云南省保山市第一中学高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解课件 新人教版必修1.ppt

3 1 2用二分法求方程的近似解 2 能借助计算器用二分法求方程的近似解 3 体会数学逼近过程 感受精确与近似的相对统一 1 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件 了解二分法是求方程近似解的常用方法 从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障 这是一条10km长的线路 如何迅速查出故障所在 如果沿着线路一小段一小段查找 困难很多 每查一个点要爬一次电线杆 10km长 大约有200多根电线杆呢 想一想 维修线路的工人师傅怎样工作最合理 如图 设闸门和指挥部的所在处为点a b b 6 这样每查一次 就可以把待查的线路长度缩减一半 1 首先从中点c查 2 用随身带的话机向两端测试时 发现ac段正常 断定故障在bc段 3 再到bc段中点d 4 这次发现bd段正常 可见故障在cd段 5 再到cd中点e来看 这样每查一次 就可以把待查线路长度缩减为一半 故经过7次查找 就可以将故障发生的范围缩小到50 100m左右 即在一两根电线杆附近 这在现实生活中也有许多重要的应用 其思想方法在生活中解答以上这类问题时经常碰到 解答以上这类实际问题关键在于 根据实际情况加以判断和总结 巧妙取中点 巧妙分析和缩小故障的区间 从而以最短的时间和最小的精力达到目的 假设在区间 1 5 上 f x 的图象是一条连续的曲线 且f 1 0 f 5 0即f 1 f 5 0 我们依如上方法求得方程f x 0的一个解 取 1 5 的一个中点2 因为f 2 0 f 5 0 即f 2 f 5 0 所以在区间 2 5 内有方程的解 于是再取 2 5 的中点3 5 如果取到某个区间的中点x0 恰好使f x0 0 则x0就是所求的一个解 如果区间中点的函数总不为0 那么 不断重复上述操作 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法 它是求一元方程近似解的常用方法 二分法的定义 定义如下 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 bisection 给定精度 用二分法求函数的零点近似值的步骤如下 1 确定区间 验证 给定精度 2 求区间的中点 3 计算 1 若 则就是函数的零点 2 若 则令 此时零点 3 若 则令 此时零点 即若 则得到零点近似值 或 4 判断是否达到精度 否则重复步骤2 4 例1 求函数f x lnx 2x 6在区间 2 3 内的零点 精确度为0 01 解 画出y lnx及y 6 2x的图象 观察图象得 方程lnx 6 2x有唯一解 记为 且这个解在区间 2 3 内 2 3 f 2 0 2 5 f 2 5 0 2 5 3 f 2 5 0 2 75 f 2 75 0 2 5 2 75 f 2 5 0 2 625 f 2 625 0 2 5 2 625 f 2 5 0 2 5625 f 2 5625 0 2 53125 2 5625 f 2 5 0 2 5 2 5625 f 2 53125 0 f 2 53125 0 2 5390625 2 546875 2 53125 2 546875 2 53125 f 2 5390625 0 f 2 53125 0 2 53125 5390625 f 2 546875 0 f 2 53125 0 列出下表 由于 所以 可以将 作为函数 零点的近似值 也即方程 的近似根 点评 由函数的零点与相应方程根的关系 我们可以用二分法来求方程的近似解 由于计算量较大 而且是重复相同的步骤 因此可以通过设计一定的计算程序 借助计算器或计算机完成计算 利用计算器 求方程lgx 3 x的近似解 精确到0 1 解 画出y lgx及y 3 x的图象 观察图象得 方程lgx 3 x有唯一解 记为x 且这个解在区间 2 3 内 设f x lgx x 3 因为2 5625 2 625精确到0 1的近似值都为2 6 所以原方程的近似解为x1 2 6 2 3 f 2 0 2 5 f 2 5 0 2 5 3 f 2 5 0 2 75 f 2 75 0 2 5 2 75 f 2 5 0 2 625 f 2 625 0 2 5 2 625 f 2 5 0 2 5625 f 2 5625 0 2 5625 2 625 f 2 5625 0 列出下表 方法点评 用二分法求方程f x 0 或g x h x 近似解的基本步骤 1 寻找解所在区间 1 图象法 先画出y f x 图象 观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围 或画出y g x 和y h x 的图象 观察两图象的交点横坐标的范围 2 函数法 把方程均转换为f x 0的形式 再利用函数y f x 的有关性质 如单调性 来判断解所在的区间 2 判断二分解所在的区间 若x1 a b 不妨设f a 0 3 若 1 若 2 若 由f a 0 则 由 则 则f b 0 对 1 2 两种情形再继续求二分解所在的区间 当x1 m n 且m n根据精确度得到的近似值均为同一个值p时 则x1 p 即求得近似解 3 根据精确度得出近似解 例2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x 3x 7的近似解 精确度0 1 练习1 用二分法求函数 在区间 0 1 内的零点 精确到0 1 取区间 0 1 的中点 所以近似零点可取为0 6 再取区间 0 5 1 的中点 练习2 下列函数的图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求其零点的是 c 思考 根据练习2 请思考利用二分法求函数零点的条件是什么 1 函数y f x 在 a b 上连续不断 2 y f x 满足f a f