高考数学二轮复习精品教学案专题06-平面向量(教师版).

2013 考纲解读考纲解读 1 理解平面向量的概念与几何表示 两个向量相等的含义 掌握向量加减与数乘运算及 其意义 理解两个向量共线的含义 了解向量线性运算的性质及其几何意义 2 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐 标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 3 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 了解平面向量数量积与向量投影的关系 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 能运用数量积表示两个向量的夹角 会 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 知识络构建知识络构建 重点知识整合重点知识整合 1 平面向量的基本概念 2 共线向量定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 使 b a 如果向量 a x1 y1 b x2 y2 则 a b 的充要条件是 x1y2 x2y1或者 x1y2 x2y1 0 即用坐标表 示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等 当其中一个向量的坐标都不是 零时 这个充要条件也可以写为 即对应坐标的比值相等 x2 x1 y2 y1 3 平面向量基本定理 对于任意 a 若以不共线的向量 e1 e2作为基底 则存在唯一的一组实数对 使 a e1 e2 4 向量的坐标运算 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 a x1 y1 5 数量积 1 已知 a b 的夹角为 a b 0 则它们的数量积为 a b a b cos 其 中 b cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 向量的数量积满足交换律 数乘结合律和分配律 但不满足结合律 即 a b c a b c 2 若 a x1 y1 b x2 y2 则 a b x1x2 y1y2 3 两非零向量 a b 的夹角公式为 cos a b a b x1x2 y1y2 x2 1 y2 1 x2 2 y2 2 4 a 2 a a 5 两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零 高频考点突破高频考点突破 考点一考点一 向量的有关概念和运算向量的有关概念和运算 1 零向量模的大小为 0 方向是任意的 它与任意向量都共线 记为 0 2 长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量 与 a 同向的单位向量为 a a 3 方向相同或相反的向量叫共线向量 平行向量 例 1 已知关于 x 的方程 x2 2x 0 x R 其中点 C 为直线 AB 上一点 O 是直线 AB 外一点 则下列结论正确的是 A 点 C 在线段 AB 上 B 点 C 在线段 AB 的延长线上且点 B 为线段 AC 的中点 C 点 C 在线段 AB 的反向延长线上且点 A 为线段 BC 的中点 D 以上情况均有可能 方法技巧 解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点 1 正确理解向量的基本概念 2 正确理解平面向量的基本运算律 a b b a a b b a a b a b 与 a b c a b c 3 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 在概念考查中 一定要重视 如有遗漏 则会出现错误 考点二考点二 平面向量的数量积平面向量的数量积 1 两个向量的数量积是一个数量 而不是向量 它的值为两个向量的模与两向量夹 角的余弦的乘积 其符号由夹角的余弦值确定 2 求非零向量 a b 的夹角一般利用公式 cos a b 先求出夹角的余弦值 a b a b 然后求夹角 向量 a 在向量 b 方向上的投影为 a b b 方法技巧 1 准确利用两向量的夹角公式 cos a b 及向量模的公式 a a b a b a a 2 在涉及数量积时 向量运算应注意 a b 0 未必有 a 0 或 b 0 a b a b a b c 与 a b c 不一定相等 考点三考点三 平面向量与三角函数的综合应用平面向量与三角函数的综合应用 通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值 最值或研究三角函数的性质等问题 是高考中经常出现的题型 例 3 已知向量 a cos sin b cos sin c 1 0 1 求向量 b c 的长度的最大值 2 设 且 a b c 求 cos 的值 4 解 1 法一 由已知得 b c cos 1 sin 则 b c 2 cos 1 2 sin2 2 1 cos 1 cos 1 0 b c 2 4 即 0 b c 2 当 cos 1 时 有 b c max 2 所以向量 b c 的长度的最大值为 2 法二 b 1 c 1 b c b c 2 当 cos 1 时 有 b c 2 0 即 b c 2 所以向量 b c 的长度的最大值为 2 难点探究难点探究 难点一难点一 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 例 1 1 a b 是不共线的向量 若 1a b a 2b 1 2 R 则 AB AC A B C 三点共线的充要条件为 A 1 2 1 B 1 2 1 C 1 2 1 0 D 1 2 1 0 2 设 A1 A2 A3 A4是平面直角坐标系中两两不同的四点 若 R A1A3 A1A2 R 且 2 则称 A3 A4调和分割 A1 A2 已知点 C c 0 D d 0 A1A4 A1A2 1 1 c d R 调和分割点 A 0 0 B 1 0 则下面说法正确的是 A C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点 C C D 可能同时在线段 AB 上 D C D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 点评 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定 理 平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示 这个定理的一个极为重要的导出结果是 如果 a b 不共线 那么 1a 2b 1a 2b 的充 要条件是 1 1且 2 2 共线向量定理有一个直接的导出结论 即如果 x y OA OB OC 则 A B C 三点共线的充要条件是 x y 1 变式探究 1 如图所示 在 ABC 中 点 O 是 BC 的中点 过点 O 的直线分别交直 线 AB AC 于不同的两点 M N 若 m n m n 0 则 的最小值为 AB AM AC AN 1 m 4 n A 2 B 4 C D 9 9 2 2 设向量 a b 满足 a 2 b 2 1 且 a 与 b 的方向相反 则 a 的坐标为 5 答案 1 C 2 4 2 解析 1 MO AO AM AB AC 2 1 mAB 1 2 1 m AB 1 2AC 同理 M O N 三点共线 故 NO 1 2 1 n AC 1 2AB 1 2 1 m AB 1 2AC 即 0 1 2 1 n AC 1 2AB 1 2 1 m 2 AB 1 2 2 n AC 难点二难点二 平面向量的数量积平面向量的数量积 例 2 如图所示 P 为 AOB 所在平面内一点 向量 a b 且 P 在线段 AB OA OB 的垂直平分线上 向量 c 若 a 3 b 2 则 c a b 的值为 OP A 5 B 3 C D 5 2 3 2 答案 C 解析 设 AB 中点为 D c 所以 c a b OP OD DP a b a b a 2 b 2 OD DP BA OD BA DP BA OD BA 1 2 1 2 5 2 点评 平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合 这里 要充分利用平面向量的几何运算法则 平面向量的共线向量定理 两向量垂直的条件以及 平面向量数量积的运算法则 探究解题的思想 变式探究 1 已知 a 与 b 均为单位向量 其夹角为 有下列四个命题 p1 a b 1 0 2 3 p2 a b 1 2 3 p3 a b 1 0 3 p4 a b 1 3 其中的真命题是 A p1 p4 B p1 p3 C p2 p3 D p2 p4 2 在 OAB 中 设 a b 则 OA 边上的高等于 OA OB 难点三难点三 平面向量的共线与垂直的综合运用平面向量的共线与垂直的综合运用 例 3 已知椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 左顶点为 A 若 x2 a2 y2 b2 F1F2 2 椭圆的离心率为 e 1 2 1 求椭圆的标准方程 2 若 P 是椭圆上的任意一点 求 的取值范围 PF1 PA 3 已知直线 l y kx m 与椭圆相交于不同的两点 M N 均不是长轴的端点 AH MN 垂足为 H 且 2 求证 直线 l 恒过定点 AH MH HN 解答 1 由已知得 c 1 a 2 b 所求椭圆方程为 1 3 x2 4 y2 3 2 设 P x0 y0 又 A 2 0 F1 1 0 1 x0 2 x0 y x 3x0 5 PF1 PA 2 0 1 4 2 0 由于 P x0 y0 在椭圆上 2 x0 2 可知 f x0 x 3x0 5 在区间 2 2 上单调递 1 4 2 0 增 当 x0 2 时 f x0 取最小值为 0 当 x0 2 时 f x0 取最大值为 12 的取 PF1 PA 值范围是 0 12 3 由Error 得 3 4k2 x2 8kmx 4m2 12 0 由 0 得 4k2 3 m2 点评 本题是以考查解析几何基本问题为主的试题 但平面向量在其中起着关键作 用 本题的难点是第三问 即把已知的垂直关系和向量等式转化为 0 从而达到使 AM AN 用韦达定理建立直线中参数 k m 的方程 确定 k m 的关系 把双参数直线系方程化为单 参数直线系方程 实现了证明直线系过定点的目的 变式探究 已知双曲线的中心在原点 坐标轴为对称轴 一条渐近线方程为 y x 右焦点 F 5 0 双曲线的实轴为 A1A2 P 为双曲线上一点 不同于 A1 A2 直线 4 3 A1P A2P 分别与直线 l x 交于 M N 两点 9 5 1 求双曲线的方程 2 求证 为定值 FM FN 解答 1 依题意可设双曲线方程为 1 则 x2 a2 y2 b2 Error Error 所求双曲线方程为 1 x2 9 y2 16 2 A1 3 0 A2 3 0 F 5 0 设 P x y M x 3 y 9 5 y0 A1P A1M 24 5 y0 A1 P M 三点共线 x 3 y0 y 0 24 5 y0 即 M 同理得 N 24y 5 x 3 9 5 24y 5 x 3 9 5 6y 5 x 3 FM 16 5 24y 5 x 3 FN 16 5 6y 5 x 3 1 FM FN 256 25 144 25 y2 x2 9 x2 9 y2 16 y2 x2 9 16 9 0 即 0 为定值 FM FN 256 25 144 25 16 9 256 25 256 25 FM FN 历届高考真题历届高考真题 2012 年高考试题年高考试题 1 2012 高考真题重庆理 6 设R 向量且 x y 1 1 2 4 axby c 则cbca ba A B C D 105102 5 2 2012 高考真题浙江理 5 设 a b 是两个非零向量 A 若 a b a b 则 a b B 若 a b 则 a b a b C 若 a b a b 则存在实数 使得 b a D 若存在实数 使得 b a 则 a b a b 3 2012 高考真题四川理 7 设 都是非零向量 下列四个条件中 使成立a b ab ab 的充分条件是 A B C D 且ab ab 2ab ab ab 答案 C 解析 A 可以推得为既不充分也不必要条件 B 可以推得 b b a a ab ab 或为必要不充分条件 C 为充分不必要条件 D 同 B b b a a 4 2012 高考真题辽宁理 3 已知两个非零向量 a b 满足 a b ab 则下面结论正 确的是 A a b B a b C 0 1 3 D a b ab 5 2012 高考真题江西理 7 在直角三角形中 点是斜边的中点 点为线ABCDABP 段的中点 则 CD 22 2 PAPB PC A 2 B 4 C 5 D 10 答案 D 解析 将直角三角形放入直角坐标系中 如图 设 则 所以 0 0 0 babBaA 2 2 ba D 4 4 ba P 1616 4 4 22 22 2baba PC 所以 16 9 16 4 4 22 22 2ba b ba PB 1616 9 4 4 22 22 2bab a a PA 所以 2 222222 22 10 1616 10 1616 9 16 9 16 PC bababa PBPA 10 2 22 PC PBPA 选 D 6 2012 高考真题湖南理 7 在 ABC 中 AB 2 AC 3 1 则 AB BC A BC A B C D 372 223 7 2012 高考真题广东理 3 若向量 2 3 4 7 则 BA CA BC A 2 4 B 3 4 C 6 10 D 6 10 答案 A 解析 故选 A 4 2 7 4 3 2 CABABC 8 2012 高考真题广东理 8 对任意两个非零的平面向量 和 定 义 若平面向量 a b 满足 a b 0 a 与 b 的夹角 且和 4 0 ba 都在集合中 则 ab 2 Zn n ba A B 1 C D 1 2 3 2 5 2 答案 C 解析 因为 2 2 coscos b a bb ba ba 1coscos a b aa ab ab 且和都在集合中 所以 ba ab 2 Zn n 2 1 cos a b ab 所以 因为 所以 cos2 1 a b 2cos2cos 2 b a ba 4 0 21 ba 故有 故选 C 2 3 ba 9 2012 高考真题安徽理 8 在平面直角坐标系中 将向量按 0 0 6 8 OPOP 逆时针旋转后 得向量 则点的坐标是 3 4 OQ Q A 7 2 2 B 7 2 2 C 4 6 2 D 4 6 2 10 2012 高考真题天津理 7 已知ABC 为等边三角形 AB 2 设点 P Q 满足 ABAP ACAQ 1 R 若 则 2 3 CPBQ A 2 1 B 2 21 C 2 101 D 2 223 答案 A 11 2012 高考真题新课标理 13 已知向量夹角为 且 则 a b 45 1 210aab b 12 2012 高考真题浙江理 15 在 ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 3 BC 10 则 AB AC 答案 16 解析 法一此题最适合的方法是特例法 假设ABC 是以 AB AC 的等腰三角形 如图 AM 3 BC 10 AB AC 34 cos BAC 34341008 2 3417 AB AC cos16ABACBAC 法二 16310 4 1 4 1 2 1 2 1 22 22 AMBCAMBCAMBCACAB 13 2012 高考真题上海理 12 在平行四边形中 边 的ABCD 3 AABAD 长分别为 2 1 若 分别是边 CD上的点 且满足 则MNBC CD CN BC BM 的取值范围是 ANAM 14 2012 高考真题山东理 16 如图 在平面直角坐标系中 一单位圆的圆心的初始xOy 位置在 此时圆上一点的位置在 圆在轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心 0 1 P 0 0 x 位于时 的坐标为 2 1 OP 答案 2cos1 2sin2 解析 因为圆心移动的距离为 2 所以劣弧 即圆心角2 PA 则 所以2 PCA 2 2 PCA 所以 2cos 2 2sin PB2sin 2 2cos CB2sin22 CBxp 所以 2cos11 PByp 2cos1 2sin2 OP 15 2012 高考真题北京理 13 已知正方形 ABCD 的边长为 1 点 E 是 AB 边上的动 点 则的值为 的最大值为 CBDE DCDE 16 2012 高考真题安徽理 14 若平面向量满足 则的最小值是 a b 23ab a b A 答案 9 8 解析 22 22 23494 9 444944 8 ababa b aba ba ba ba ba b A AAAA 17 2012 高考江苏 9 5 分 如图 在矩形中 点为ABCD22ABBC E 的中点 点在边上 若 则的值是 BCFCD2ABAF AAEBF A 答案 2 2011 年高考试题年高考试题 1 2011 年高考四川卷理科 4 如图 正六边形 ABCDEF 中 BACDEF A 0 B BE C AD D CF 答案 D 解析 BACDEFDECDEFCDDEEFCF 2 2011 年高考全国卷理科 12 设向量满足 1 a b c a b a b 1 2 则的最大值等于 ac bc 0 60c A 2 B c D 132 答案 A 解析 如图 构造 AB a AD b AC c 所以四点共圆 120 60BADBCD A B C D 可知当线段为直径时 最大 最大值为 2 ACc 二 填空题 1 2011 年高考浙江卷理科 14 若平面向量 满足 且以向量 1 1 为邻边的平行四边形的面积为 则与的夹角的取值范围是 1 2 答案 5 66 解析 又 111 2sin 1 1 sin 222 又 0 5 66 2 2011 年高考安徽卷理科 13 已知向量 a b 满足 a 2b a b 6 且 a 则 a 与 b 的夹角为 2b A B D C 3 2011 年高考重庆卷理科 12 已知单位向量的夹角为 则 ij c c 60 2 ij cc 解析 3 222 22444 1 4 cos603 ijijijij ccccccc c A 4 2011 年高考安徽卷江苏 10 已知是夹角为的两个单位向量 21 e e 3 2 若 则 k 的值为 2 2121 eekbeea0 ba 答案 5 4 解析 a b 1212 2 eekee 2 2 1122 1 2 2kek e ee 0 解得 2 1 2 cos2 3 kk 5 4 k 2010 年高考试题年高考试题 2010 全国卷 2 理数 8 ABCV中 点D在AB上 CD平方ACB 若 CBa uur CAb uu r 1a 2b 则CD uuu r A 12 33 ab B 21 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab 6 2010 辽宁理数 8 平面上 O A B 三点不共线 设 则 OAB 的面积等 OA a OBb 于 A B 222 aba b A 222 aba b A C D 222 1 2 aba b A 222 1 2 aba b A 答案 C 解析 三角形的面积 S a b sin 而 1 2 2222222 11 cos 22 ababababa b 2 11 1 cos sin 22 a ba ba ba b 7 2010 重庆理数 2 已知向量 a b 满足 则0 1 2 a bab 2ab A 0 B C 4 D