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倍角三角形中的一个结论例1（天津市中考题）在ABC中，A、B、C所对应的边分别用a、b、c表示。如图1，在ABC中，A=2B，且A=60。求证：a2=b（b+c）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角ABC，如图2，A=2B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论。分析：在ABC中，A=2B，且A=60，ABC为Rt，C=90。证法1：RtACB中a=c，b=c，所以a2=（c）2=，b（b+c）=c（c+c）=，所以a2=b（b+c）。对于任意的倍角ABC，A=2B，关系式a2=b（b+c）仍然成立。如图2，延长BA至D，使AD=AC=b，连CD。则CAB=2D，B=D，BC=CD=a，由ADCCDB ，即。所以a2=b（b+c）。由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和。（例2中另外两种证法同样可证得a2=b（b+c）。）例2(2009年全国初中数学联赛)在ABC中，最大角A是最小角C的2倍，且AB=7，AC=8。则BC=（ ）（A）7 （B）10 （C） （D）7分析：此题由例1中的结论，则BC2=7（7+8）=105，所以BC=。以下还可以提供几种解法供参考。解法一：分割法。如图1，作CAB的平分线AD交BC于D。ABCDBA， =，解得 x+y=。评析：解法一的思路是常规思路，平分倍角构造相似三角形，通过相似比得到方程组求出线段长，进而求出BC的长。但这种方法中，二元二次方程组的计算较为复杂。解法二：构造法。如图2，延长CA至点D，使AD=AB。则D=ABD=CAB=C，CBDDAB，=，BD2=ABCD=7（8+7）=105，BD=，又C=D，BC=BD=。评析：利用二倍角为外角构造等腰三角形也是常见的作辅助线的技巧。BD为相似三角形比例中项，与方法一相比，计算相对简单。解法三：综合法作CAB的平分线AD交BC于D。作BEAD。ADCBAE，=，ADCEBC，=，=，（x+y）2=715，x+y=。
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