高考数学 第八章 第五节 椭圆课件 文 北师大版.ppt

第五节椭圆 1 椭圆的定义设f1 f2 m分别为平面内的两个定点与动点 若 2a 且2a f1f2 则点m的集合为椭圆 叫作椭圆的焦点 两焦点间的距离 f1f2 叫作椭圆的 mf1 mf2 两个定点 焦距 2 椭圆的标准方程和几何性质 坐标轴 原点 a a b b b b a a a 0 a 0 0 b 0 b 0 a 0 a b 0 b 0 0 1 b2 c2 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆 2 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成 pf1f2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 椭圆既是轴对称图形 又是中心对称图形 解析 1 错误 由椭圆的定义知 当该常数大于 f1f2 时 其轨迹才是椭圆 而常数等于 f1f2 时 其轨迹为线段f1f2 常数小于 f1f2 时 不存在图形 2 正确 由椭圆的定义得 pf1 pf2 2a 又 f1f2 2c pf1 pf2 f1f2 2a 2c 3 错误 因为所以e越大 则越小 椭圆就越扁 4 正确 由椭圆的对称性知 其关于原点中心对称 也关于两坐标轴对称 答案 1 2 3 4 1 已知椭圆上一点p到椭圆一个焦点f1的距离为3 则p到另一个焦点f2的距离为 a 2 b 3 c 5 d 7 解析 选d a 5 且 pf1 3 pf1 pf2 10 pf2 10 3 7 2 椭圆的焦点坐标为 5 0 和 5 0 椭圆上一点与两焦点的距离和是26 则椭圆的方程为 a b c d 解析 选a 已知c 5 2a 26 a 13 又焦点在x轴上 故方程为 3 3 m 5 是 方程表示椭圆 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选b 方程表示椭圆 则 3 m 5且m 1 故方程表示椭圆 可得 3 m 5成立 但 3 m 5时 如m 1却不表示椭圆 故选b 4 已知椭圆的离心率则m的值为 解析 当焦点在x轴上时 0 m 5 a2 5 b2 m c2 5 m 又解得m 3 当焦点在y轴上时 m 5 a2 m b2 5 c2 m 5 又解得综上可知m 3或答案 3或 5 已知椭圆的短轴长为6 离心率为则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为 解析 因为椭圆的短轴长为6 所以b 3 又因为离心率为所以 又因为a2 b2 c2 解 组成的方程组得 a 5 c 4 所以 焦点到长轴端点的距离为 a c 9或a c 1 答案 9或1 考向1椭圆的定义及应用 典例1 1 2013 西安模拟 已知两定点f1 1 0 f2 1 0 且 f1f2 是 pf1 与 pf2 的等差中项 则动点p的轨迹方程是 2 已知f1 f2是椭圆c a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且若 pf1f2的面积为9 则b 思路点拨 1 先寻找到动点p与两定点f1 f2满足的等量关系 再根据椭圆的定义求方程 2 关键抓住点p为椭圆c上的一点 从而依据定义有 pf1 pf2 2a 再利用求出 pf1 pf2 结合三角形面积 即得b值 规范解答 1 由 f1f2 是 pf1 与 pf2 的等差中项知 pf1 pf2 4 f1f2 故动点p的轨迹是以定点f1 1 0 f2 1 0 为焦点 长轴长为4的椭圆 故其方程为答案 2 由题意知 pf1 pf2 2a pf1 2 pf2 2 f1f2 2 4c2 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 4c2 2 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 2b2 b 3 答案 3 互动探究 将本例题 2 中条件 pf1f2的面积为9 分别改为 f1pf2 60 则结果如何 解析 由题意得 pf1 pf2 2a 又 f1pf2 60 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 f1f2 2 pf1 pf2 2 3 pf1 pf2 4c2 3 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 b2 拓展提升 1 2 焦点三角形的应用椭圆上一点p与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为 焦点三角形 利用定义可求其周长 利用定义和余弦定理可求 pf1 pf2 通过整体代入可求其面积等 提醒 利用椭圆的定义定形状时 一定要注意常数2a f1f2 这一条件 变式备选 在 abc中 点b 12 0 c 12 0 且ac ab边上的中线长之和等于39 则 abc的重心的轨迹方程为 解析 如图 设m是 abc的重心 bd是ac边上的中线 ce是ab边上的中线 由重心的性质知 bm bd cm ce 于是 mb mc bd ce bd ce 39 26 又26 bc 24 根据椭圆的定义知 点m的轨迹是以b c为焦点的椭圆 2a mb mc 26 a 13 又2c bc 24 c 12 b2 a2 c2 132 122 25 故所求的轨迹方程为答案 考向2椭圆的标准方程与简单性质 典例2 1 2012 江西高考 椭圆的左 右顶点分别是a b 左 右焦点分别是f1 f2 若 af1 f1f2 f1b 成等比数列 则此椭圆的离心率为 2 2012 广东高考 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c 的离心率且椭圆c上的点到q 0 2 的距离的最大值为3 求椭圆c的方程 在椭圆c上 是否存在点m m n 使得直线l mx ny 1与圆o x2 y2 相交于不同的两点a b 且 oab的面积最大 若存在 求出点m的坐标及相对应的 oab的面积 若不存在 请说明理由 思路点拨 1 根据椭圆的简单性质 利用数形结合的思想 将 af1 f1f2 f1b 用含a c的代数式表示 再由其成等比数列构建a c的方程 转化为关于离心率e的方程 得e 2 先根据将待定系数a b减为一个系数b 再根据椭圆c上任意点p x y 满足椭圆c的方程 将 pq 中两个变量减为关于y的函数 求其最大值 从而求出b 得c的方程 可求出原点到直线l的距离 进而求出 ab 的长 即可求出再根据m m n 在椭圆上 从而确定出m的值 n的值 问题得解 规范解答 1 由简单性质知 af1 a c f1f2 2c f1b a c 又三者成等比数列 所以 f1f2 2 af1 f1b 即4c2 a2 c2 a2 5c2 所以 e 答案 2 由得 椭圆c 即x2 3y2 3b2 设p x y 为椭圆c上任意一点 则 若b 1 则 b 1 当y b时 又b 0 得b 1 舍去 若b 1 则 b 1 当y 1时 得b 1 椭圆c的方程为 假设存在点m m n 满足题意 则即设原点到直线l mx ny 1的距离为d 则 当且仅当即亦即时 m 或m 显然存在这样的点m 或m 或m 或m 使s aob最大 最大值为 拓展提升 1 用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 1 作判断 根据条件判断椭圆的焦点在x轴上 还是在y轴上 还是两个坐标轴都有可能 2 设方程 根据上述判断设出方程 3 找关系 根据已知条件 建立关于a b c的方程组 4 得方程 解方程组 将解代入所设方程 即为所求 提醒 当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时 可设为也可设为ax2 by2 1 a 0 b 0且a b 2 利用椭圆简单性质的注意点及技巧 1 注意椭圆简单性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者最大值 最小值时 经常用到这些不等关系 2 利用椭圆简单性质的技巧求解与椭圆简单性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 3 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式 或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 变式训练 2013 淮南模拟 已知椭圆c1 a b 0 的右焦点为f 上顶点为a p为c1上任一点 mn是圆c2 x2 y 3 2 1的一条直径 若与af平行且在y轴上的截距为的直线l恰好与圆c2相切 1 求椭圆c1的离心率 2 若的最大值为49 求椭圆c1的方程 解析 1 由题意可知直线l的方程为因为直线l与圆c2 x2 y 3 2 1相切 即a2 2c2 从而 2 设p x y 则即又 当c 3时 解得c 4 此时椭圆方程为 当0 c 3 但故舍去 综上所述 椭圆c1的方程为 考向3直线与椭圆的位置关系 典例3 2013 南昌模拟 设椭圆c1 a b 0 的左 右焦点分别是f1 f2 下顶点为a 线段oa的中点为b o为坐标原点 如图 若抛物线c2 y x2 1与y轴的交点为b 且经过f1 f2点 1 求椭圆c1的方程 2 设m 0 n为抛物线c2上的一动点 过点n作抛物线c2的切线交椭圆c1于p q两点 求 mpq面积的最大值 思路点拨 1 求出y x2 1与x轴 y轴的交点坐标得到c b的值 再根据a2 b2 c2求出a 代入c1的方程 2 设n t t2 1 建立过点n的直线方程 与椭圆方程联立 利用根与系数的关系设而不求 整体代入求得 pq 进而用点到直线的距离公式求出点m到直线pq的距离d 从而得s mpq pq d求解 规范解答 1 由题意可知b 0 1 则a 0 2 故b 2 令y 0得x2 1 0 即x 1 则f1 1 0 f2 1 0 故c 1 所以a2 b2 c2 5 于是椭圆c1的方程为 2 设n t t2 1 由于y x2 1 y 2x 知直线pq的方程为 y t2 1 2t x t 即y 2tx t2 1 代入椭圆方程整理得 其中 400t2 t2 1 2 80 1 5t2 t2 1 2 4 80 t4 18t2 3 设p x1 y1 q x2 y2 则故 设点m到直线pq的距离为d 则所以 mpq的面积 当t2 9即t 3时取到 经检验此时 0 满足题意 综上可知 mpq的面积的最大值为 拓展提升 1 判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步 确定直线与椭圆的方程 第二步 联立直线方程与椭圆方程 第三步 消元得出关于x 或y 的一元二次方程 第四步 当 0时 直线与椭圆相交 当 0时 直线与椭圆相切 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 k为直线斜率 3 直线与椭圆相交时有关弦长 中点问题的处理方法 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 变式训练 已知椭圆c 的离心率为椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 1 求椭圆c的方程 2 已知动直线y k x 1 与椭圆c相交于a b两点 若线段ab中点的横坐标为求斜率k的值 已知点m 0 求证 为定值 解析 1 因为满足a2 b2 c2 解得则椭圆c方程为 2 设a x1 y1 b x2 y2 则将y k x 1 代入中得 1 3k2 x2 6k2x 3k2 5 0 36k4 4 3k2 1 3k2 5 48k2 20 0 因为ab中点的横坐标为所以解得 所以 满分指导 直线与椭圆相交的综合问题 典例 12分 2012 陕西高考 已知椭圆c1 椭圆c2以c1的长轴为短轴 且与c1有相同的离心率 1 求椭圆c2的方程 2 设o为坐标原点 点a b分别在椭圆c1和c2上 求直线ab的方程 思路点拨 规范解答 1 由已知可设椭圆c2的方程为 2分其离心率为故 则a 4 4分故椭圆c2的方程为 5分 2 方法一 a b两点的坐标分别记为 xa ya xb yb 由 及 1 知 o a b三点共线且点a b不在y轴上 因此可设直线ab的方程为y kx 7分将y kx代入中 得 1 4k2 x2 4 所以 8分 将y kx代入中 得 4 k2 x2 16 所以 9分又由 10分解得k 1 11分故直线ab的方程为y x或y x 12分 方法二 a b两点的坐标分别记为 xa ya xb yb 由 及 1 知 o a b三点共线且点a b不在y轴上 因此可设直线ab的方程为y kx 7分 将y kx代入中 得 1 4k2 x2 4 所以 8分由得 9分将代入中 得即4 k2 1 4k2 10分解得k 1 11分故直线ab的方程为y x或y x 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 新课标全国卷 设f1 f2是椭圆e 的左 右焦点 p为直线上一点 f2pf1是底角为30 的等腰三角形 则e的离心率为 a b c d 解析 选c 由题意可得 pf2 f1f2 2 2012 山东高考 已知椭圆的离心率为 双曲线x2 y2 1的渐近线与椭圆c有四个交点 以这四个交点为顶点的四边形的面积为16 则椭圆c的方程为 a b c d 解析 选d 因为椭圆的离心率为 椭圆方程为x2 4y2 4b2 又双曲线x2 y2 1的渐近线方程为x y 0 渐近线x y 0与椭圆x2 4y2 4b2在第一象限的交点为 由椭圆的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 椭圆c的方程为 3 2013 西安模拟 短轴长为离心率的椭圆的两焦点为f1 f2 过f1作直线交椭圆于a b两点 则 abf2的周长为 解析 由题知即解得由椭圆的定义知 abf2的周长为答案 6 4 2012 天津高考 已知椭圆点p 在椭圆上 1 求椭圆的离心率 2 设a为椭圆的左顶点 o为坐标原点 若点q在椭圆上且满足 aq ao 求直线oq的斜率的值 解析 1 因为点p 在椭圆上 故可得 2 设直线oq的斜率为k 则其方程为y kx 设点q的坐标为 x0 y0 由条件得整理得 由 aq oa a a 0 y0 kx0 得整理得 x0 0 代入 整理得由 1 知故即所