高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差课件 新人教A版选修23.ppt

2 3 2离散型随机变量的方差 自主学习新知突破 1 理解取有限个值的离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义 2 能计算简单的离散型随机变量的方差和标准差 并能解决实际问题 3 掌握方差的性质以及两点分布 二项分布的方差的求法 a b两台机床同时加工零件 每生产一批数量较大的产品时 出次品的概率如下表 问题1 试求e x1 e x2 提示1 e x1 0 0 7 1 0 2 2 0 06 3 0 04 0 44 e x2 0 0 8 1 0 06 2 0 04 3 0 10 0 44 问题2 由e x1 和e x2 的值说明了什么 提示2 e x1 e x2 问题3 试想利用什么指标可以比较加工质量 提示3 样本方差 1 方差的定义 设离散型随机变量x的分布列为 离散型随机变量的方差与标准差的概念 则 xi e x 2描述了xi i 1 2 n 相对于均值e x 的偏离程度 而d x 为这些偏离程度的加权平均 刻画了随机变量x与其均值e x 的平均偏离程度 称d x 为随机变量x的 方差 标准差 1 当a b为常数时 随机变量y ax b 则d y d ax b a2d x 1 当a 0时 d y d b 0 2 当a 1时 d y d x b d x 3 当b 0时 d y d ax a2d x 2 d x e x2 e x 2 离散型随机变量方差的性质 1 两点分布的方差 若离散型随机变量x服从两点分布 则d x 2 二项分布的方差 若离散型随机变量x服从参数为n p的二项分布 即 则d x 两点分布和二项分布的方差 p 1 p x b n p np 1 p 对随机变量x的方差 标准差的理解 1 随机变量x的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的 2 随机变量x的方差和标准差都反映了随机变量x取值的稳定性和波动 集中与离散程度 3 d x 越小 稳定性越高 波动越小 4 标准差与随机变量本身有相同的单位 所以在实际问题中应用更广泛 1 已知x b n p e x 2 d x 1 6 则n p的值分别为 a 100 0 8b 20 0 4c 10 0 2d 10 0 8解析 e x np 2 d x np 1 p 1 6 p 0 2 n 10 答案 c 3 已知随机变量 的分布列为则d 解析 e 0 1 0 0 15 1 0 25 2 0 25 3 0 15 4 0 1 5 2 5 所以d 0 2 5 2 0 1 1 2 5 2 0 15 2 2 5 2 0 25 3 2 5 2 0 25 4 2 5 2 0 15 5 2 5 2 0 1 2 05 答案 2 05 4 编号为1 2 3的三位同学随意入座编号为1 2 3的三个座位 每位同学一个座位 设与座位编号相同的学生的个数为 求d 合作探究课堂互动 方差和标准差的计算 思路点拨 1 利用方差公式求解 首先求出均值e 然后利用d 定义求方差 2 由于e 是一个常数 所以d y d 2 e 22d 规律方法 1 离散型随机变量的方差的求法 1 明确随机变量的取值及每个值的试验结果 2 求出随机变量各取值对应的概率 3 写出随机变量的分布列 4 利用离散型随机变量的均值公式e x x1p1 x2p2 xnpn求出x的数学期望 5 代入公式d x x1 e x 2 p1 x2 e x 2 p2 xn e x 2 pn 求出x的方差 2 注意随机变量ax b的方差可用d ax b a2d x 求解 两点分布和二项分布的方差 某人投弹击中目标的概率为p 0 8 1 求投弹一次 命中次数x的均值和方差 2 求重复10次投弹时 击中次数y的均值和方差 思路点拨 投弹一次的命中次数x服从两点分布 而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验 击中次数y服从二项分布 规律方法 正确认识二项分布及在解题中的应用 1 在解决有关均值和方差问题时 同学们要认真审题 如果题目中离散型随机变量符合二项分布 就应直接利用二项分布求期望和方差 以简化问题的解答过程 2 对于二项分布公式e x np和d x np 1 p 要熟练掌握 特别提醒 求随机变量的期望 方差时 首先要分析随机变量是否符合特殊分布 符合的要用相应的公式求解 方差的应用 甲 乙两个野生动物保护区有相同的自然环境 且野生动物的种类和数量也大致相等 而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 甲保护区 乙保护区 试评定这两个保护区的管理水平 思路点拨 从均值和方差角度去评定 并根据实际情况去分析 规律方法 关于均值与方差的说明均值仅体现了随机变量取值的平均水平 但有时仅知道均值大小还是不够的 比如 两个随机变量的均值相等了 还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化 即计算其方差 或是标准差 方差大说明随机变量取值分散性大 方差小说明随机变量取值分散性小或者说取值比较集中 稳定 3 甲 乙两射手在同一条件下进行射击 射手甲击中环数8 9 10的概率分别为0 2 0 6 0 2 射手乙击中环数8 9 10的概率分别为0 4 0 2 0 4 用击中环数的数学期望与方差比较两名射手的射击水平 解析 设甲 乙两射手击中环数分别为 1 2 e 1 8 0 2 9 0 6 10 0 2 9 d 1 8 9 2 0 2 9 9 2 0 6 10 9 2 0 2 0 4 同理有e 2 9 d 2 0 8 由上可知e 1 e 2 d 1 d 2 所以 在射击之前 可以预测甲 乙两名射手所得的平均环数很接近 均在9环左右 但甲所得环数较集中 而乙得环数较分散 求实际问题的期望和方差 设在12个同类型的零件中有2个次品 抽取3次进行检验 每次抽取一个 并且取出不再放回 若以 表示取出次品的个数 求 的分布列 期望值及方差 思路点拨 要求 的分布列 必须先确定随机变量 的可能取的所有值 进而求出 取每一个值时的概率 然后借助均值和方差的定义求出均值和方差 规律方法 解答此类问题要注意以下几个问题 1 准确表达出有关随机变量的分布列 完成此环节的难点是弄清随机变量各取值的含义 用参数表示有关量 2 熟练应用均值 方差的计算公式和性质 1 应用公式关键是先明确公式中有关量的含义 再从题目条件中寻找它