高中数学 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 3函数的最大 小 值与导数 1 理解最值的概念 了解函数的最值与极值的区别和联系 2 会用导数求在给定区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 1 函数y f x 在闭区间 a b 上的最值一般地 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得 做一做1 设在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 且在区间 a b 内可导 有以下三个命题 若f x 在 a b 上有最大值 则这个最大值必是 a b 上的极大值 若f x 在 a b 上有最小值 则这个最小值必是 a b 上的极小值 若f x 在 a b 上有最值 则最值必在x a或x b处取得 其中真命题共有 a 0个b 1个c 2个d 3个 解析 由于函数的最值可能在区间 a b 的端点处取得 也可能在区间 a b 内取得 而当最值在区间端点处取得时 其最值必不是极值 因此命题 都不是真命题 答案 a 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 做一做2 函数f x x3 3x 1 x 1 a 有最大值 但无最小值b 既有最大值 也有最小值c 既无最大值 也无最小值d 无最大值 但有最小值 解析 f x 3x2 3 3 x2 1 因为 1 x 1 所以x2 1 所以3 x2 1 0 即f x 0 所以f x 是 1 1 内的减函数 f 1 f x f 1 故当 1 x 1时 f x 既无最大值 也无最小值 故选c 答案 c 1 如何理解函数的极值和最值 剖析 1 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质 如果x0是函数y f x 的极大 小 值点 那么在点x0附近找不到比f x0 更大 小 的值 最值反映的是函数在整个定义域内的性质 如果x0是函数y f x 的最大 小 值点 那么f x0 不小 大 于函数y f x 在定义域内的所有函数值 2 函数在一个闭区间上若存在最值 则最大 小 值只能有一个 而极大 小 值可能不止一个 也可能没有 如常数函数没有极值 3 函数的极值点不可能是区间的端点 而最值点可以是区间的端点 4 在区间i上 函数f x 的图象是一条连续不断的曲线 若函数f x 在区间i上只有一个极值 且是极大 小 值 则这个极大 小 值就是函数f x 在区间i上的最大 小 值 2 函数y f x 在区间 a b 内的最值情况如何 剖析 在区间 a b 内 当函数f x 的图象是一条连续的曲线时 f x 在 a b 内不一定有最值 常见的有以下几种情况 如图 图 中的函数y f x 在 a b 内有最大值而无最小值 图 中的函数y f x 在 a b 内有最小值而无最大值 图 中的函数y f x 在 a b 内既无最大值也无最小值 图 中的函数y f x 在 a b 内既有最大值也有最小值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思求解函数在固定区间上的最值 在熟练掌握求解步骤的基础上 还需注意以下几点 1 对函数进行准确求导 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3 在比较极值与端点函数值的大小时 有时需要利用作差或作商 甚至需要分类讨论 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 由函数的最值求参数的值 例2 如果f x ax3 6ax2 b 那么是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 分析 解答本题可先求f x 然后确定f x 在 1 2 上的单调性及最值 最后建立方程组求a b 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 所以当x 0时 f x 取极小值 f 0 b 又f 2 b 16a f 1 b 7a 由于af 1 f 0 所以当x 0时 f x 取最小值 即b 29 当x 2时 f x 取最大值 即 16a 29 3 所以a 2 综上所述 a 2 b 3或a 2 b 29 反思1 用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似 当给定区间是闭区间时 极值要和区间端点的函数值进行比较 并且要注意极值点是否在区间内 2 当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时 可考虑用导数的方法求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在本例第 2 小题中 将证明不等式成立