高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.1 函数的单调性（二）课件 苏教版必修1.pptVIP

2 2 1函数的单调性 二 第2章2 2函数的简单性质 学习目标1 理解函数的最大 小 值的概念及其几何意义 2 会借助单调性求最值 3 掌握求二次函数在闭区间上的最值 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一函数的最大 小 值 在如图表示的函数中 最大的函数值和最小的函数值分别是多少 1为什么不是最小值 答案 答案最大的函数值为4 最小的函数值为2 1没有a中的元素与之对应 不是函数值 设y f x 的定义域为a 如果存在x0 a 使得对于任意的x a 都有f x f x0 那么称f x0 为y f x 的最大值 记为ymax f x0 如果存在x0 a 使得对于任意的x a 都有f x f x0 那么称f x0 为y f x 的最小值 记为ymin f x0 梳理 思考 知识点二函数的最大 小 值的几何意义 函数y x2 x 1 1 的图象如下 答案 答案x 1时 y有最大值1 对应的点是图象中的最高点 x 0时 y有最小值0 对应的点为图象中的最低点 试指出函数的最大值 最小值和相应的x的值 梳理 函数最大值对应图象中的最高点 最小值对应图象中的最低点 知识点三函数的单调性与最值 若函数y f x 在区间 a b 上是单调增函数 则函数的最小值为ymin f a 最大值为ymax f b 若函数y f x 在区间 a b 上是单调减函数 则函数的最小值为ymin f b 最大值为ymax f a 即单调函数在闭区间上必有最大值 最小值 题型探究 例1求函数的最大值和最小值 解答 类型一借助单调性求最值 解设x1 x2是区间 0 上的任意两个实数 且x1 x2 当x10 x1x2 1 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 f x 在 0 1 上为单调增函数 当1 x10 x1x2 1 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 f x 在 1 上为单调减函数 1 若函数y f x 在区间 a b 上为单调增函数 则f x 的最大值为f b 最小值为f a 2 若函数y f x 在区间 a b 上为单调减函数 则f x 的最大值为f a 最小值为f b 3 若函数y f x 有多个单调区间 那就先求出各区间上的最值 再从各区间的最值中决出最大 小 函数的最大 小 值是整个值域范围内最大 小 的 4 如果函数定义域为开区间 则不但要考虑函数在该区间上的单调性 还要考虑端点处的函数值或者发展趋势 反思与感悟 解f x 的图象如图 跟踪训练1已知函数f x x 1 x 1 1 画出f x 的图象 解答 解由图知 f x 在 1 上为单调减函数 在 1 1 上为常函数 在 1 上为单调增函数 f x min 2 2 根据图象写出f x 的最小值 解答 例2 1 已知函数f x x2 2x 3 若x 0 2 求函数f x 的最值 类型二求二次函数的最值 解答 解 函数f x x2 2x 3开口向上 对称轴x 1 f x 在 0 1 上为单调减函数 在 1 2 上为单调增函数 且f 0 f 2 f x max f 0 f 2 3 f x min f 1 4 2 已知函数f x x2 2x 3 若x t t 2 求函数f x 的最值 解答 解 对称轴x 1 当1 t 2即t 1时 f x max f t t2 2t 3 f x min f t 2 t2 2t 3 f x max f t t2 2t 3 f x min f 1 4 f x max f t 2 t2 2t 3 f x min f 1 4 当11时 f x max f t 2 t2 2t 3 f x min f t t2 2t 3 设函数最大值为g t 最小值为 t 则有 由 1 知y t2 2t 3 t 0 在 0 1 上为单调减函数 在 1 上为单调增函数 当t 1即x 1时 f x min 4 无最大值 解答 4 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂 如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h t 4 9t2 14 7t 18 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少 精确到1m 解答 解作出函数h t 4 9t2 14 7t 18的图象 如图 显然 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 纵坐标就是这时距地面的高度 于是 烟花冲出后1 5s是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度约为29m 1 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口 对称轴有关 求解时要注意这两个因素 2 图象直观 便于分析 理解 配方法说理更严谨 一般用于解答题 反思与感悟 跟踪训练2 1 已知函数f x x4 2x2 3 求函数f x 的最值 解答 解设x2 t t 0 则x4 2x2 3 t2 2t 3 y t2 2t 3 t 0 在 0 1 上为单调减函数 在 1 上为单调增函数 当t 1即x 1时 f x min 4 无最大值 2 求二次函数f x x2 2ax 2在 2 4 上的最小值 解答 解 函数图象的对称轴是x a 当a4时 f x 在 2 4 上是单调减函数 f x min f 4 18 8a 当2 a 4时 f x min f a 2 a2 3 如图 某地要修建一个圆形的喷水池 水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下 以水池的中央为坐标原点 水平方向为x轴 竖直方向为y轴建立平面直角坐标系 那么水流喷出的高度h 单位 m 与水平距离x 单位 m 之间的函数关系式为h x2 2x x 0 求水流喷出的高度h的最大值是多少 解答 例3已知x2 x a 0对任意x 0 恒成立 求实数a的取值范围 类型三函数最值的应用 解答 解方法一令y x2 x a 方法二x2 x a 0可化为a x2 x 要使a x2 x对任意x 0 恒成立 只需a x2 x max 引申探究若将本例中 x 0 改为 x 再求a的取值范围 解答 恒成立的不等式问题 任意x d f x a恒成立 一般转化为最值问题 f x min a来解决 任意x d f x a恒成立 f x max a 当最值不存在时 可求值域 但要注意a的取值的变化 反思与感悟 跟踪训练3已知ax2 x 1对任意x 0 1 恒成立 求实数a的取值范围 解答 a 0 a的取值范围是 0 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 答案 2 3 4 5 1 1 3 函数f x x2 x 2 1 的最大值 最小值分别为 答案 2 3 4 5 1 4 0 答案 2 3 4 5 1 10 6 答案 2 3 4 5 1 规律与方法 1 函数的最值与值域 单调性之间的联系 1 对一个函数来说 其值域是确定的 但它不一定有最值 如函数y 如果有最值 则最值一定是值域中的一个元素 2 若函数f x 在闭区间 a b 上单调 则f x 的最值必在区间端点处取得 即最大值是f a