九年级数学上册 24.1.4 圆周角课件 （新版）新人教版.pptVIP

第二十四章圆 24 1 4圆周角 24 1圆的有关性质 九年级数学 上新课标 人 解析 欲证af cf 只需证明 acf caf 其中 caf是所对的圆周角 而由条件可知 因此只需找出所对的圆周角是否与 acf相等即可 而构造所对的圆周角需要连接bc 此时恰好构造了直径所对的圆周角 acb 也可以延长cd交圆于点h 由垂径定理可得 则问题得解 还可以连接oc 根据cd ao co ae得到 dco dae 进而得到 fca caf 则可得af cf 圆周角定理的综合应用 考查角度1利用圆周角定理证明两线段 或两弧 相等 如图24 47所示 ab是 o的直径 c是的中点 cd ab于点d 交ae于点f 连接ac 求证af cf 证法1 连接bc 如图24 48所示 ab是 o的直径 acb 90 即 acf bcd 90 cd ab b bcd 90 b acf 又 点c是的中点 b cae acf cae af cf 证法2 如图24 49所示 延长cd交 o于点h ab是直径 cd ab 又 点c是的中点 acf caf af cf 证法3 连接oc 如图24 50所示 oc过圆心 co ae cod oae 90 cd oa doc dco 90 dco dae oc oa oca oac fca caf af cf 解题归纳 1 在圆中通过 连接 构造同弧或等弧所对的圆周角是常用的辅助线作法 2 在已知条件中 若有与半径或直径垂直的线段 常延长此线段与圆相交 这样可利用垂径定理得线段相等或弧相等 证明 1 ad为直径 ad bc 由垂径定理得 bd cd 1 如图所示 ad为 abc外接圆的直径 ad bc 垂足为点f abc的平分线交ad于点e 连接bd cd 1 求证bd cd 2 请判断b e c三点是否在以d为圆心 以db为半径的圆上 并说明理由 解 2 b e c三点在以d为圆心 以db为半径的圆上 理由如下 如图67所示 由 1 知 1 2 又 2 3 1 3 be是 abc的平分线 4 5 dbe 3 4 deb 1 5 dbe deb db de 由 1 知bd cd db de dc b e c三点在以d为圆心 以db为半径的圆上 考查角度2圆周角与平面直角坐标系的综合应用 例2 如图24 51所示 已知co cb是 o 的弦 o 与平面直角坐标系的x轴 y轴分别相交于点b o和a o 若 cob 45 obc 75 点a的坐标为 0 2 求 o 的直径 解析 连接ab 由平面直角坐标系的性质可知 aob 90 所以ab是圆的直径 利用三角形的内角和定理易求得 c 60 再根据圆周角定理可得 oab ocb 60 从而可以在rt aob中求出ab的长 解 连接ab 如图24 51所示 aob 90 ab是圆的直径 boc 45 obc 75 ocb 60 oab ocb 60 a点坐标为 0 2 ao 2 在rt aob中 ab 2oa 4 o 的直径ab的长度为4 解题归纳 本题考查了三角形的内角和定理和圆周角定理的运用 解题的关键是添加辅助线构造直角三角形 并且利用圆周角定理确定ab是圆的直径 提示 如图68所示 连接bc b 8 0 c 0 6 ob 8 oc 6 boc 90 10 且bc为直径 则 a的半径为5 2 自贡中考 如图所示 在平面直角坐标系中 a经过原点o 并且分别与x轴 y轴交于b c两点 已知b 8 0 c 0 6 则 a的半径为 a 3b 4c 5d 8 c 圆内接四边形与垂径定理的综合应用 例3 如图24 52所示 四边形abcd的四个顶点都在 o上 ac bd于e of ab于f 求证2of cd 解析 作直径ag 再连接bg 利用三角形中位线定理可得2of bg 只需证明bg cd 证明 如图24 52所示 过a点作直径ag 连接bg cg ag为 o的直径 acg 90 cg ac bd ac bd cg dbc bcg dc bg of ab af bf 又 ao og of是 abg的一条中位线 2of bg 2of cd 解题归纳 在圆中遇到中点 且要证一条线段的长度是另一条线段长度的2倍时 常作的辅助线是三角形的中位线 证明 1 ai平分 bac bad dac bd dc bi平分 abc abi cbi bad dac dbc dac bad dbc 又 dbi dbc cbi dib abi bad dbi dib bd id bd dc di 3 如图所示 点a b c都在 o上 bac与 abc的平分线相交于点i 延长ai交圆o于点d 连接bd dc 1 求证bd dc di 2 若圆o的半径为10cm bac 120 求 bdc的面积 又由圆的对称性可知 obd cbd 30 延长co交bd于e 则ce bd 由题意知ob 10cm 又 obe 30 在rt obe中 oe ob 10 5 cm be cm bd 2be 10cm 又ce co oe 10 5 15 cm s bdc bd ce 10 15 75 cm2 解 2 当 bac 120 时 abc为钝角三角形 圆心o在 abc外 连接ob od oc 则 doc bod boc 120 dbc dcb bdc 60 bdc为正三角形 如图24 53所示 在 o中 ab是直径 cd是弦 ab cd 1 p是上一点 不与c d重合 求证 cpd cob 2 点p 在劣弧cd上 不与c d重合 时 cp d与 cob有什么数量关系 请证明你的结论 运用圆心角 圆周角的性质探究角的关系 例4 解析 本题两个需证明的结论都是圆心角与圆周角的关系 故可考虑应用同弧 等弧 所对的圆心角 圆周角关系进行证明 证明 1 连接od 如图 1 所示 ab是直径 ab cd cob dob cod 又 cpd cod cpd cob 解 2 cp d cob 180 理由如下 如图 2 所示 连接od cpd cp d 180 cob dob cod 又 cpd cod cob cpd cp d cob 180 4 圆上两条弦ab cd所在直线交于点p 则ab cd之间夹的弧为 若所对的圆周角为m 所对的圆周角为n 如图所示三种情况 ab cd的夹角 apc与m n 之间的关系式是什么 解 如图69所示 当ab cd的交点p在圆内时 连接bc 则有 apc abc dcb m n 当ab cd的交点p在圆上时 点b与点d重合 所对的圆周角的度数变成0 即n 0 则 apc m 如图70所示 当ab cd的交点p在圆外时 连接bc 不妨认为m n 则有 abc apc dcb apc abc bcd m n 圆周角定理及其推论的综合运用 例5 如图24 55所示 已知ab是 o的一条弦 点c为的中点 cd是 o的直径 过点c的直线l交ab所在直线于点e 交 o于点f 1 判断图中 ceb与 fdc的数量关系 并写出结论 2 将直线l绕c点旋转 与cd不重合 在旋转过程中 点e 点f的位置也随之变化 请你在图24 55的两个备用图中分别画出在不同位置时 使 1 的结论仍然成立的图形 标上相应字母 选其中一个图形给予证明 解析 直线l与直线ab的交点e的位置可以分为三类 1 点e在线段ab上 2 点e在线段ba的延长线上 3 点e在线段ab的延长线上 解 1 ceb fdc 理由如下 cd是 o的直径 点c为的中点 cd ab ceb ecd 90 cd是 o的直径 cfd 90 fdc ecd 90 ceb fdc 2 如图24 56所示 答案不唯一 选择图 2 证明如下 cd是 o的直径 点c为的中点 cd ab ceb ecd 90 cd是 o的直径 cfd 90 fdc ecd 90 ceb fdc 5 如图所示 abc的三个顶点在 o上 ad bc d为垂足 e是的中点 求证 oae ead 写出两种以上的证明方法 证法1