上海高三数学模拟试卷

第 1 页 共 4 页 高三数学模拟试卷高三数学模拟试卷 班级 学号 姓名 得分 注意 本试卷共有 21 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 填空题 本大题共有 12 小题 满分 54 分 只要求直接填写结果 1 6 题每个空格填 对得 4 分 7 12 题每个空格填对得 5 分 否则一律得零分 1 设aR 若复数 1 i ai 在复平面内对应的点位于实轴上 则a 2 集合 且 则实数的取值范围是 1Ax x Bx xa ABR a 3 二项式的展开式中 系数最大的项为第 项 6 1 x x 4 从 5 名志愿者中选出 3 名 分别从事翻译 导游 保洁三项不同的工作 每人承担一项 其中甲不能从事翻译工作 则不同的选派方案共有 种 5 直线被双曲线截得的弦长为 2 3 xt t yt 为参数 22 1xy 6 若函数是奇函数 则 2 log 0 0 x x f x g x x 8 g 7 已知某几何体的三视图如右图 其中主视图中 半圆直径为 2 则该几何体的体积 8 已知数列的通项公式为 n a 1 21 n n a 则 0 1n a C 1 2n a C 2 3n a C 1 n nn aC 9 若等差数列的首项为公差为 前项的和为 则数列为等差数列 n a 1 adn n S n S n 且通项为 类似地 若各项均为正数的等比数列的首项为 公比 1 1 2 n Sd an n n b 1 b 为 前项的积为 则数列为等比数列 且通项为 qn n T n n T 10 设满足约束条件 向量 且 x y 1 1 2 210 x yx xy 2 1 1 ayx m b ab 则实数的最小值为 m 3 211 11 2 第 2 页 共 4 页 11 已知实数成等差数列 点在动直线 不同时为零 a b c 3 0P 0axbyc a b 上的射影点为 若点的坐标为 则的取值范围是 MN 2 3MN 12 函数 若对于任意的实数均存在以 421 421 xx xx k f x 123 x xx 为三边长的三角形 则实数的取值范围是 123 f xf xf xk 二 选择题 本大题共有 4 小题 满分 20 分 每小题都给出四个选项 其中有且只有一个 选项是正确的 选对得 5 分 否则一律得零分 13 若与都是非零向量 则 是 的 a bc a ba c abc A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 14 将函数sin 2 3 yx 图象上的点 4 Pt 向左平移s 0s 个单位长度得到点 P 若 P位于函数sin2yx 的图象上 则 A 1 2 t s的最小值为 6 B 3 2 t s的最小值为 6 C 1 2 t s的最小值为 3 D 3 2 t s的最小值为 3 15 如图 在正方体中 当动点在底面 1111 ABCDABC D M 内运动时 总有 则动点在底面ABCD 11 DD ADD M M 内的轨迹是 ABCD A 椭圆的一部分 B 双曲线的一部分 C 抛物线的一部分 D 圆的一部分 16 如图 在 10 10 的网格中 每个小方格都是边长为 的小正1 方形 每个小正方形的顶点称为格点 若抛物线经过图中的三个 格点 则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的 内接格点 三角形 以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系 若抛O 物线与网格对角线的两个交点之间的距离为 且这两个OB3 2 交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点 则 满足上述条件且对称轴平行于轴的抛物线条数是 y A 0 条 B 7 条 C 14 条 D 无数条 第 3 页 共 4 页 三 解答题 本大题共有 5 小题 满分 76 分 解答下列各题必须写出必要的步骤 17 本题满分 14 分 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 在中 角所对的边分别是 且 ABC A B C a b c coscossinABC abc 1 证明 sinsinsinABC 2 若 求 222 6 5 bcabc tan B 18 本题满分 14 分 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 如图 已知直角梯形所在的平面垂直于平面 ACDEABC90BACACD 60EAC ABACAE 1 在直线上是否存在一点 使得平面EAB 请证明你的结论 BCP DP 2 求平面与平面所成的锐二面角的余弦值 EBDABC 19 本题满分 14 分 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 7 分 椭圆 的短轴长等于焦距 E1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 在短轴上 且 1 0 PCD1PC PD 1 求椭圆的方程 E 2 为坐标原点 过点的动直线与椭圆相交于两点 OPBA 是否存在常数 使得为定值 若存在 求的值 OA OBPA PB 第 4 页 共 4 页 20 本题满分 16 分 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 6 分 已知数列中 n a 1 3a 1 3 2n nn aa nN 1 证明数列是等比数列 并求数列的通项公式 2n n a n a 2 求数列的前项的和 n an n S 3 若且 求证 使得 成等差数列的点列在某一1rs r sN 1 a r a s a r s 直线上 21 本题满分 18 分 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 10 分 对于函数与常数 若对的定义域内的任意都成立 yf x ab 2fxaf xb f xx 则称为函数的一个 数对 设函数的定义域为 且 a b f xP yf x R 13f 1 若是的一个 数对 求 1 1 f xP 2nfn N 2 若是的一个 数对 且当时 求在 2 0 f xP 1 2x 23f xkx f x 区间上的最大值与最小值 1 2nn N 3 若是增函数 且是的一个 数对 试比较下列各组中两个式 f x 2 2 f xP 子的大小 并说明理由 与 与 2 n f 22 n n N f x22x 1 2 2 nn xnN 第 5 页 共 4 页 高三数学练习卷高三数学练习卷 班级 学号 姓名 得分 注意 本试卷共有 21 道试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 填空题 本大题共有 12 小题 满分 54 分 只要求直接填写结果 1 6 题每个空格填 对得 4 分 7 12 题每个空格填对得 5 分 否则一律得零分 1 设aR 若复数 1 i ai 在复平面内对应的点位于实轴上 则a 1 2 集合 且 则实数的取值范围是 1Ax x Bx xa ABR a1a 3 二项式的展开式中 系数最大的项为第 3 或 5 项 6 1 x x 4 从 5 名志愿者中选出 3 名 分别从事翻译 导游 保洁三项不同的工作 每人承担一项 其中甲不能从事翻译工作 则不同的选派方案共有 48 种 5 直线被双曲线截得的弦长为 2 3 xt t yt 为参数 22 1xy 2 10 6 若函数是奇函数 则 3 2 log 0 0 x x f x g x x 8 g 解析 f x为奇函数 所以 2 8 8 8 log 83fgf 即 8 3g 7 已知某几何体的三视图如图 其中主视图中 半圆直径为 2 则该几何体的体积 3 24 2 8 已知数列的通项公式为 n a 1 21 n n a 则 0 1n a C 1 2n a C 3 3n a C 1 n nn aC 23 nn 9 若等差数列的首项为公差为 前项的和为 则数列为等差数列 n a 1 adn n S n S n 且通项为 类似地 若各项均为正数的等比数列的首项为 公比 1 1 2 n Sd an n n b 1 b 为 前项的积为 则数列为等比数列 且通项为 qn n T n n T 1 2 1 n n n Ta q 3 211 11 2 第 6 页 共 4 页 10 设满足约束条件 向量 且 则实 x y 1 1 2 210 x yx xy 2 1 1 ayx m b ab 数的最小值为 m6 解析 不等式对应的可行域是顶点为的三角形及其内部 由 2 4 2 1 1 8 1 CBA 得 可知在处有最小值 ab 2mxy 8 1 A2mxy 6 11 已知实数成等差数列 点在动直线 不同时为零 a b c 3 0P 0axbyc a b 上的射影点为 若点的坐标为 则的取值范围是 MN 2 3MN55 55 解析 因为实数成等差数列 所以 方程变形为 a b c2bac 0axbyc 整理为2 20axac yc 2 2 0axyc y 所以 即 因此直线过定点 20 20 xy y 1 2 x y 0axbyc 1 2Q 画出图象可得 90PMQ 2 5PQ 点在以为直径的圆上运动 线段的长度满足MPQMN 55FNMNFN 即5555MN 12 函数 若对于任意的实数均存在以 421 421 xx xx k f x 123 x xx 为三边长的三角形 则实数的取值范围是 123 f xf xf xk 解 令 4211 1 1 421 21 2 xx xx x x kk f x 11 0 1 3 21 2 x x g x 当时 其中当且仅当时取得等号1k 2 1 3 k f x 0 x 所以若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形 只需 123 x xx 123 f xf xf x 所以 2 2 3 k 14k 当时 其中当且仅当时取得等号1k 2 1 3 k f x 0 x 第 7 页 共 4 页 所以若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形 只需 123 x xx 123 f xf xf x 所以 2 21 3 k 1 1 2 k 综上可得 1 4 2 k 二 选择题 本大题共有 4 小题 满分 20 分 每小题都给出四个选项 其中有且只有一个 选项是正确的 选对得 5 分 否则一律得零分 13 若与都是非零向量 则 是 的 C a bc a ba c abc A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 14 将函数sin 2 3 yx 图象上的点 4 Pt 向左平移s 0s 个单位长度得到点 P 若 P位于函数sin2yx 的图象上 则 A A 1 2 t s的最小值为 6 B 3 2 t s的最小值为 6 C 1 2 t s的最小值为 3 D 3 2 t s的最小值为 3 解析 点在函数上 所以 然后 4 Pt sin 2 3 yx 1 sin 2sin 4362 t 向左平移 个单位 即 所以 sin 2 3 yx s sin 2 sin2 3 yxsx 所以 的最小值为 6 skk Z s 6 15 如图 在正方体中 当动点在底面 1111 ABCDABC D M 内运动时 总有 则动点在底面ABCD 11 DD ADD M M 内的轨迹是 D ABCD A 椭圆的一部分 B 双曲线的一部分 C 抛物线的一部分 D 圆的一部分 解 因为满足条件的动点在底面内运动时 动点的轨迹是ABCD 以为轴线 以为母线的圆锥 与底面的交线即圆 1 D D 1 D AABCD 的一部分 16 如图 在 10 10 的网格中 每个小方格都是边长为 的小正方形 1 每个小正方形的顶点称为格点 若抛物线经过图中的三个格点 则以 这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的 内接格点三角形 以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系 若抛物线与网格对O 角线的两个交点之间的距离为 且这两个交点与抛物线的OB3 2 顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点 则满足上述条件且对称 轴平行于轴的抛物线条数是 C y 第 8 页 共 4 页 A 0 条 B 7 条 C 14 条 D 无数条 解析 如图 开口向下 经过点 0 0 1 3 3 3 的抛物线 的解析式为 y x2 4x 然后向右平移 1 个单位 向上平移 1 个单位一次得到一条抛物线 可平移 6 次 所以 一共有 7 条抛物线 同理可得开口向上的抛物线也 有 7 条 所以 满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 7 7 14 三 解答题 本大题共有 5 小题 满分 76 分 解答下列各题必须写出必要的步骤 17 本题满分 14 分 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 在中 角所对的边分别是 且 ABC A B C a b c coscossinABC abc 1 证明 sinsinsinABC 2 若 求 222 6 5 bcabc tan B 解析 1 证明 由正弦定理可知 sinsinsin abc ABC 原式可以化解为 coscossin 1 sinsinsin ABC ABC 和为三角形内角 ABsinsin0AB 则 两边同时乘以 可得 sinsinABsincossincossinsinBAABAB 由和角公式可知 sincossincossinsinsinBAABABCC 原式得证 2 由题 根据余弦定理可知 222 6 5 bcabc 222 3 cos 25 bca A bc 为为三角形内角 A 0 A sin0A 则 即 2 34 sin1 55 A cos3 sin4 A A 由 I 可知 coscossin 1 sinsinsin ABC ABC cos11 sintan4 B BB tan 4B 18 本题满分 14 分 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 如图 已知直角梯形所在的平面垂直于平面 ACDEABC90BACACD 60EAC ABACAE 1 在直线上是否存在一点 使得平BCP DP 面EAB 请证明你的结论 2 求平面与平面所成的锐二面角的余EBDABC 弦值 解 1 线段的中点就是满足条件的点 BCP 第 9 页 共 4 页 证明如下 取的中点连结 则ABFDPFPEF 1 2 FPAC FPAC 取的中点 连结 ACMEMEC 且 AEAC 60EAC 是正三角形 EAC EMAC 四边形EMCD为矩形 1 2 EDMCAC 又 EDAC 且 是平行四边形 EDFPEDFP EFPD 而平面 平面 平面 DPEF EF EAB DP EAB DPEAB 2 法 1 过作的平行线 过作 的垂线交 于 连结 BAClCllGDG 是平面与平面所成二面角的棱 EDAC EDllEBDABC 平面平面 平面 EAC ABCDCAC DC ABC 又 平面 平面 l ABCDCl l DGClDG 是所求二面角的平面角 DGC 设 则 2ABACAEa 3 2CDa GCa 22 7GDGCCDa 2 7 coscos 7 GC DGC GD 法 2 平面平面 90BAC EACD ABC 以点为原点 直线为轴 直线为轴 建立空间直角坐标系 则AABxAC yAxyz 轴在平面内 如图 zEACD 设 由已知 得 2ABACAEa 2 0 0 0 3 0 2 3 BaEaa Daa 2 3 0 0 EBaaa EDa 设平面的法向量为 则且EBD nx y z nEB nED 0 0 n EB n ED 230 0 axayaz ay 解之得 3 2 0 xz y 取 得平面的一个法向量为 2z EBD 3 0 2 n 又 平面的一个法向量为 ABC 0 0 1 n 222222 300 02 12 7 coscos 7 3 02001 n n 19 本题满分 14 分 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 9 分 A B C DE P M F G A B C DE P M F y x z 第 10 页 共 4 页 椭圆 的短轴长等于焦距 在E1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 0 P 短轴上 且 CD1PC PD 1 求椭圆的方程 E 2 为坐标原点 过点的动直线与椭圆相交于两点 OPBA 是否存在常数 使得为定值 若存在 求的值 OA OBPA PB 解 1 由已知 点 C D 的坐标分别为 0 b 0 b 又点 P 的坐标为 0 1 且PC PD 1 于是 2 222 11 2 2 b c a abc 解得 a 2 b 2 所以椭圆 E 方程为 22 1 42 xy 2 当直线 AB 斜率存在时 设直线 AB 的方程为 y kx 1 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 联立 22 1 42 1 xy ykx 得 2k2 1 x2 4kx 2 0 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 所以 1212 22 42 2121 k xxx x kk 从而OA OBPA PB x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 2 2 24 21 21 k k 2 1 2 21k 所以 当 1 时 2 1 2 21k 3 此时 OA OBPA PB 3 为定值 当直线 AB 斜率不存在时 直线 A B 即为直线 CD 此时OA OBPA PBOC ODPC PD 2 1 3 故存在常数 1 使得OA OBPA PB 为定值 3 20 本题满分 16 分 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 5 分 第 3 小题满分 6 分 已知数列中 n a 1 3a 1 3 2n nn aa nN 1 证明数列是等比数列 并求数列的通项公式 2n n a n a 2 求数列的前项的和 n an n S 第 11 页 共 4 页 3 若且 求证 使得 成等差数列的点列在某一1rs r sN 1 a r a s a r s 直线上 解 1 将已知条件变形为 1 3 2n nn aa 1 1 22 nn nn aa 由于 则 常数 1 23210a 1 2 2 1 1 n n n n a a 即数列是以 为首项 公比为的等比数列 2n n a 11 所以 即 1 1 12 nn n a 1 1 nn n a2 1 1 n Nn 2 1 1 22 2 21 21 n n n nk SkN nk 3 若 成等差数列 则 1 a r a s a 1 2 rs aaa 即 变形得 11 1 23 1 2 2 ssrr 3 1 1 222 111 srrs