中考数学 第八单元 四边形 第28课时 矩形、菱形、正方形复习课件.ppt

第28课时矩形 菱形 正方形 1 如图28 1 已知菱形的边长为6 一个内角为60 则菱形较短的对角线长是 2 2014 苏州 已知正方形abcd的对角线ac 则正方形abcd的周长为 小题热身 图28 1 6 4 3 2014 重庆 如图28 2 在矩形abcd中 对角线ac bd相交于点o acb 30 则 aob的大小为 a 30 b 60 c 90 d 120 b 图28 2 4 如图28 3 在菱形abcd中 对角线ac bd相交于点o 且ac bd 则图中全等三角形有 a 4对b 6对c 8对d 10对 c 图28 3 一 必知4知识点1 矩形定义 有一个角是直角的 是矩形 矩形的性质定理 1 矩形四个角都是 角 或矩形四个角相等 2 矩形对角线 矩形的判定定理 1 有三个角是直角的 是矩形 2 对角线相等的 是矩形 注意 利用 矩形的对角线相等且互相平分 这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 考点管理 平行四边形 直 相等 四边形 平行四边形 智慧锦囊 1 矩形具有平行四边形的一切性质 2 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形 3 矩形是一个轴对称图形 它有两条对称轴 矩形还是一个中心对称图形 它的对称中心是对角线的交点 4 矩形的面积等于两邻边的乘积 2 菱形定义 一组邻边相等的 是菱形 菱形的性质定理 1 菱形的四条边都 2 菱形的对角线互相 并且每一条对角线平分一组对角 菱形的判定定理 1 四条边都相等的 是菱形 2 对角线互相垂直的 是菱形 平行四边形 相等 垂直平分 四边形 平行四边形 智慧锦囊 1 菱形具有平行四边形的一切性质 2 菱形是中心对称图形 它的对称中心是两条对角线的交点 菱形也是轴对称图形 两条对角线所在的直线是它的对称轴 3 因为菱形的对角线互相垂直平分 所以其对角线将菱形分成4个全等三角形 故菱形的面积等于两对角线乘积的 4 由于菱形是平行四边形 所以菱形的面积 底 高 一半 3 正方形定义 有一组邻边相等 并且有一个直角的 形是正方形 正方形的性质 1 正方形对边平行 2 正方形四边相等 3 正方形四个角都是直角 4 正方形对角线相等 互相 每条对角线平分一组对角 对称性 正方形既是轴对称图形也是中心对称图形 对称轴有四条 对称中心是对角线的交点 平行四边 垂直平分 正方形的判定定理 1 有一组邻边相等的 是正方形 2 有一个角是直角的 是正方形 矩形 菱形 智慧锦囊 矩形 菱形 正方形都是平行四边形 且是特殊的平行四边形 矩形是有一内角为直角的平行四边形 菱形是有一组邻边相等的平行四边形 正方形既是矩形又是菱形 4 中点四边形定义 顺次连结四边形各边中点所得的四边形 我们称之为中点四边形 常用结论 1 任意四边形的中点四边形是平行四边形 2 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 3 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 4 对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形 二 必会2方法1 平行四边形 矩形 菱形 正方形之间的联系 1 在平行四边形的基础上 增加条件 一个角是直角 或 对角线相等 可得矩形 2 在平行四边形的基础上 增加条件 一组邻边相等 或 对角线互相垂直 可得菱形 3 在平行四边形的基础上 要证明是正方形 可先证明它是矩形 再证明它是菱形或者先证明它是菱形 再证明它是矩形 即得正方形 2 活用菱形对角线的性质解题菱形是一组邻边相等的平行四边形 它是轴对称图形 其对称轴是任意一条对角线 关于菱形的对角线 有如下性质 菱形对角线互相垂直平分 并且每一条对角线平分一组对角 灵活运用这一特殊性质 可以顺利解决一些问题 此类题型是中考的热点考题 三 必明2易错点1 在判定矩形 菱形 正方形时 要弄清是在 四边形 还是在 平行四边形 的基础上来求证的 要熟悉各种判定定理的联系和区别 解题时要认真审题 通过仔细分析已知条件来确定用哪一种判定方法 2 平行四边形 矩形 菱形 正方形的性质与判定方法很多 很容易混淆 复习时要从这几种图形的定义入手 从边 角 对角线三个角度考虑 正确掌握这几种图形之间的区别与联系 类型之一菱形的性质与判定 2015 长沙 如图28 4 在菱形abcd中 ab 2 abc 60 对角线ac bd相交于点o 将对角线ac所在的直线绕点o顺时针旋转角 0 90 后得直线l 直线l与ad bc两边分别相交于点e和点f 1 求证 aoe cof 2 当 30 时 求线段ef的长度 图28 4 解析 1 利用asa证明 aoe cof 2 首先画出 30 时的图形 根据菱形的性质得到ef ad 解三角形即可求出oe的长 进而得到ef的长 解 1 证明 在菱形abcd中 ad bc ao co eao fco 在 aoe和 cof中 aoe cof asa 2 ab bc 2 abc 60 abc是等边三角形 ac 2 acb 60 oc 1 30 时 of bc 1 如图28 5 菱形abcd中 ab 4 b 60 ae bc af cd 垂足分别为e f 连结ef 则 aef的面积是 解析 四边形abcd是菱形 bc cd b d 60 ae bc af cd s菱形abcd bc ae cd af bae daf 30 ae af 图28 5 变式跟进1答图 b 60 bad 120 eaf 120 30 30 60 aef是等边三角形 ae ef aef 60 ab 4 2 2015 荆门 已知 如图28 6 在四边形abcd中 ab cd e f为对角线ac上两点 且ae cf df be ac平分 bad 求证 四边形abcd为菱形 解析 首先证得 abe cdf 得到ab cd 从而得到四边形abcd是平行四边形 然后证得ad cd 利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明 证明 ab cd bae dcf df be dfe bef 图28 6 aeb cfd 又 ae cf abe cdf asa ab cd ab cd 四边形abcd是平行四边形 ac平分 bad bae daf bae dcf daf dcf ad cd 四边形abcd是菱形 点悟 菱形的四边相等 有一个角是60 的菱形可以被一条对角线分成两个等边三角形 类型之二矩形的性质与判定 2015 聊城 如图28 7 在 abc中 ab bc bd平分 abc 四边形abed是平行四边形 de交bc于点f 连结ce 求证 四边形becd是矩形 解析 根据已知条件易推知四边形becd是平行四边形 结合等腰 abc 三线合一 的性质证得bd ac 即 bdc 90 所以由 有一内角为直角的平行四边形是矩形 得到 becd是矩形 图28 7 证明 ab bc bd平分 abc bd ac ad cd 四边形abed是平行四边形 be ad be ad be cd 四边形becd是平行四边形 bd ac bdc 90 becd是矩形 点悟 证明一个四边形是矩形 一般常用的方法是 1 有三个角是直角的四边形 2 有一个角是直角的平行四边形 3 对角线相等的平行四边形 2015 内江 如图28 8 将 abcd的边ab延长至点e 使ab be 连结de ec de交bc于点o 1 求证 abd bec 2 连结bd 若 bod 2 a 求证 四边形becd是矩形 解析 1 根据平行四边形的判定与性质得到四边形becd为平行四边形 然后由sss推出两三角形全等即可 2 欲证明四边形becd是矩形 只需推知bc ed 图28 8 证明 1 在平行四边形abcd中 ad bc ab cd ab cd 则be cd 又 ab be be dc 四边形becd为平行四边形 bd ec abd bec sss 2 由 1 知 四边形becd为平行四边形 则od oe oc ob 四边形abcd为平行四边形 a bcd 即 a ocd 又 bod 2 a bod ocd odc ocd odc oc od oc ob od oe 即bc ed 平行四边形becd为矩形 类型之三正方形的性质与判定 2015 凉山 如图28 9 在正方形abcd中 g是bc上任意一点 连结ag de ag于e bf de交ag于f 探究线段af bf ef三者之间的数量关系 并说明理由 解 af bf ef 理由如下 如答图 四边形abcd是正方形 ab ad bad 90 1 2 90 de ag aed 90 2 3 90 图28 9 例3答图 1 3 bf de bfa aed def 90 abf dae aas ae bf af ae ef af bf ef 2014 绍兴 1 如图28 10 正方形abcd中 点e f分别在边bc cd上 eaf 45 延长cd到点g 使dg be 连结ef ag 求证 ef fg 2 如图28 10 等腰直角三角形abc中 bac 90 ab ac 点m n在边bc上 且 man 45 若bm 1 cn 3 求mn的长 图28 10 解 1 证明 正方形abcd中 dg be ab ad b adg abe adg sas bae dag ae ag eaf 45 bad 90 bae ead ead dag eag 90 gaf eaf 45 aef agf sas ef fg 2 如答图 过点a作ak am于点a 取ak am 连结nk ck mak 90 bac 90 1 2 man 45 2 3 1 3 90 man 45 man nak ab ac 变式跟进答图 abm ack amn akn bac 90 ab ac b 4 45 5 b 45 ck bm 1 nk mn 4 5 90 类型之四平行四边形的折叠问题 2014 成都 如图28 11 在边长为2的菱形abcd中 a 60 m是ad边的中点 n是ab边上一动点 将 amn沿mn所在的直线翻折得到 a mn 连结a c 则a c长度的最小值是 图28 11 解析 如答图所示 ma 是定值 a c长度最小时 a 在mc上 过点m作mf dc于点f 在边长为2的菱形abcd中 a 60 cd 2 adc 120 fdm 60 fmd 30 例4答图 1 如图28 12 将矩形abcd沿对角线bd折叠 使点c与点c 重合 若ab 2 则c d的长为 a 1b 2c 3d 4 解析 在矩形abcd中 cd ab 矩形abcd沿对角线bd折叠后点c和点c 重合 c d cd c d ab ab 2 c d 2 故选b b 图28 12 2 如图28 13 将长方形纸片abcd折叠 使边dc落在对角线ac上 折痕为ce 且d点落在d 处 若ab 3 ad 4 则ed的长为 a 图28 13 解析 ab 3 ad 4 dc 3 根据折叠可得 dec d ec d c dc 3 de d e 设ed x 则d e x ad ac cd 2 ae 4 x 在rt aed 中 ad 2 d e 2 ae2 22 x2 4 x 2 c 图28 14 阴影部分的周长 a d a h bh bc cg d g ad ab bc cd 2 4 8 变式跟进3答图 4 2014 上海 如图28 15 已知在矩形abcd中 点e在边bc上 be 2ce 将矩形沿着过点e的直线翻折后 点c d分别落在边bc下方的点c d 处 且点c d b在同一条直线上 折痕与边ad交于点f d f与be交于点g 设ab t 那么 efg的周长为 用含t的代数式表示 图28 15 解析 由翻折的性质得 ce c e be 2ce be 2c e 又 c c 90 ebc 30 fd c d 90 bgd 60 fge bgd 60 ad bc afg fge 60 变式跟进4答图 efg是等边三角形 ab t 点悟 折叠的实质是轴对称 折叠前后对应部分重合