勾股定理全能教案(适合各层次学生)

勾股定理全能教案(适合各层次学生) 第1页共16页ab abA BCDEABC ABCabc弦股勾勾股定理 一、勾股定理勾直角三角形较短的直角边股直角三角形较长的直角边弦斜边勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2b2c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 二、勾股定理的证明方法方法一如图，剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S正方形_方法二已知在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。 求证a2b2=c2。 分析左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 左边S=_右边S=_左边和右边面积相等，即化简可得。 方法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.RtEADRtCBE,ADE=BEC.AED+ADE=90?,AED+BEC=90?.DEC=180?90?=90?.DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于21c2.又DAE=90?,EBC=90?,ADBC.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于_cbaD CA Bbbbbaaaabbbbaaaa第2页共16页 三、勾股数勾股数满足a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。 ）常见勾股数 3、 4、 56、 8、 109、 12、 155、 12、 138、 15、 177、 24、 259、 40、41 四、勾股定理的作用 （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段练习题勾股定理1填空题在RtABC，C=90，a=8，b=15，则c=。 在RtABC，B=90，a=3，b=4，则c=。 在RtABC，C=90，c=10，ab=34，则a=，b=。 (4)已知直角三角形的两边长分别为5cm和12cm，则第三边长为。 2.在RtABC中，C=90若a=5，b=12，则c=_；若a=15，c=25，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则S RtABC=_。 3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_。 4.已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或255.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、326已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。 第3页共16页AC B勾股定理的简单应用7.如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米求梯子的底端B距墙角O多少米？如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）8小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。 9如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。 9题图10题图11题图10如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。 11如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？12如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，B=60，则江面的宽度为。 13有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。 14一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，=16厘米，且RP，则RQ=厘米。 O BDCACAO BOD30ABCCABRP Q第4页共16页15如图(a)，分别以RtABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S3表示，容易得出S 1、S 2、S3之间有的关系式；如图(b)，分别以RtABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S3表示，容易得出S 1、S 2、S3之间有的关系式16我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，利用尺规作图，在数轴上画出表示13的点吗？学习检测1已知直角三角形中30角所对的直角边长是32cm，则另一条直角边的长是（）A.4cm B.34cm C.6cm D.36cm2ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长为（）A42B32C42或32D37或333一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动()A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米4如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草5.等腰ABC的腰长AB10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为.6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为7已知如图，四边形ABCD中，ADBC，ADDC，ABAC，B=60，CD=1cm，求BC的长。 “路”4m3mBCDA第5页共16页勾股定理的逆定理 一、勾股定理逆定理勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 1如图，若ABC的三边长a、b、c满足222c b a?，试证明ABC是直角三角形2判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形 （1）17,8,15?c b a； （2）15,14,13?c b a （3）25,24,7?c b a； （4）5.2,2,5.1?c b a； 二、互逆关系 （1）命题与定理有什么区别 （2）什么叫互为逆命题 （3）什么叫互为逆定理 （4）任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有2说出下列命题的逆命题。 这些命题的逆命题成立吗？ （1）两直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 第6页共16页练习题1.若ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定ABC的形状2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？3.已知如图，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD；求证ABC是直角三角形。 4.已知如图，四边形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3；求四边形ABCD的面积。 归纳求不规则图形的面积时，要把不规则图形5.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？6如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。 小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90。 B ACDAB CDEDCAB第7页共16页7.如果ABC的三边a,b,c满足关系式182?ba+（b-18）2+30?c=0则ABC是三角形。 8.若ABC的三边a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形9.若ABC的三边a、b、c，满足abc=112，试判断ABC的形状。 10.已知如图，四边形ABCD，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且ABBC。 求四边形ABCD的面积。 11.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 12.已知ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定ABC的形状。 13.如图，在正方形ABCD中，F为CD的中点，E为BC上一点且EC41BC，求证AFE90。 .AB CD第8页共16页勾股定理综合1.勾股定理 (1)直角三角形两直角边的_和等于_的平方就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有.这就是勾股定理 (2)勾股定理揭示了直角三角形_之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据22222222,ba c a c b b c a?,2222,ac bbca?勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为_.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示n（n为正整数）的点勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想 (3)三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若222c ba?，则三角形是直角三角形；若222c ba?，则三角形是锐角三角形；若?c ba22，则三角形是钝角三角形所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边4.判断直角三角形方法 （1）有一个角为90的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）如果三角形的三边长a、b、c满足222c ba?，那么这个三角形是直角三角形。 第9页共16页5.Rt几个特殊定理 （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）Rt中如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。 考点提升考点 一、已知两边求第三边1在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_2已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是_3在数轴上作出表示10的点4已知，如图在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高求AD的长；ABC的面积考点 二、利用列方程求线段的长1如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离考点 三、判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长 （1） 3、 4、5 （2） 5、 12、13 （3） 8、 15、17 （4） 4、 5、6，其中能够成直角三角形的有2.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(ab0),则这个三角形是.3.如图1，在ABC中，AD是高，且CD BD AD2?，求证ABC为直角三角形。 ADEBC第10页共16页考点 四、灵活变通1.在RtABC中，a，b，c分别是三条边，B=90，已知a=6，b=10，则边长c=2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm，82cm，则以斜边为边长的正方形的面积为_2cm3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm4.如图带阴影部分的半圆的面积是（?取3）5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是6.若一个三角形的周长12c m,一边长为3c m,其他两边之差为-c m,则这个三角形是_7.如图在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米。 考点 五、能力提升1.已知如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的高求证AB2-AC2=BC(BD-DC)2.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且BC CE41?你能说明AFE是直角吗？3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？AB68C B A DE第11页共16页提升题选讲（一）结合三角形 一、填空题1.已知?ABC的三边a、b、c满足0)()(22?c bba，则?ABC为三角形2.在?ABC中，若2a=（b+c）（b-c），则?ABC是三角形，且?903.在?ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为 二、计算题1.已知2512?y xx与25102?z z互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。 2.已知在?ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=12?n，b=2n，c=12?n（n1）试说明?C=?90。 3.若?ABC的三边a、b、c满足条件2ac bacb26241033822?，试判断?ABC的形状。 4.已知,0)10(8262?cba则以a、b、c为边的三角形是（二）、实际应用1.梯子滑动问题 （1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米第12页共16页 （2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）86 （3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，ACBC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）A.y x?B.y x?C.y x?D.不能确定A C B （4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米2.直角边与斜边和斜边上的高的关系直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（）A.2b ab?B.2222h ba?C.h ba111?D.222111h ba?变如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。 求证 （1）222111h ba? （2）h cba? （3）以h ch ba?，为三边的三角形是直角三角形DA BC第13页共16页ABC E D3.爬行距离最短问题1.如图，一块砖宽AN=5，长ND=10，CD上的点F距地面的高FD=8，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是cm2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？3.如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（）A.a3B.?a21?C.a3D.a5B AQ NM P4.折叠问题1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）A.425B.322C.47D.352.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是米。 3.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是34米，则这两株树之间的垂直距离是_米，水平距离是米。 4.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。 5.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC50米，B60，则江面的宽度为。 （三）求边长1.如图所示，在四边形ABCD中，?BAD=?90，?DBC=?90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。 第14页共16页（五）方向问题1.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得MAN30，当他到B点时，测得MBN45，AB100米，你能算出AM的长吗？2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米此时轮船离开出发点多少km?若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?（六）利用三角形面积相等1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得ABC，则边AC上的高为（）A.223B.5103C.553D.554（七）旋转问题1.如图，点P是正ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将PAC绕点A旋转后，得到AB P，则点P与点P之间的距离为，APB=2.如图，?ABC为等腰直角三角形，?BAC=?90，将?ABH绕点A逆时针旋转到?ACH?处，若AH=3，试求出H、H?两点之间的距离。 3.如图所示，P为正方形ABCD内一点，将?ABP绕B顺时针旋转?90到?CBE的位置，若BP=a，求以PE为边长的正方形的面积ABC PABC PM AB N第15页共16页 4、已知直角三角形ABC中，?ACB=?90，CA=CB，圆心角为