数字信号处理知识点总结

精品文档 1欢迎下载 数字信号处理数字信号处理 辅导辅导 一 离散时间信号和系统的时域分析 一 离散时间信号 1 1 基本概念 基本概念 信号 信号传递信息的函数也是独立变量的函数 这个变量可以是时间 空 间位置等 连续信号 在某个时间区间 除有限间断点外所有瞬时均有确定值 模拟信号 是连续信号的特例 时间和幅度均连续 离散信号 时间上不连续 幅度连续 常见离散信号 序列 数字信号 幅度量化 时间和幅度均不连续 2 2 基本序列 基本序列 课本第 7 10 页 1 单位脉冲序列 2 单位阶跃序列 1 0 0 0 n n n 1 0 0 0 n u n n 3 矩形序列 4 实指数序列 1 01 0 0 N nN Rn nnN n a u n 5 正弦序列 6 复指数序列 0 sin x nAn j nn x nee 3 3 周期序列 周期序列 1 定义 对于序列 若存在正整数使 x nN x nx nNn 则称为周期序列 记为 为其周期 x n x n N 注意正弦周期序列周期性的判定 课本第 10 页 2 周期序列的表示方法 a 主值区间表示法 b 模 N 表示法 3 周期延拓 设为 N 点非周期序列 以周期序列 L 对作无限次移位相加 即可得到 x n x n 周期序列 即 x n i x nx niL 当时 当时 LN N x nx n Rn LN N x nx n Rn 4 序列的分解 序列共轭对称分解定理 对于任意给定的整数 M 任何序列都可以分解成 x n 关于共轭对称的序列和共轭反对称的序列之和 即 2cM e x n o x n 精品文档 2欢迎下载 eo x nx nx nn 并且 1 2 e x nx nx Mn 1 2 o x nx nx Mn 4 4 序列的运算 序列的运算 2 线性卷积 将序列以 y 轴为中心做翻转 然后做 m 点移位 最后与对应点相 x n x n 乘求和 翻转 移位 相乘 求和 定义式 1212 m y nx m x nmx nx n 线性卷积的计算 A 图解 B 解析法 C C 不进位乘法 必须掌握 不进位乘法 必须掌握 3 3 单位复指数序列求和 必须掌握 单位复指数序列求和 必须掌握 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 1 2 sin 2 sin 2 j Nj Nj Nj Nj Nj Nj N N j n jjjjjjj n jN eeeeeeej e eeeeeeej N e 如果 那么根据洛比达法则有2 k N sin 2 0 0 sin 2 N NkNNkN 或 可以结合作业题 3 22 进行练习 5 5 序列的功率和能量 序列的功率和能量 能量 2 n Ex n 功率 2 1 lim 21 N N nN Px n N 6 6 相关函数 相关函数 与随机信号的定义运算相同 二 离散时间系统 1 1 系统性质 系统性质 1 1 线性性质 线性性质 精品文档 3欢迎下载 定义 设系统的输入分别为和 输出分别为和 即 1 x n 2 x n 1 y n 2 y n 1122 y nT x ny nT x n 统的输对于任意给定的常数 下式成立ab 1212 y nT ax nbx nay nby n 则该系统服从线性叠加原理 为线性系统 否则为非线性系统 判定系统的线性性质时 直接用定义判定系统的线性性质时 直接用定义 2 2 时不变性质 时不变性质 统的如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化 则称该 系统是时不变系统 即对任意给定的整数 i 若下式成立 y niT x ni 则称该系统为时不变系统 否则为时变系统 判定系统的时不变性质时 直接用定义判定系统的时不变性质时 直接用定义 3 3 系统的因果性 系统的因果性 定义 如果系统 n 时刻的输出序列只取决于 n 时刻及以前的输入序列 而与 n 时刻以后的输入序列无关 则称该系统具有因果性质 即系统是因果系统 否 则是非因果系统 离散时间离散时间 LTILTI 系统系统具有因果性的充要条件是 系统的单位脉冲响应满足 h n 0 0h nn 4 4 系统的稳定性 系统的稳定性 定义 对任意有界的输入 系统的输出都有界 则该系统是稳定的 否则是不 稳定的 离散时间离散时间 LTILTI 系统系统具有因果性的充要条件是 系统的单位脉冲响应满足绝 h n 对可和 即 i h i 5 5 对离散时间 对离散时间 LTILTI 系统的描述系统的描述 1 时域 差分方程 2 Z 域 系统函数 H z 2 2 信号过系统 信号过系统 y nh nx n 精品文档 4欢迎下载 用线性卷积的相关知识计算 信号系统学的基本性质可以套用 二 离散时间信号和系统的频域分析 一 离散时间信号 1 1 序列傅里叶变换 序列傅里叶变换 SequenceSequence FourierFourier TransformTransform 即本书中的离散时间信 号的傅里叶变换 1 1 定义 定义 SFTSFT jj n n X eSFT x nx n e ISFTISFT 1 2 jjj n x nISFT X eX eedn 说明 1 物理意义 序列傅里叶变换本质上是序列的一种分解 它将一般序列分解为 无穷多个数字角频率中的复指数序列 称为序列的频谱 其 j X e x n 模称为幅频特性 其幅角称为相频特性 j X e arg j X e 2 尽管序列是离散时间信号 但它的序列傅里叶变换对数字角频率而言 x n 却是连续函数 因此 序列的傅里叶变换是连续的 x n 3 2 2 jjnj n X ex n eX e 由上式可知 序列傅里叶变换是以为周期的周期函数 其原因正是 j X e 2 由于对而言以为周期 即数字角频率相差的所有单位复指数序列 j n e 2 2 等价 因此 对的所有单位复指数序列只有一个周期 对于离散时 间信号 由于的周期性 使得的整数倍都表示信号的直流分量 而02 或 的奇数倍表示信号的最高频率 3 3 离散时间信号离散时间信号 Z Z 变换与变换与 SFTSFT 的关系的关系 Z 变换是由 SFT 推广得到的 反过来 如果某序列的 Z 变换的收敛域包括 则也可以通过 ZT 求得序列的 SFT 即 j ze j j nj z e n X zx n eX e 上式表明 SFT 正是序列的 ZT 在的值 j ze 二 离散时间系统 精品文档 5欢迎下载 1 1 系统函数的收敛域与系统因果性和稳定性系统函数的收敛域与系统因果性和稳定性 当且仅当系统函数 H z 的收敛域为小于单位圆的某个圆的园外时 系统是 因果稳定的 2 2 系统函数的零极点分布与系统因果性和稳定性系统函数的零极点分布与系统因果性和稳定性 若系统是因果稳定的 则 H z 的极点必定在单位圆内 3 3 系统函数的零极点分布对系统频率响应特性的影响系统函数的零极点分布对系统频率响应特性的影响 1 对极点而言 当单位圆上的点转到某个极点附近时 在这附近 j H e 出现峰值 极点越靠近单位圆 振幅特性的峰值越大 当极点出现在单位圆上 时 振幅特性将出现无穷大 系统不稳定 2 对零点而言 当单位圆上的点转到某个零点附近时 在这附近 j H e 出现谷点 当零点出现在单位圆上时 振幅特性为零 零点可以位于单位圆外 不影响稳定性 两个概念 1 最小相位系统 系统 H z 的全部零极点都在单位圆内 某点在单位圆上逆 时针旋转一周时 系统的相位变化最小 2 最大相位系统 H z 的全部零点在单位圆外 系统的相位变化最大 说明 处于坐标原点的零极点不影响系统的幅频响应 利用零极点分析系统的幅频响应 仅对低阶系统有效 三 离散时间信号与模拟 连续 时间信号 1 1 时域关系 时域关系 设连续时间信号 离散时间信号 则 a x t x n aat nT x nx nTx t 2 2 频域关系 频域关系 1 j Tas m X eXjm T 在时域对信号抽样 其频域的特征就是频谱以采样频率为周期进行周期延拓 s 一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓 一个域的周期延拓必然导致另一个域的离散一个域的周期延拓必然导致另一个域的离散 精品文档 6欢迎下载 对应变量的关系 单位 rad单位 H z T 由于 所以 s max 2 sT 三 离散傅里叶变换 DFT 一 离散傅里叶级数变换 DFST 说明 周期序列不满足绝对可和的条件 不适用于序列傅里叶变换的定义 式 但是它可以展开成离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series DFS 利 用离散傅里叶级数可以得到周期序列的离散傅里叶变换表示式 1 1 定义定义 DFSTDFST 1 0 N nk N n X kx n Wk IDFSTIDFST 1 0 1 N nk N n x nX k Wn N 注 1 周期单位复指数序列 22 jnkjnk nknk NN NN WeWe 周期单位复指数序列对 n k 而言都是以 N 为周期的 即 n N knk NN WWn k n k Nnk NN WWn k nk Nnk NN WWn k 2 周期为 N 的周期序列可以分解成 N 个周期复指数序列的和 这些周期复 x n 指数序列的数字角频率为周 它们的幅度和相位由离散 2 0 1 2 1 k kN N 傅里叶级数决定 X k N 3 3 周期序列的离散傅里叶变换周期序列的离散傅里叶变换 22 j k X eX kk NN 可类比信号系统中周期信号的傅里叶变换 具体推导过程见课本 76 页 二 离散傅里叶变换 DFT 1 1 定义定义 精品文档 7欢迎下载 DFTDFT 1 0 01 N nk N n X kx n WkN IDFTIDFT 1 0 1 01 N nk N n x nX k WnN N 要点 要点 1 DFT 没有实际的物理含义 但是可以理解为 SFT 的等间隔采样 即 2 01 j k N X kX ekN 2 变换区间 0 N 1 有限长 N 点 3 变换结果 与序列长度 N 有关 当 N 足够大时 的包络趋近于 X k 曲线 j X e 4 频谱分析的意义 表示频点的幅度谱线 如果是模拟信号的采样 采样 X k 2 k N k x n 间隔为 T 则 k 与相应的模拟频率的关系为 2 TfT 即 对模拟频率域而言 N 点 DFT 意味着频域采样 2 2 kk kf T N k k f NT 间隔为 所以用 DFT 进行谱分析时 称为频率分辨率 而 NT 表 1 Hz NT 1 F NT 示时域采样的区间长度 即观察时间或记录长度 显然为了提高分辨 P TNT 率就必须是记录长度足够大 5 DFT 的隐含周期性 1 DFT 是 SFT 的等间隔采样 而以为周期 j X e 2 2 的周期性 kk mN NN WW 3 时域抽样 频域周期延拓 频域采样 时域周期延拓 4 4 频域采样定理频域采样定理 设序列的傅里叶变换为 在区间内对进行 N 点等间 x n j X e 0 2 j X e 隔采样 采样间隔为 得到序列 且对应的 IDFT 为 2 N X k X k N xn 则 N r xnx nrN 精品文档 8欢迎下载 这是因为 在频域内对等间隔采样 导致时域序列周期延拓 并 j X e x n 且在区间采样得到的序列的 IDFT 是原序列以 N 为周期进行周期延 0 2 X k 拓后的主值序列 若序列的长度为 M 那么只有当频域采样点数时 才NM 有 此时才能由频域采样序列恢复 N xnx n X k j X e 三 连续信号傅里叶变换 CFT 序列傅里叶变换 SFT 离散傅里叶级数变换 DFST 离散傅里叶变换 DFT 的关系 CFT 周期延拓 取主值 周期延拓 抽样 周期延拓 取主值 抽样 截短 周期延拓卷积 SFTSFTDFST DFT x n a x t x n d n N x n N x n j X e jj X eD e N Xk N Xk a Xj 2 ss T s tnT 各个变量对应关系 01 022 01 0 2 02 ss ss kNk k N Fk N ffkfN k ff N 数字角频率 数字频率 模拟频率 模拟角频率 s T 2 ssss Tf T 2 k N 编者按 为什么要有 DFT 我们从外界接收到的信号都是连续信号 但是在现代人类都用计算机对信 号进行处理 而计算机只能识别离散的值 所以需要对接收到的连续信号进行 采样截短得到离散的序列 但是 一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓 当对时域的连续信号进行采样时 其频谱必然进行周期延拓 所以序列的傅里 精品文档 9欢迎下载 叶变换是连续周期的 这样计算机就没法对其频谱进行分析 这时 对时域信 号进行周期延拓 又会使其频谱离散化 经过两个域的分别离散化和周期延拓 这时得到的就是 DFST 的对应关系 那么 分别对两个域取主值 就可得到适合 计算机处理的时域和频域序列 DFT 就应运而生 一家之言 仅供参考 四 卷积的计算 1 1 循环卷积与线性卷积 有限长序列的卷积 循环卷积与线性卷积 有限长序列的卷积 设有限长序列的长度为 N 的长度为 M 它们线性卷积结果为 x n h n l y n 长度为 循环卷积结果为 长度为 则两类卷积有如下对1 g LNM c y nL 应关系 设 NM 1 当时LN 02 11 ll c l y ny nNnM y n y nMnN 2 当时 g LL cl y ny n 3 当时 g NLL 01 1 llg c lg y ny nLnLL y n y nLLnL 2 2 重叠保留法和重叠相加法 无限长序列得卷积 重叠保留法和重叠相加法 无限长序列得卷积 1 重叠保留法 基本思路 将两个序列中长度较长或无限长的序列均匀分段 计算各个有 限长的子序列与另一短序列的线性卷积 最后将结果重叠相加起来输出 重叠重叠 的是卷积结果的是卷积结果 设有限长序列的长度为 M 为无限长序列 h n x n 计算步骤 1 1 将均匀分段 每段长度为 N x n 0 k k x nx n 1 1 0 kN x nkNnkN x nx n RnkN else 2 2 计算每段子序列与短序列的线性卷积 设 即计算与的线性卷积 kk x nx nkN k x n h n k y n 3 3 将各子序列线性卷积的结果移位后相加得总输出 令 则 kk y ny nkN 0 k k y ny n 2 重叠保留法 基本思路 将两个序列中长度较长或无限长的序列在时间上有重叠地分段 精品文档 10欢迎下载 计算各个有限长的子序列与另一短序列的线性卷积 最后保留每段结果中间 N 个点 相加输出 重叠的是较长的序列重叠的是较长的序列 设有限长序列的长度为 M 为无限长序列 h n x n 计算步骤 1 1 将有重叠地分段 每一段由 kN 向前重叠 M 1 个点 每 x n 段长度为 N M 1 1 1 1 0 k x nkNMnkN x n else 2 2 计算每段子序列与短序列的线性卷积 设 即计算与的线性卷积 1 kk x nx nkNM k x n h n 的长度为 N 2M 2 将前 M 1 个点去掉 后 M 1 个 k y n k y n 点去掉 保留中间 N 个点得 k y n 3 3 将各子序列线性卷积的结果移位后相加得总输出 即 0 k k y ny n 说明 重叠保留和相加法必须掌握 公式可以不必记忆 明白其算法思想 会 计算即可 而且计算时注意三步走 写在卷子上 否则答案正确也没分 与数 学归纳法一样 有固定格式 五 用 DFT 进行频谱分析