 那么 5 合情推理之归纳推理与类比推理 演绎推理 综合法 分析法与反证法 复习要求 1 运用不等式的性质解决以下几类问题 1 根据给定的条件 判断给出的不等式能否成立 2 利用不等式的性质 实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系 3 利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系 2 熟练掌握一元一次不等式 一元二次不等式 简单的分式不等式 绝对值不等式的解法 并会解简单的含参数的不等式 3 了解合情推理和演绎推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 能较为灵活的运用综合法 分析法与反证法证明数学问题 熟练运用比较法比较数与式之间的大小关系 比较法 常有 作差比较法 和 作商比较法 综合法 从已知推导致结果的思维方法 分析法 从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法 反证法 由证明pq转向证明qr t 而t与假设矛盾 或与某个真命题矛盾 从而判定q为假 进而推出q为真的方法 叫做反证法 一般来讲 由分析法得到的证明思路往往用综合法的方式来书写 例题分析 例1 若a b c 则一定成立的不等式是 A a c b c B ab ac C a c b c D 分析 关于选项A 当c 0时 a c b c 不成立 关于选项B 当a 0时 ab ac不成立 关于选项C 因为a b 根据不等式的性质a c b c 正确 关于选项D 当a b 0 c时 不成立 所以 选C 例2 a b R 下列命题中的真命题是 A 若a b 则 a b B 若a b 则 C 若a b 则a3 b3 D 若a b 则 分析 关于选项A 当a 1 b 2时 a b 不成立 关于选项B 当a 0 b 0时 不成立 关于选项C 因为a b 根据不等式的性质a3 b3 正确 关于选项D 当b 0时 不成立 所以 选C 评析 判断不等关系的正误 其一要掌握判断的依据 依据相关的理论判断 切忌仅凭感觉进行判断 其二要掌握判断的方法 判断不等式的理论依据参看本节的知识要点 另外 后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法 判断一个不等式是正确的 就应该给出一个合理的证明 或说明 就像例1 例2对正确的选项判断那样 判断一个不等式是不正确的 应举出反例 例3 解下列不等式 1 x2 x 1 0 2 x2 3x 2 0 3 2x2 3x 1 0 4 5 2x 1 3 6 解 1 方程x2 x 1 0的两个根是结合函数y x2 x 1的图象 可得不等式x2 x 1 0的解集为 2 不等式x2 3x 2 0等价于 x 1 x 2 0 易知方程 x 1 x 2 0的两个根为x1 1 x2 2 结合函数y x2 3x 2的图象 可得不等式x2 3x 2 0的解集为 x x 1或x 2 3 不等式2x2 3x 1 0等价于 2x 1 x 1 0 以下同 2 的解法 可得不等式的解集为 4 等价于 x 1 x 2 0 以下同 2 的解法 可得不等式的解集为 x x 1或x 2 5 不等式 2x 1 3等价于 3 2x 1 3 所以 2 2x 4 即 1 x 2 所以不等式 2x 1 3的解集为 x 1 x 2 6 不等式可以整理为 等价于以下同 4 的解法 可得不等式的解集为 x 1 x 2 评析 一元一次不等式 一元二次不等式的解法要熟练掌握 其他不等式的解法适当掌握 1 利用不等式的性质可以解一元一次不等式 2 解一元二次不等式要注意函数 方程 不等式三者之间的联系 通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的情况 进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了 所以 解一元二次不等式的步骤为 计算二次不等式相应的方程的判别式 求出相应的一元二次方程的根 或根据判别式说明无根 画出相应的二次函数的简图 根据简图写出二次不等式的解集 3 不等式与 x a x b 0同解 不等式与 x a x b 0同解 4 不等式 f x c与 c f x c同解 不等式 f x c与 f x c或f x c 同解 在解简单的分式不等式时要注意细节 例如 5 题关于 号的处理 例4 解下列关于x的不等式 1 ax 3 2 2 x2 6ax 5a2 0 解 1 由ax 3 2得ax 1 当a 0时 不等式解集为 当a 0时 不等式解集为 当a 0时 不等式解集为 2 x2 6ax 5a2 0等价于不等式 x a x 5a 0 当a 0时 不等式解集为 x x 0 当a 0时 不等式解集为 x a x 5a 当a 0时 不等式解集为 x 5a x a 评析 含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法 步骤是完全一致的 要注意的是 当进行到某一步骤具有不确定性时 需要进行分类讨论 如 2 的解决过程中 当解出方程 x a x 5a 0的两根为x1 a x2 5a之后 需要画出二次函数y x2 6ax 5a2的草图 这时两根a与5a的大小不定 需要讨论 当分a 0 a 0 a 0三种情况之后 就可以在各自情况下确定a与5a的大小 画出二次函数y x2 6ax 5a2的草图写出解集了 例5 已知a b 0 c d 0 m 0 求证 证明 方法一 作差比较 由已知b a 0 c d 0 又m 0 所以m b a c d 0 因为a b 0 c d 0 所以a c 0 b d 0 所以 所以 方法二 因为c d 0 所以c d 0 又a b 0 所以a b 0 所以a b c d 所以a c b d 0 所以 又因为m 0 所以 例6 已知a b c 0 a b c 求证 1 a 0 2 证明 1 假设a 0 因为a b c 所以b 0 c 0 所以a b c 0 与a b c 0矛盾 2 因为b a c a b 所以 所以2a c 又a 0 所以 所以 例7 已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a中至少有一个不大于 证明 假设 1 a b 1 b c 1 c a均大于 即 因为a b c 0 1 所以1 a 1 b 1 c 0 1 所以 同理 1 b c 1 1 c a 1 所以 1 a b 1 b c 1 c a 3 即0 0 矛盾 所以 1 a b 1 b c 1 c a中至少有一个不大于 评析 证明常用的方法有比较法 综合法 分析法与反证法等 证明不等式也是如此 1 例5中的方法一所用到的比较法从思维 书写的角度都较为容易 也相对易于把握 要熟练掌握 2 例5中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法 其书写方法简明 易读 但要注意的是 这样的题的思路常常是分析法 比如 例5中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的 欲证只需证明m b d m a c 因为b d 0 a c 0 即只需证明b d a c 即只需证明a b c d 而由已知a b 0 c d 0 所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写 所以 在很多情况下 分析法更是思考问题的方法 而综合法更是一种书写方法 3 适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题 如例6 1 否定式的命题 存在性的命题 含至多至少等字样的命题 如例7 等等 证明的步骤一般是 1 假设结论的反面是正确的 2 推出矛盾的结论 3 得出原来命题正确的结论 例8 根据图中图形及相应点的个数找规律 第8个图形相应的点数为 分析 第一个图有1行 每行有1 2个点 第二个图有2行 每行有2 2个点 第三个图有3行 每行有3 2个点 第八个图有8行 每行有8 2个点 所以共有8 10 80个点 答 80 练习1 3 一 选择题 1 若则下列各式正确的是 A a b B a b C a2 b2 D 2 已知a b为非零实数 且a b 则下列命题成立的是 A a2 b2 B a2b ab2 C D 3 已知A x x a B x x 1 且A B 则a的取值范围是 A a a 1 B a 0 a 1 C a a 1 D a 0 a 1 4 设集合M 1 2 3 4 5 6 S1 S2 Sk都是M的含有两个元素的子集 且满足 对任意的Si ai bi Sj aj bj i j i j 1 2 3 k 都有 min x y 表示两个数x y中的较小者 则k的最大值是 A 10 B 11 C 12 D 13 二 填空题 5 已知数列 an 的第一项a1 1 且 请计算出这个数列的前几项 并据此归纳出这个数列的通项公式an 6 不等式x2 5x 6 0的解集为 7 设集合A x R x 4 B x R x2 4x 3 0 则集合 x R x A 且xA B 8 设a R且a 0 给出下面4个式子 a3 1 a2 2a 2 其中恒大于1的是 写出所有满足条件式子的序号 三 解答题 9 解下列不等式 1 2x2 x 0 2 x2 3x 1 0 3 4 2 x 3 5 10 已知a b c 0 求证 ab bc ca 0 11 解下列关于x的不等式 1 x2 2ax 3a2 0 2 ax2 x 0 习题1 一 选择题 1 命题 若x是正数 则x x 的否命题是 A 若x是正数 则x x B 若x不是正数 则x x C 若x是负数 则x x D 若x不是正数 则x x 2 若集合M N P是全集U的子集 则图中阴影部分表示的集合是 A M N P B M N P C M N UP D M N UP 3 是 对任意的正数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 已知集合P 1 4 9 16 25 若定义运算 当 即时 此时即x a 所以当时 应对乙种商品投资万元 对甲种商品投资万元 可获得最大利润万元 当时 应对乙种商品投资a万元 不对甲种商品进行投资 可获得最大利润万元 例10 已知函数f x x2 3x 1 x m m 1 1 求f x 的最大值g m 2 当m 1 求g m 的最大值 解 1 当 即时 g m f m 1 m2 m 3 当时 即时 时 g m f m m2 3m 1 所以 2 当时 当时 g m m2 3m 1的最大值为 综上 当m 1 g m 的最大值为 练习2 5 一 选择题 1 下列函数中值域为 0 的是 A B C D 2 函数y x2 2ax 1的最大值小于2 则a的取值范围是 A a 1 B a 1 C a 2 D 1 a 1 3 函数 x 0 取得最大值时的自变量x等于 A B C 1 D 3 4 对于f x 定义域内的任意一个自变量x1 都存在唯一一个自变量x2使成立的函数是 A f x 3lnx B C f x ex D y 2x 二 填空题 5 已知f x 是定义在 2 0 0 2 上的奇函数 当x 0时 f x 的图象如图所示 那么f x 的值域是 6 设A 1 b b 1 函数f x x 1 2 1 x A 若f x 的值域也是A 则b的值是 7 已知函数f x x2 5x 10 当x n n 1 n 1 2 3 时 函数f x 的值域为区间Dn 若将Dn中整数的个数记为g n 则g 1 的值等于 函数g n 的解析式为 8 设函数的定义域为D 若所有点 s f t s t D 构成一个正方形区域 则a的值为 三 解答题 9 设函数f x log2x log2 1 x 求f x 的定义域及f x 的最大值 10 渔场中鱼群的最大养殖量为m 为了保证鱼群的生长空间 实际养殖量x小于m 以便留出适当的空闲量 已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率 空闲率是空闲量与最大养殖量的比例 的乘积成正比 比例系数为k k 0 1 写出y关于x的函数关系式 并指出该函数的定义域 2 求鱼群年增长量的最大值 3 当鱼群年增长量达到最大时 求k的取值范围 11 已知f x loga a kax 0 a 1 k R 1 当k 1时 求函数f x 的定义域 2 且f x 在 1 内总有意义 求k的取值范围 2 6 函数与方程 知识要点 1 如果函数y f x 在实数a处的值等于零 即f a 0 则a叫做这个函数的零点 函数零点的几何意义 如果a是函数y f x 的零点 则点 a 0 一定在这个函数的函数图象上 即这个函数与x轴的交点为 a 0 2 零点的判定 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是不间断的 而且f a f b 则这个函数在区间 a b 上至少有一个零点 这也是二分法的依据 注意 上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件 这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下 如果可以画出函数的图象 这时判断函数零点的方法将是非常直观的 如果函数所对应的方程可以求根 那么就可以用 作图 和 求根 的方法判断零点 3 用二分法求函数y f x x D零点的一般步骤为 第一步 确定初始区间 即在D内取一个闭区间 a b 使得f a f b 0 第二步 求中点及其对应的函数值 即求 0以及f x 的值 如果f x 0 则计算终止 否则进一步确定零点所在的区间 第三步 计算精确度 即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等 若相等 则计算终止 否则重复第二步 复习要求 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 能够用二分法求相应方程的近似解 例题分析 例1 求函数f x x x 2 x 3 的零点 作出其图象的草图 并解不等式f x 0 分析 求函数零点只需求解方程f x 0即可 知道函数的零点之后 就知道了这个函数的图象与x轴的交点坐标 再通过简单的描点作出图象的草图 然后由草图可以得出不等式f x 0的解集 解 令f x 0 即x x 2 x 3 0 可得x 0 或x 2 或x 3 因此 所求函数的零点是0 2 3 列表 描点作图 x 1 0 1 2 2 5 3 5 f x 12 0 2 0 0 625 0 30 由此可知 f x 0的解集为 0 2 3 评析 如果已经知道一个函数y f x 的所有的零点 我们就能够画出这个函数的图象与x轴的交点 然后再通过描点作图 可作出这个函数的大致图象 从而可以求出f x 0以及f x 0等不等式的解 因此 我们可以借助一个函数的零点去研究这个函数的一些性质 例如 我们就曾通过研究一个函数导函数的零点及导函数值的正负进而研究这个函数的单调性 最值等等 例2 求函数的零点 解 因为 令f x 0 即 即x2 3x 2 0 解得x1 1 x2 2 所以函数的零点是1 2 例3 若函数f x 的图象在 a b 上是不间断的 且有f a f b 0 则函数f x 在 a b 上 A 一定没有零点 B 至少有一个零点 C 只有一个零点 D 零点情况不确定 分析 如图所示 满足题目条件的函数图象与x轴的交点情况是不确定的 因此选择D 评析 由二分法的依据可知函数在一定区间内零点存在性的一种判断方法 即如果函数y f x 在区间 a b 上满足以下两个条件 函数图象是连续不断的一条曲线 f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 在判断函数零点存在与否或判断函数零点个数的问题中应注意以下几点 1 函数图象必须是一条不间断的曲线 图象有间断则结论不一定成立 2 条件 与 必须同时满足 3 满足条件 时 只能得出y f x 的零点存在 但并不能得出零点个数的多少 4 当f a f b 0时 并不能说明函数f x 在 a b 内无零点 5 若函数f x 在 a b 上是单调函数 同时满足条件 则零点存在且唯一 上述五点注意事项同学们可以结合函数图象的简图来理解 数形结合的思路在本节内容的学习过程中经常运用 例3 以下区间中 一定存在函数f x x3 3x 3的零点的是 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 分析 显然 f x x3 3x 3的图象是不间断的 因此要保证区间 a b 内一定有f x 的零点 只需保证f a f b 0即可 从而 我们只需算出各个区间端点的函数值 看它们是否异号即可选出正确答案 因为f 1 7 f 0 3 f 1 1 所以f 0 f 1 0 因此函数f x 在区间 0 1 上一定存在零点 选B 例4 以区间 1 2 为计算的初始区间 求函数f x x3 x2 2x 2的一个零点 精确到0 1 解 用二分法逐步计算 列表如下 端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a0 1 b0 2 f 1 2 f 2 6 1 2 f x0 0 625 0 1 1 5 f x1 0 984 0 1 25 1 5 f x2 0 260 0 1 375 1 5 f x2 0 162 0 1 375 1 4375 由上表可知 区间 1 375 1 4375 的左右端点精确到0 1所取的近似值都是1 4 所以1 4就是所求函数在给定精确度情况下的一个零点 例5 已知二次函数y ax2 bx c 1 若a b c 且f 1 0 试证明f x 必有两个零点 2 若对x1 x2 R且x1 x2 f x1 f x2 方程有两个不等实根 证明必有一实根属于 x1 x2 证明 1 因为f 1 0 所以a b c 0 又a b c 所以a 0 c 0 即ac 0 所以 b2 4ac 4ac 0 所以方程ax2 bx c 0有两个不等实根 所以函数f x 必有两个零点 2 令 则 所以 因为f x1 f x2 所以g x1 g x2 0 所以g x 在区间 x1 x2 上必有一个零点 即方程g x 0有一实根属于 x1 x2 所以方程必有一实根属于 x1 x2 练习2 6 一 选择题 1 已知3是函数f x x3 3x2 x 3的零点 则以下各点中一定在这个函数图象上的是 A 3 0 B 3 0 C 0 2 D 2 0 2 下列函数图象与x轴均有交点 但不易用二分法求交点横坐标的是 3 已知 3 0 2都是函数f x 的零点 则不可能是不等式f x 0的解集的是 A 3 0 B 0 2 C 3 2 D 2 5 4 方程log2 x 3 2x解的情况是 A 仅有一根 B 有两个正根 C 有一个正根和一个负根 D 有两个负根 二 填空题 5 若函数f x 是偶函数 且函数f x 有三个零点 则这三个零点之和等于 6 函数的零点是 7 已知函数f x x5 5x 6 用二分法求这个函数的一个零点时 可将初始区间取为 8 若方程2ax2 x 1 0在 0 1 内恰有一解 则a的取值范围是 三 解答题 9 求函数f x x x2 6x 8 的零点 作出它的图象的草图 并解不等式f x 0 10 设函数求函数的零点 11 已知函数y x3的图象与一次函数y x 1的图象有且只有一个交点 x0 y0 求证 x0 0 2 习题2 一 选择题 1 若函数f x 在区间 a b 上为减函数 则f x 在 a b 上 A 至少有一个零点 B 有一个零点 C 没有零点 D 至多有一个零点 2 若a 20 5 b logp3 则 A a b c B b a c C c a b D b c a 3 设a b 函数的图象可能是 4 函数f x x x a b是奇函数的充要条件是 A ab 0 B a b 0 C a b D a2 b2 0 5 设a c b 如果把函数y f x 的图象被两平行线x a及x b所截的一段近似地看作一条线段 则以下关系式中 f c 的最佳近似表示式是 A B C D 二 填空题 6 等于 7 已知 则2b 2a 2c的大小关系为 8 已知f x x3 6x2 11x 6 而且f 0 0 f 4 0 则用二分法可求得这个函数在区间 0 4 内的零点 精确到0 1 为 9 奇函数f x 在 3 7 上是增函数 在 3 6 上的最大值是8 最小值是 1 则2f 6 f 3 等于 10 对于函数 f x lg x 2 1 f x x 2 2 f x cos x 2 判断如下两个命题的真假 命题甲 f x 2 是偶函数 命题乙 f x 在 2 上是减函数 在 2 上是增函数 能使命题甲 乙均为真的所有函数的序号是 三 解答题 11 计算 log220 log25 2log32 log43的值 12 设a 1 函数f x loga x 2 1 1 若f x 在 0 1 上的最大值与最小值互为相反数 求a的值 2 若f x 的图象不经过第二象限 求a的取值范围 13 已知f x ax2 5ax 6a 其中a为非零的常数 求这个函数的零点 并确定f x 0时自变量x的取值范围 14 已知集合M是满足下列性质的函数f x 的全体 在定义域内存在x0 使得f x0 1 f x0 f 1 成立 1 函数是否属于集合M 说明理由 2 设函数 求a的取值范围 专题二 函数参考答案 练习2 1 一 选择题 1 C 2 B 3 C 4 D 二 填空题 5 2 2 6 x x 3且x 2 7 1 2 8 三 解答题 9 答 g 1 2 g f 1 g 2 4 10 提示 由y ax2 c过A 0 9 点 得c 9 y ax2 9 令y 0 得 由已知 又a 0 11 解 依题意 当0 t 1时 重合部分为边长为2t cm的直角三角形 所以 此时 当0 t 2时 重合部分为边长为2cm的直角三角形 所以 此时 当2 t时 重合部分为直角梯形 如下图 此时 DQ DP CP CD 2t 4 BD 2 DP 2 2t 4 6 2t 所以 此时 综上 根据实际情况 当0 t 2时 重合部分面积最大 最大值为2 练习2 2 一 选择题 1 D 2 B 3 A 4 D 二 填空题 5 m 16 f 1 25 6 x x4 7 1 8 三 解答题 9 解 1 因为a 0 所以 又函数f x 是单调减函数 所以 2 f x 是单调减函数 且f a 1 f 3 所以 a 1 3 3 a 1 3 解得 2 a 4 10 解 1 当a 0时 f x x2为偶函数 当a 0时 f x 既不是奇函数也不是偶函数 2 设x2 x1 2 由x2 x1 2得x1x2 x1 x2 16 x1 x2 0 x1x2 0 所以f x1 f x2 0 函数f x 在区间 2 上是增函数 11 略解 1 f 1 0 f 4 2 2 设x1 x2 0 且x1 x2 则 x1 x2 f x1 f x2 0 因为x2 x1 0 所以f x2 f x1 0 即f x1 f x2 所以f x 在 0 上是单调增函数 3 因为f x f x 3 2 所以f x x 3 2 即f x x 3 f 4 又函数f x 在 0 上是单调增函数 所以解得3 x 4 即x的取值范围是3 x 4 练习2 3 一 选择题 1 B 2 A 3 A 4 B 二 填空题 5 6 7 8 三 解答题 9 答 1 7 2 40 3 4 3 10 11 解 提示 1 由已知 a 1 2 所以 所以 2 由 f m f 4 m 0 得f m f 4 或f m f 4 由f m f 4 得 由函数的单调性可得 m 4 由f m f 4 得 由函数的单调性可得 综上 m 4或 练习2 4 一 选择题 1 A 2 B 3 C 4 A 二 填空题 5 1995 2000 6 关于y轴翻折再向y轴的正方向平移1个单位 7 f x h x 8 三 解答题 9 提示 图象如下图 10 解 1 f x 4x b f x k可化为 4x b k 又 f x k的解集为 x 1 x 2 解得 2 证明 由 I 知f x 4x 2 在 x 图象上任取一点N x0 y0 设N x0 y0 关于的对称点为N 则N 1 x0 2 y0 因为 又 所以N 1 x0 2 y0 在函数 x 图象上 所以函数的图象关于点对称 11 证明 1 设 x0 y0 为函数y f x 图象上任意一点 则 因为 x0 y0 关于直线y x的对称点为 y0 x0 计算 所以 y0 x0 也在函数y f x 图象上 所以函数y f x 的图象关于直线y x成轴对称图形 2 设A x1 y1 B x2 y2 是函数图象上两个不同的点 则x1 x2 且x1 x2 1 假设AB x轴 即y1 y2 则整理得x1 x2 与x1 x2矛盾 所以经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴 练习2 5 一 选择题 1 C 2 D 3 A 4 C 二 填空题 5 3 1 1 3 6 3 7 8 4 三 解答题 9 答 定义域为 x 0 x 1 f x log2 x x2 设u x x2 其最大值为 所以f x 的最大值为log2 2 10 略解 1 定义域为 x 0 x m 2 因为 所以当时 3 由0 x y m 即 解之 并注意到k 0 可得0 k 2 11 解 1 当k 1时 解a ax 0 即a ax 因为0 a 1 所以x 1 即函数f x 的定义域为 x x 1 2 令a k ax 0 即 由于0 a 1 并且上式对于x 1 恒成立 所以k应小于的最小值 因为x 1 0 所以的最小值为1 所以k 1 练习2 6 一 选择题 1 B 2 B 3 C 4 C 二 填空题 5 0 6 2 7 2 0 注 答案不惟一 只需满足f a f b 0 8 a 1 三 解答题 9 略解 解x x2 6x 8 0得x1 0 x2 2 x2 4 即f x 的零点为0 2 4 列表略 简图如图所示 不等式f x 0的解集为 x x 4或 2 x 0 10 解 当x 1 时 解 即得 当x 1 时 解 即得 因为x 1 所以所以 函数的零点为 11 证明 函数y x3的图象与一次函数y x 1的图象的交点 x0 y0 一定是方程组 的解 所以x0一定是方程x3 x 1 0的解 令f x x3 x 1 则由题意可知x0是这个函数的唯一的零点 又因为f 0 f 2 5 0 所以x0 0 2 习题2 一 选择题 1 D 2 A 3 C 4 D 5 C 二 填空题 6 2 7 2b 2a 2c 8 2 9 15 10 三 解答题 11 答 3 12 答 1 2 a 2 13 解 令f x 0 即ax2 5ax 6a 0 由a 0可知x2 5x 6 0 解得x 2或x 3 所以f x 的零点为 2 3 如果f x ax2 5ax 6a 0 则 当a 0时 即x2 5x 6 0 解得 3 x 2 当a 0时 即x2 5x 6 0 解得x 3或x 2 14 解 1 对于x0 0且x0 1 计算 如果f x0 1 f x0 f 1 成立 则 即 这个方程无实数解 所以 在定义域内不存在x0 使得f x0 1 f x0 f 1 成立 即函数不属于集合M 2 定义域为R 且需满足a 0 因为函数 所以f x0 1 f x0 f 1 成立 即存在 即 整理得 根据题意 上述方程有解 所以 情况 2 a 0 此时方程有解 所以 a 2符合题意 情况 解得 且a 2 综上 专题三 三角函数 三角函数是一种重要的基本初等函数 它是描述周期现象的一个重要函数模型 可以加深对函数的概念和性质的理解和运用 其主要内容包括 三角函数的概念 三角变换 三角函数 解三角形等四部分 在掌握同角三角函数的基本关系式 诱导公式 两角和与两角差 二倍角的正弦 余弦 正切公式的基础上 能进行简单三角函数式的化简 求值和恒等式证明 理解并能正确解决正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质问题 运用三角公式和正弦定理 余弦定理解斜三角形 重点考查相关的数学思想方法 如方程的思想 数形结合 换元法等 3 1 三角函数的概念 知识要点 1 角扩充到任意角 通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数 2 弧度rad以及度与弧度的互化 3 三角函数的定义 在平面直角坐标系中 任意角a 的顶点在原点 始边在x轴正半轴上 终边上任意一点P x y OP r r 0 则 4 三角函数的定义域与值域 函数 定义域 值域 y sinx R 1 1 y cosx R 1 1 y tanx R 5 三角函数线 正弦线 余弦线 正切线 6 同角三角函数基本关系式 7 诱导公式 任意角a 的三角函数与角等的三角函数之间的关系 可以统一为 k a 形式 记忆规律为 将a 看作锐角 符号看象限 函数名 奇变偶不变 复习要求 1 会用弧度表示角的大小 能进行弧度制与角度制的互化 会表示终边相同的角 会象限角的表示方法 2 根据三角函数定义 熟练掌握三角函数在各个象限中的符号 牢记特殊角的三角函数值 3 会根据三角函数定义 求任意角的三个三角函数值 4 理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式 例题分析 例1 1 已知角a 的终边经过点A 1 2 求sina cosa tana 的值 2 设角a 的终边上一点 且 求y的值和tana 解 1 所以 2 得 解得 评析 利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握 同时应关注其中变量的符号 例2 1 判断下列各式的符号 sin330 cos 260 tan225 sin 3 cos4 2 已知cosq 0且tanq 0 那么角q 是 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 3 已知a 是第二象限角 求角的终边所处的位置 解 如图3 1 1 图3 1 2 1 330 是第四象限角 sin330 0 260 是第二象限角 cos 260 0 225 是第三象限角 tan225 0 所以sin330 cos 260 tan225 0 3是第三象限角 sin 3 0 5是第四象限角 cos5 0 所以sin 3 cos5 0 或 3 3 57 3 171 9 为第三象限角 5 5 57 3 286 5 是第四象限角 评析 角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针 顺时针两个方向旋转进行判断 图3 1 1 图3 1 2两个坐标系应予以重视 2 cosq 0 所以角q 终边在第二或第三象限或在x轴负半轴上tanq 0 所以角q 终边在第二或第四象限中 所以角q 终边在第二象限中 选B 评析 角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握 3 分析 容易误认为是第一象限角 其错误原因为认为第二象限角的范围是 a 是第二象限角 所以2kp a 2kp p k Z 所以如下图3 1 3 可得是第一象限或第三象限角 又4kp p 2a 4kp 2p 2a 是第三象限或第四象限角或终边落在y轴负半轴的角 评析 处理角的象限问题常用方法 1 利用旋转成角 结合图3 1 1 图3 1 2 从角度制和弧度制两个角度处理 2 遇到弧度制问题也可以由 57 3 化为角度处理 3 在考虑角的终边位置时 应注意考虑终边在坐标轴上的情况 4 对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练 如第一象限角 注意防止的错误写法 例3 1 已知tana 3 且a 为第三象限角 求sina cosa 的值 2 已知 求sina tana 的值 3 已知tana 2 求值 sin2a sina cosa 解 1 因为a 为第三象限角 所以sina 0 cosa 0 得到 2 因为 且不等于 1 所以a 为第二或第三象限角 当a 为第二象限角时 sina 0 所以 当a 为第三象限角时 sina 0 所以 综上所述 当a 为第二象限角时 当a 为第三象限角时 评析 已知一个角的某一个三角函数值 求其余的三角函数值的