高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt

1 2 2同角三角函数的基本关系 知识提炼 同角三角函数的基本关系 即时小测 1 判断 1 对任意角 sin2 cos2 1都成立 2 对任意角 tan2 都成立 3 若sin 0 则cos 1 解析 1 正确 对任意角 sin2 cos2 1都成立 用代替 可得 2 错误 当2 k k z 即 k z时 cos2 0 tan2 无意义 故 tan2 不成立 3 错误 若sin 0 则cos 1 答案 1 2 3 2 化简的结果是 解析 选c 因为角是第二象限角 所以cos 0 所以 3 已知cos 且 是第四象限角 则sin 解析 选c 因为 是第四象限角 所以sin 0 所以 4 化简 解析 答案 cos 5 已知tan 则sin 解析 由已知得所以所以sin2 由 得sin 0 所以sin 答案 知识探究 知识点同角三角函数的基本关系观察图形 回答下列问题 问题1 同角三角函数的基本关系中 同角 一词的含义是什么 问题2 同角三角函数的基本关系式有哪些变形公式 总结提升 对同角三角函数基本关系的五点说明 1 同角三角函数的基本关系式揭示了 同角不同名 的三角函数的运算规律 这里 同角 有两层含义 一是 角相同 二是对 任意 一个角 在使函数有意义的前提下 关系式成立与角的表达形式无关 如sin23 cos23 1 2 sin2 是 sin 2的简写 不能写成sin 2 3 在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义 如式子tan90 不成立 4 注意公式的变形 如sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 sin cos tan cos 等 5 在应用平方关系式求sin 或cos 时 其正负号是由角 所在的象限决定的 不可凭空想象 题型探究 类型一利用同角三角函数的基本关系求值 典例 2015 淮安高一检测 若cos 2sin 求tan 的值 解题探究 典例中 根据题目条件能计算出sin 和cos 吗 换一种思考方法 由已知条件是否可构建关于tan 的方程 提示 由sin2 cos2 1和已知等式可解出sin 和cos 由已知条件得分子分母同除以cos2 可得关于tan 的方程 解析 方法一 因为cos 2sin 所以cos 2sin 又因为sin2 cos2 1 所以sin2 2sin 2 1 整理得5sin2 4sin 4 0 sin 2 2 0 解得sin 所以cos 所以 方法二 因为cos 2sin 所以 cos 2sin 2 5 所以所以所以所以1 4tan 4tan2 5tan2 5 整理得 tan 2 2 0 所以tan 2 延伸探究 1 变换条件 将典例条件改为sin cos 0 结果又如何 解析 因为sin cos 所以 sin cos 2 所以1 2sin cos 所以2sin cos 所以 sin cos 2 1 2sin cos 又因为 0 所以sin cos 0 所以sin cos 联立解得所以 2 变换条件 改变问法 典例中 若已知tan 3 试求cos 2sin 解析 方法一 因为tan 3 所以 3 sin 3cos 又因为sin2 cos2 1 所以9cos2 cos2 1 所以cos2 因为tan 3 所以 为第一象限角或第三象限角 当 为第一象限角时 所以cos 2sin 当 为第三象限角时 所以cos 2sin 方法二 cos 2sin 2 由tan 3 知 为第一象限角或第三象限角 所以cos 2sin 方法技巧 1 求三角函数值的方法 1 已知sin 或cos 求tan 常用以下方式求解 2 已知tan 求sin 或cos 常用以下方式求解当角 的范围不确定且涉及开方时 常因三角函数值的符号问题而对角 分区间 象限 讨论 2 已知角 的正切求关于sin cos 的齐次式的方法 1 关于sin cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin cos 的式子且它们的次数之和相同 设为n次 将分子 分母同除以cos 的n次幂 其式子可化为关于tan 的式子 再代入求值 2 若无分母时 把分母看作1 并将1用sin2 cos2 来代换 将分子 分母同除以cos2 可化为关于tan 的式子 再代入求值 3 sin cos 与sin cos 的应用 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 4sin cos sin cos sin cos 与sin cos 三个式子 可以由其中一个 求出另外两个的值 求值时 注意sin cos 与sin cos 整体的符号的判断 补偿训练 已知tan 2 求的值 解析 因为tan 2 所以 类型二利用同角三角函数基本关系化简 典例 1 2015 六安高一检测 已知 是第一象限角 则 2 化简 1 2 是第二象限角 解题探究 1 典例1中 和如何化为平方的形式 提示 2 典例2中 1 有 弦 有 切 如何处理 2 sin cos 的符号分别是什么 提示 1 切化弦 2 sin 0 cos 0 解析 1 选d 原式 因为 是第一象限角 所以0 sin 1 0 cos 1 所以原式 2 1 原式 2 原式 sin cos 因为 是第二象限角 所以sin 0 cos 0 所以sin cos 0 所以原式 sin cos 延伸探究 若把典例1中根号下的 cos 改为 sin 第一象限角 改为 第二象限角 其他不变 化简结果是什么 解析 原式 因为 是第二象限角 所以0 sin 1 1 cos 0 所以原式 方法技巧 化简三角函数式的一般要求及化简技巧 1 一般要求 函数种类最少 项数最少 函数次数最低 能求值的求值 尽量使分母不含三角函数 尽量使分母不含根式 2 化简技巧 化切为弦 即把正切函数都化为正 余弦函数 从而减少函数名称 达到化繁为简的目的 对于含有根号的 常把根号里面的部分化成完全平方式 然后去根号达到化简的目的 对于化简含高次的三角函数式 往往借助于因式分解 或构造sin2 cos2 1 以降低函数次数 达到化简的目的 变式训练 化简 其中0 解析 因为0 所以所以所以原式 补偿训练 化简 解析 原式 类型三利用同角三角函数基本关系证明恒等式 典例 1 若 0成立 则 不可能位于 a 第二 三 四象限b 第一 二 三象限c 第一 二 四象限d 第一 三 四象限2 证明 解题探究 1 典例1中 恒成立吗 所给等式何时成立 提示 sin cos 当 sin cos 时等式成立 2 典例2中 从一边开始证明它等于另一边 还是证明左 右两边等于同一个式子 提示 可以从一边开始证明它等于另一边 也可以证明左 右两边等于同一个式子 解析 1 选c 当 sin sin cos cos 时 1 sin cos 1 sin2 cos2 0成立 所以 是第三象限角 故选c 2 方法一 左边 右边 所以原式成立 方法二 左边 右边 所以左边 右边 方法技巧 1 简单的三角恒等式的证明思路 1 从一边开始 证明它等于另一边 2 证明左 右两边等于同一个式子 3 逐步寻找等式成立的条件 达到由繁到简 2 证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则 1 常用技巧 切化弦 整体代换 1 的代换等 2 原则 由繁到简 变异为同 变式训练 求证 证明 补偿训练 已知tan2 2tan2 1 求证 sin2 2sin2 1 证明 因为tan2 2tan2 1 所以tan2 1 2tan2 2 所以所以所以1 sin2 2 1 sin2 即sin2 2sin2 1 规范解答同角三角函数基本关系的应用 典例 12分 2015 荆州高一检测 1 若角 是第二象限角 化简 2 化简 审题指导 1 化简 1 中的式子 首先要将正切化为正弦 余弦 根号下式子化为平方形式 然后用 a 化简 2 化简 2 中的式子 首先要用1 sin2130 cos2130 和平方关系把根号下式子化为平方形式 然后用 a 化简 规范解答 1 原式 4分因为 是第二象限角 所以sin 0 cos 0 5分所以原式 1 6分 2 原式 8分 10分 1 12分 题后悟道 1 注意三角函数式化简的基本要求和思想方法三角函数式化简的基本要求 尽量减少角的种数和三角函数的种数 尽量化成同角 同名三角函数 能开