函数与导数专题2012版教师版B4

下载文档可编辑 东北师大附中 2009 级高三数学 理 第二轮复习导学案 专题六 导数及其应用 编写教师 高长玉 一 考纲要求 1 导数概念及其几何意义 1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 2 导数的运算 1 能根据导数定义求函数的 23 1 yC Cyx yxyxyyx x 为常数 导数 2 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导 数 3 能求简单的复合函数 仅限于形如的复合函数 的导数 f axb 3 导数在研究函数中的应用 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调 区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极 小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 4 生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5 定积分与微积分基本定理 1 了解定积分的实际背景 了解定积分的基本思想 了解定积分的概念 2 了解微积分基本定理的含义 二 命题趋势 函数是高考数学的重点内容之一 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过 程 包括解决几何问题 在近几年的高考试卷中 选择题 填空题 解答题三种题型中 每年都有函数试题 而且常考常新 以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的 主要趋势 考试热点 考查函数的表示法 定义域 值域 单调性 奇偶性 函数的图象 函 数与方程 不等式 数列是相互关联的概念 通过对实际问题的抽象分析 建立相应的 函数模型并用来解决问题 是考试的热点 考查运用函数的思想来观察问题 分析问 题和解决问题 渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想 三 典例解析 一 利用导数研究曲线的切线 一 利用导数研究曲线的切线 考情聚焦 考情聚焦 1 利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用 为近几年高考命 yf x 题的热点 2 常与函数的图象 性质及解析几何知识交汇命题 多以选择 填空题或以解答题中 关键一步的形式出现 属容易题 考向链接 考向链接 1 导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是 曲线在点 yf x 0 x fx yf x 处的切线的斜率 瞬时速度就是位移函数对时间 的导数 00 P xf x s tt 2 求曲线切线方程的步骤 1 求出函数在点的导数 即曲线在点处切线 yf x 0 xx yf x 00 P xf x 的斜率 2 在已知切点坐标和切线斜率的条件下 求得切线方程为 00 P xf x 000 yyfxxx 注 注 当曲线在点处的切线平行于轴 此时导数不存在 时 yf x 00 P xf xy 由切线定义可知 切线方程为 0 xx 当切点坐标未知时 应首先设出切点坐标 再求解 求切线问题求切线问题 例例 1 若曲线上一点 求 3 3 1 xy 3 8 2P 1 点处的切线方程 P 2 过点的切线方程 P 解 1 则当时 2 xy 2 x4 y 点处的切线方程为 即 P 24 3 8 xy016312 yx 2 设所求的切线与曲线相切于点 则切线斜率为 由直线方程点 3 3 1 xy 00 y x 2 0 x 斜式 得切线方程为 又因为所求切线过点 则有 解 0 2 0 3 0 3 xxx x y P 0 2 0 3 0 2 33 8 xx x 此三次方程 得或 从而过点的切线的斜率为 4 或 1 可求出切点为 2 0 x1 3 8 2 相应的切线方程为或 3 1 1016312 yx0233 yx 切线个数的问题 切线个数的问题 例例 2 已知函数 xxxf 3 1 求曲线在点处的切线方程 xfy tftM 2 设 如果过点可作曲线的三条切线 证明 0 a ba xfy afba 分析 本题第一问 由导数的几何意义容易求解切线方程问题 第二问难点在于由条件 过点可作曲线的三条切线 找到解题的切入点 关键是先把问题转化为方程 ba xfy 下载文档可编辑 问题来求解 解 1 求函数的导数 曲线在点处的切线 xf 13 2 xxf xfy tftM 方程为 即 txtftfy 32 213txty 2 如果有一条切线过点可作曲线的三条切线 则方程 ba xfy 有三个相异的实数根 记 则032 23 baatt 23 32attg ba 当 变化时 的变化情况如下表 attatttg 666 2 t tg t g 由的单调性 当极大值或极小值时 方程最多有一个 tg0 ba 0 afb 0 tg 实数根 当时 解方程 得 即方程只有两个相异的实数0 ba 0 tg 2 3 0 a tt 0 tg 根 当时 解方程 得 即方程只有两个相异的实 0 afb 0 tg 2 a t at 0 tg 数根 综上 如果过可作曲线三条切线 即有三个相异的实数根 则 ba xfy 0 tg 即 0 0 afb ba afba 例例 3 已知函数在 0 上是减函数 在 0 1上是增函数 函数 32 f xxaxbxc f x在R上有三个零点 求b的值 若 1 是其中一个零点 求 2f的取值范围 若 试问过点 2 5 可作多少条直线与曲线 2 1 3lnag xfxxx 相切 请说明理由 yg x 解 32 f xxaxbxc 2 32fxxaxb 在上是增函数 在 0 1 上是减函数 f x 0 当时 取到极小值 即 0 x f x 0 0 f 0b 由 知 32 f xxaxc 1 是函数的一个零点 即 f x 1 0f 1ca 的两个根分别为 2 320fxxax 12 2 0 3 a xx 在 0 1 上是增函数 且函数在 R 上有三个零点 f x f x 即 2 2 1 3 a x 3 2 a 5 2 84 1 37 2 faaa 故的取值范围是 2 f 5 2 2lng xxx 设过点 2 5 与曲线的切线的切点坐标为 g x 00 xy 000 5 2 yg xx 即 000 0 1 2ln5 2 2 xxx x 0 0 2 ln20 x x 令 2 ln2h xx x 2 12 0h x xx 2x 在 0 2 上单调递减 在上单调递增 h x 2 又 2 2 12 2ln20 2 ln2 10 0 2 hhh e e 与轴有两个交点 h xx 过点 2 5 可作 2 条曲线的切线 yg x 注 过点注 过点做曲线做曲线的切线条数的问题的切线条数的问题 通常转化为方程通常转化为方程 ba xfy 其中 其中 是切点坐标 有几个解的问题 再转化为 是切点坐标 有几个解的问题 再转化为 000 xaxfxfb 00 xfx 函数函数有几个零点的问题 进而使用导数来解决问题 有几个零点的问题 进而使用导数来解决问题 000 xaxfxfbxg 两条曲线公切线的问题 两条曲线公切线的问题 例题 4 设函数其中 为常数 已知 23 2 223 xxxgabxaxxxfaRx b 曲线与在点处有相同的切线 y xf xgy 0 2l 1 求 的值 并写出切线 的方程 abl 下载文档可编辑 2 若方程有三个互不相同的实根 其中 且对 mxxgxf 0 1 x 2 x 21 xx 任意的恒成立 求实数的取值范围 1 21 xmxgxfxxxm 解析 1 32 43 2 xxgbaxxxf 由于曲线与在点处有相同的切线 故有 xfy xgy 0 2 022 gf 122 gf 由此得解得 1812 0288 ba aba 5 2 b a 所以 切线 的方程为5 2 bal 0 2 yx 2 由 1 得 所以 254 23 xxxxf xxxxgxf23 23 依题意 方程有三个互不相同的实根 是方程 023 2 mxxx0 1 x 2 x 的两相异的实根 023 2 mxx 所以 即 0249 m 4 1 m 又对任意的恒成立 特别地 取时 1 21 xmxgxfxxx 1 xx 成立 得 mmxxgxf 111 0 m 由韦达定理 可得 故 02 03 2121 mxxxx 21 0 xx 对任意的 有 21 x xx 0 0 0 121 xxxxx 则 又 0 21 xxxxxmxxgxf 0 111 mxxgxf 所以函数在时的最大值为 0 mxxgxf 21 x xx 于是当 对任意的 恒成立 0 4 1 m 21 x xx 1 xmxgxf 综上 的取值范围是 m 0 4 1 例题 5 已知函数 axxxf 2 lng xx xgxfx 若在处取得极小值 求的极大值 x 1x x 若 是否存在与曲线和都相切的直线 若存在 判断有几条 1 a yf x yg x 并加以证明并加以证明 若不存在 说明理由说明理由 解 2 lnxf xg xxaxx 1 2 0 xxax x 又在处取得极小值 x 1x 1 210a 3a 2 3lnxxxx 2 1231 21 1 23 0 xxxx xxx xxx x 1 0 2 1 2 1 1 2 1 1 x 0 0 x 极大值 极小值 的极大值为 x 15 ln2 24 当时 1 a 2 f xxx lng xx 21fxx 1 g x x 设直线 与曲线和都相切 切点分别为 l yf x yg x 11 A x y 22 B xy 则 2 111 yxx 22 lnyx 直线 的方程为 即 l 2 1111 21 yxxxxx 2 11 21 yxxx 又 过点 且 且 l 22 B xy fxg x 2 2121 21 yxxx 1 2 1 21x x 即 2 2121 ln 21 xxxx 2 11 ln 21 1xx 2 11 ln 21 10 xx 对于方程 设 2 11 ln 21 10 xx 2 ln 21 1F xxx 则 2 22 21 2 21 1 2 212121 xxxx F xx xxx 1 2 x 当时 是减函数 当时 1 1 2 2 x 0F x F x 1 2 x 0F x 是增函数 F x min 13 ln20 24 F xF 又当且趋向于时 趋向于 1 2 x x 1 2 F x 2 4ln5 13ln50F 在区间 上各有一个根 0F x 1 1 2 2 1 2 因此与曲线和都相切的直线存在 有条 yf x yg x 2 下载文档可编辑 切线的应用问题 切线的应用问题 例例 6 6 如图 2 有一正方形钢板缺损一角 图中的阴影部分 边缘线是以直线ABCDOC 为对称轴 以线段的中点为顶点的抛物线的一部分 工人师傅要将缺损一角切割下ADADO 来 使剩余的部分成为一个直角梯形 若正方形的连长为 问 如何画切割线 可使剩cm2EF 余的直角梯形的面积最大 并求其最大值 解法 1 以为原点 直线为轴 建立如图 3 所示的直角坐标系 OADy 依题意 可设抛物线弧的方程为 OC 20 2 xaxy 由点的坐标为 得 解得 C 1 2122 a 4 1 a 故边缘线的方程为 OC 20 4 1 2 xxy 要使梯形的面积最大 则所在的直线必与抛物线弧ABEFEF 相切 设切点坐标为 OC 2 4 1 ttP 20 t 由 得直线的方程可表示为 xy 2 1 EF tx t ty 24 1 2 即 由此可求得 2 4 1 2 1 ttxy 22 4 1 0 4 1 2tFttE 22 4 1 11 4 1 ttAF 1 4 1 1 4 1 22 ttttBE 设梯形的面积为 则 ABEF tS 2 1 tS 2 5 2 5 1 2 t 当时 1 t 2 5 tS 故的最大值为 此时 tS5 275 1 75 0 BEAF 答 当 时 可使剩余的直角梯形的面积最大 其最大值为mAF75 0 mBE75 1 2 5 2 m 解法 2 以为原点 直线为轴 建立如图 4 所示的直角体系 AADy 依题意可设抛物线的方程为 201 2 xaxy 由点的坐标为 得 解得 C 2 22122 a 4 1 a 故边缘线的方程为 OC 201 4 1 2 xxy 要使梯形的面积最大 则所在的直线必与抛物线弧相切 设切点坐标为ABEFEFOC 201 4 1 2 tttP 由 得直线的方程可表示为 即 xy 2 1 EF txtty 2 1 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2 ttxy 由此可求得 1 4 1 0 1 4 1 2 22 tFttE 1 4 1 4 1 1 22 ttBEtAF 设梯形的面积为 则 ABEF tS 2 2 1 1 4 1 4 1 1 2 1 222 tttttBEAFABtS 2 5 1 2 1 2 t 当时 2 5 1 t 2 5 tS 故的最大值为 此时 tS5 2 75 1 75 0 BEAF 答 当 时 可使剩余的直角梯形的面积最大 其最大值为mAF75 0 mBE75 1 2 5 2 m 二 利用导数研究函数的单调性 二 利用导数研究函数的单调性 考情聚焦 考情聚焦 1 导数是研究函数单调性有力的工具 近几年高考中的单调性问题 几乎 均用它解决 2 常与函数的其他性质 方程 不等式等交汇命题 且函数一般为含参数的高次 分 式或指 对数式结构 多以解答题形式考查 属中难点题目 考向链接 考向链接 利用导数研究函数单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 确定函数的定义域 2 求导数 fx 3 若求单调区间 或证明单调性 只需在函数的定义域内解 或证明 不 f x 等式 0 或 0 fx fx 若已知的单调性 则转化为不等式或在单调区间上恒成 f x 0fx 0fx 立问题求解 例例 7 已知函数 其中为常数 ln 1 1 f xxxa x a 下载文档可编辑 1 若函数在上为单调增函数 求的取值范围 f x 1 a 2 求的单调区间 1 ax g xfx x 解 1 ln 1 1 x fxxa x 在上为单调递增 在上恒成立 yf x 1 ln 1 0 1 x fxxa x 1 即在上恒成立 ln 1 1 x ax x 1 令 则 ln 1 1 x h xx x 2 11 1 1 h x xx 当时 在上单调递增 1 x 0 h x h x 1 1 1 ln2 2 ah 的取值范围是a 1 ln2 2 2 则 1 ln 1 1 1 a x g xxax x 2 2 1 xa g x x 当时 是减函数 1a 1 2 0 xag xg x 是增函数 2 xa 0g x g x 当时 是增函数1a 1 0 xg xg x 综上所述 当时 增区间为减区间为 1a 2 a 1 2 a 当时 增区间为1a 1 例例 8 已知函数 2 ln 1 0 2 k f xxxxk 当时 求曲线在点处的切线方程 2k yf x 1 1 f 求的单调区间 f x 解 当2k 时 2 ln 1 f xxxx 1 12 1 fxx x 由于 1 ln2f 3 1 2 f 所以曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程为 3 ln2 1 2 yx 即 322ln230 xy 1 1 1 11 x kxk fxkx xx 1 x 当0k 时 1 x fx x 所以 在区间 1 0 上 0fx 在区间 0 上 0fx 故 f x的单调递增区间是 1 0 单调递减区间是 0 当01k 时 由 1 0 1 k kx x k fx x 得 1 0 x 2 1 0 k x k 所以 在区间 1 0 和 1 k k 上 0fx 在区间 1 0 k k 上 0fx 故 f x的单调递增区间是 1 0 和 1 k k 单调递减区间是 1 0 k k 当1k 时 2 1 x fx x 故 f x的单调递增区间是 1 当1k 时 1 0 1 k kx x k fx x 得 1 1 1 0 k x k 2 0 x 所以在区间 1 1 k k 和 0 上 0fx 在区间 1 0 k k 上 0fx 故 f x得单调递增区间是 1 1 k k 和 0 单调递减区间是 1 0 k k 例例 9 已知函数 为函数的导函数 32 11 0 32 f xxaxxb a fx f x 设函数的图象与 x 轴交点为 A 曲线在 A 点处的切线方程是 f x yf x 下载文档可编辑 求的值 33yx a b 若函数 求函数的单调区间 ax g xefx g x 解 32 11 0 32 f xxaxxb a 2 1fxxax 在处切线方程为 f x 1 0 33yx 1 3 1 0 f f 1 a 6 11 b ax fx g x e 2 1 ax xax e xR g x 2 2 2 1 axax ax xa ea xaxe e 2 2 ax x axae 当时 0a 2g xx x 0 0 0 g x 0 g x减函数极小值增函数 的单调递增区间为 单调递减区间为 g x 0 0 当时 令 得或 0a 0g x 0 x 2 xa a 当 即时 2 0a a 02a x 0 0 2 2 0 a a 2 2a a 2 2 a a g x 0 0 g x减函数极小值增函数极大值减函数 的单调递增区间为 单调递减区间为 g x 2 2 0 a a 0 2 2 a a 当 即时 2 0a a 2a g x 22 20 x x e 故在单调递减 g x 当 即时 2 0a a 2a x 2 a a 2 a a 2 0 a a 0 0 g x 0 0 g x减函数极小值增函数极大值减函数 在上单调递增 在 上单调递减 g x 2 2 0 a a 0 2 2 a a 综上所述 当时 的单调递增区间为 单调递减区间为 0a g x 0 0 当时 的单调递增区间为 单调递减区间为 02a g x 2 2 0 a a 0 当时 的单调递减区间为 2a g x 当时 的单调递增区间为 单调递减区间为 2a g x 2 2 0 a a 0 2 2 a a 例例 10 已知 函数 0 a x eaxxxf 2 2 1 当为何值时 取得最小值 证明你的结论 x xf 2 设 在上是单调函数 求的取值范围 xf 1 1 a 解 2 11xaa 3 4 a 例例 11 已知函数 32 1 2 f xxa xa axb 若函数 f x在区间 a bR 上不单调 求a的取值范围 1 1 解 函数 xf在区间 1 1 不单调 等价于在区间 1 1 上有实数解 且无 0f x 重根 又 由 得 2 32 1 2 f xxa xa a 0fx 3 2 21 a xax 从而 或 解得 或 3 2 11 a a a 3 2 1 3 2 1 a a a 2 1 11 a a 2 1 15 a a 下载文档可编辑 所以的取值范围是 a 11 5 1 22 三 利用导数研究函数的极值与最值 三 利用导数研究函数的极值与最值 考情聚焦 考情聚焦 1 导数是研究函数极值与最值问题的重要工具 几乎是近几年高考中极值 与最值问题求解的必用方法 2 常与函数的其他性质 方程 不等式等交汇命题 且函数一般为含参数的高次 分 式 或指 对数式结构 多以解答题形式出现 属中高档题 考向链接 考向链接 1 利用导数研究函数的极值的一般步骤 1 确定定义域 2 求导数 3 若求极值 则先求方程的根 fx 0fx 再检验在方程根左右值的符号 求出极值 当根中有参数时要注意分类讨论 fx 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程的根的大小或存在情况 0fx 从而求解 2 求函数的极值与端点处的函数值比较 其中最大的一个是最大 yf x f af b 值 最小的一个是最小值 例例 12 设函数 lnln 2 0 f xxxaxa 当时 求的单调区间 1a f x 若在上的最大值为 求的值 f x 0 1 1 2 a 解 函数的定义域为 f x 0 2 11 2 fxa xx 当时 1a 2 2 2 x fx xx 所以的单调递增区间为 单调递减区间为 f x 0 2 2 2 当时 0 1 x 22 0 2 x fxa xx 即在上单调递增 故在的最大值为 因此 f x 0 1 f x 0 1 1 fa 1 2 a 例例 13 已知函数 2 ln1 x f xaxxaa 求证函数 f x在 0 上单调递增 对 恒成立 求a的取值范围 12 1 1 x x 12 1f xf xe 解 ln2ln2 1 ln xx fxaaxaxaa 由于1a 故当 0 x 时 ln010 x aa 所以 0fx 故函数 f x在 0 上单调递增 由 ln2ln2 1 ln xx fxaaxaxaa 可知 f x在区间 1 0 上单调 递减 在区间 0 1 上单调递增 所以 minmax 0 1 max 1 1 fxffxff 1 1 1 ln 1 1 lnfa faa a 1 1 1 2lnffaa a 记则 仅在1x 时取到等号 1 2lng xxx x 2 2 121 1 1 0g x xxx 所以 1 2lng xxx x 递增 故 1 1 1 2ln0ffaa a 所以 1 1 ff 于是 max 1 1 ln ffaa 故对 1212max 1 1 1 0 ln x xf xf xffaa ln1aae 所以1ae 四 利用导数研究函数的图象 四 利用导数研究函数的图象 考情聚焦 考情聚焦 1 该考向由于能很好地综合考查函数的单调性 极值 最值 零点及数形 结合思想等重要考点 而成为近几年高考命题专家的新宠 2 常与函数的其他性质 方程 不等式 解析几何知识交汇命题 且函数一般为含参 数的高次 分式 指 对数式结构 多以解答题中压轴部分出现 属于较难题 考向链接 利用导数研究函数的零点的一般步骤是 考向链接 利用导数研究函数的零点的一般步骤是 1 指出函数的定义域 指出函数的定义域 2 求函数的单调区间 求函数的单调区间 3 验证在每一个单调区间是否存在两 验证在每一个单调区间是否存在两 点函数值异号 点函数值异号 4 结论结论 例例 14 已知函数 2 ln20 f xaxa x 下载文档可编辑 若曲线在点处的切线与直线垂直 求函数的 yf x 1 1 Pf2yx yf x 单调区间 若对于都有成立 试求的取值范围 0 x 2 1 f xa a 记 当时 函数在区间上有两个零点 g xf xxbb R 1a g x 1 ee 求实数的取值范围 b 解 I 直线的斜率为 1 2yx 函数的定义域为 f x 0 因为 所以 所以 2 2 a fx xx 2 2 1 1 11 a f 1a 所以 2 ln2f xx x 2 2 x fx x 由解得 由解得 0fx 2x 0fx 02x 所以的单调增区间是 单调减区间是 f x 2 0 2 II 22 22 aax fx xxx 由解得 由解得 0fx 2 x a 0fx 2 0 x a 所以在区间上单调递增 在区间上单调递减 f x 2 a 2 0 a 所以当时 函数取得最小值 2 x a f x min 2 yf a 因为对于都有成立 0 x 2 1 f xa 所以即可 2 2 1 fa a 则 由 解得 22 ln22 1 2 aa a a 2 lnaa a 2 0a e 所以的取值范围是 a 2 0 e III 依题得 则 2 ln2g xxxb x 2 2 2 xx g x x 由解得 由解得 0g x 1x 0g x 01x 所以函数在区间为减函数 在区间为增函数 g x 0 1 1 又因为函数在区间上有两个零点 所以 g x 1 ee 1 0 0 1 0 g e g e g 解得 2 11be e 所以的取值范围是 b 2 1 1 e e 五 利用导数求参数的取值范围 五 利用导数求参数的取值范围 考情聚焦 考情聚焦 1 该考向由于能很好地综合考查函数的单调性 极值 最值 零点及数形 结合思想等重要考点 而成为近几年高考命题专家的新宠 2 常与函数的其他性质 方程 不等式 解析几何知识交汇命题 且函数一般为含参 数的高次 分式 指 对数式结构 多以解答题中压轴部分出现 属于较难题 考向链接 考向链接 1 转换主元转换主元 首先确定题目中的主元 化归成初等函数求解 此方法常适用于化为一次函数 对于一次函数有 nmxbkxxf 0 0 0 0 0 0 nf mf xf nf mf xf恒成立恒成立 2 化归二次函数法化归二次函数法 根据题目要求 构造二次函数 结合二次函数实根分布等相关知识 求出参数取值范 围 对于一元二次函数有 0 0 2 Rxacbxaxxf 1 上恒成立 Rxxf 在0 00 且a 2 上恒成立Rxxf 在0 00 且a 3 分离参数法分离参数法 在题目中较容易分离出参数 化成 型成立问题 af x af x 1 对任意 都有成立 Ix f xa min f xxIa 2 对任意 都有成立 Ix f xa max af xxI 3 存在 使得成立有解 Ix f xa axf max Ixaxf 4 存在 使得成立有解Ix f xa axf min af xxI 4 利用集合与集合的包含关系处理利用集合与集合的包含关系处理 例例 15 设函数其中为实数 不等式 32 3 1 1 32 a f xxxax a 下载文档可编辑 对任意都成立 求实数的取值范围 2 1fxxxa 0 a x 分析 注意题目条件给出信息 分析 注意题目条件给出信息 对任意都成立 确定主元为确定主元为 构造出关于 构造出关于 0 a a 的一次函数的一次函数a 解 解 由题设知 对任意都成立 22 3 1 1axxaxxa 0 a 即对任意都成立 22 2 20a xxx 0 a 设 则对任意 为单调递增函数 22 2 2 g aa xxx aR xR g a aR 所以对任意 恒成立的充分必要条件是 0 a 0g a 0 0g 即 于是的取值范围是 2 20 xx 20 x x 20 xx 例 16 已知函数 x f xeex 求函数 f x 的单调区间 若对所有都有 求 a 的取值范围 0 x1 axxf 解 由已知得 令 令 ee x xf10 xxf得10 xxf得 因此 函数 f x 的单调增区间是 单调减区间是 1 1 令 则 1 e e1 xaaxxfxg x x g xeea 0 0 g 当 即时 g x 在是减函数 因此0ea e a 0 x g xeea 0 当时 都有 即 0 x0 0 gxg axx f axxf1 01 当时 令 令 因此函数ae 0ln g xxea 得 0ln g xxea 得 上是减函数 在上是增函数 ln g x ea 在 ln ea 由于对所有都有 即成立 因此 0 x1 axxf0 0 gxgln 0ea 所以 1ea 1 ae ae 又1eae 综上所述 a 的取值范围是 1 e 例 17 已知函数 2ln p f xpxx x I 若函数 f x在其定义域内为增函数 求正实数p的取值范围 II 设函数 2 1 e g xe x 若在上至少存在一点 0 x 使得 00 f xg x 成立 求实 数p的取值范围 解 I 由题知 2 22 22 ppxxp fxp xxx 令 2 2h xpxxp 要使 f x在定义域内是增函数 0 只需 0h x 在内恒成立 0 由题意 2 0 2ph xpxxp 的图象为开口向上的抛物线 对称轴方程为 1 0 x p min 1 h xp p 只需 即时 1 0p p 1p 0 0h xfx 在内为增函数 所以正实数p的取值范围是 f x 0 1 II 2 1 e g xe x 在上是减函数 xe 时 时 min 2g x 1x max 2g xe 当0p 时 2 2h xpxxp 其图象对称轴 1 x p 在轴的左侧 且 0 0h 所以 1 f xxe 在内单调递减 y 当0p 时 在 1 f xxe 在内单调递减 2lnf xx 故当0p 时 1 f xxe 在上单调递减 不合题意 max 1 02f xf 当01p 时 由得 1 xe 1 0 x x 所以 11 2ln2ln f xp xxxx xx 又由 I 知当1p 时 1 f xxe 在上是增函数 不合题意 11 2ln2ln2xxee xe 当1p 时 由 I 知 1 f xxe 在上是增函数 且 1 02f 故只需故只需 而 maxmin 1 2ln 2f xf ep ee g x e maxmin f xg x 即 1 2ln2 P ee e 解得 2 4 1 e p e 所以实数p的取值范围是 2 4 1 e e 例 18 已知函数 2 47 2 x f x x 01x 求的单调区间和值域 f x 设 函数 若对于任意 总存在1a 32 3201g xxa xax 1 01x 下载文档可编辑 使得成立 求的取值范围 0 01x 01 g xf x a 解 对函数求导 得 f x 2 2 4167 2 xx fx x 2 2127 2 xx x 令解得 或 0fx 1 1 2 x 2 7 2 x 所以 当时 是减函数 当时 是增函数 1 0 2 x f x 1 1 2 x f x 当时 的值域为 01x f x 43 对函数求导 得 g x 22 3gxxa 因此 当时 1a 01x 2 3 10gxa 因此当时 为减函数 从而当时有 01x g x 01x 10g xgg 又 即当时有 2 11 23gaa 02ga 1x 0 2 1232g xaaa 任给 存在使得 则 1 1x 0 1 43f x 0 01x 01 g xf x 2 123243aaa 即 2 1 2341 232 aa a 解式得 或 解式得 又 故 的取值范围为1 1a 5 3 a 2 3 2 a 1a a 3 1 2 a 六 利用导数证明不等式 六 利用导数证明不等式 考情聚焦 考情聚焦 该考向是考察学生证明不等式的能力 处理函数方程和不等式的关系 考查 学生知识迁移和转化的能力及学生的数学应用意识和创新能力 例 19 已知函数 设 lng xxx ba 0 证明 2ln 2 2 0ab ba gbgag 证明 对求导 则 lng xxx ln1g xx 在中以b为主变元构造函数 2 2 ba gbgag 设 则 2 2 ax F xg ag xg lnln 22 axax F xg xgx 当时 因此在内为减函数 ax 0 0F x xF 0 a 当时 因此在上为增函数 ax 0F x xF a 从而当时 有极小值 ax xF aF 因为 所以 即 0F a ba 0 bF 2 0 2 ab g ag bg 又设 则 ln2G xF xxa lnlnln2lnln 2 ax G xxxax 当时 因此在上为减函数 0 x 0G x xG 0 因为 所以 即 0G a ba 0 bG2ln 2 2 ab ba gbgag 综上结论得证 例 20 已知 函数 的图像连续不断 0a 2 ln 0 f xxaxx f x 求的单调区间 f x 当时 证明 存在 使 1 8 a 0 2 x 0 3 2 f xf 若存在均属于区间的 且 使 证明 1 3 1 ff ln3ln2ln2 53 a I 解 2 11 2 2 0 2 ax fxaxx x 令 2 0 2 a fx a 解得x 所以 的单调递增区间是的单调递减区间是 f x 2 0 2 a f x a 2 2 a a II 证明 当 2 11 ln 88 af xxx 时 由 I 知在 0 2 内单调递增 f x 在内单调递减 2 令 3 2 g xf xf 由于在 0 2 内单调递增 f x 下载文档可编辑 故 3 2 2 ff 即g 2 0 取 2 341 9 2 0 232 e xeg x 则 所以存在 00 2 0 xxg x 使 即存在 00 3 2 2 xf xf 使 说明 的取法不唯一 只要满足即可 x 2 0 xg x 且 III 证明 由及 I 的结论知 ff 2 2 a a 从而上的最小值为 f x 在 f a 又由 知1 1 3 123 故 2 1 ln24 2 3 ln24ln39 fffaa fffaa 即 从而 ln3ln2ln2 53 a 例 21 设函数定义在上 导函数 f x 0 1 0f 1 fxg xf xfx x 求的单调区间和最小值 g x 讨论与的大小关系 g x 1 g x 是否存在 使得对任意成立 若存在 求出的0 0 x x xgxg 1 0 0 x 0 x 取值范围 若不存在 请说明理由 解 由题设易知 lnf xx 1 lng xx x 令得 2 1 x g x x 0g x 1x 当时 故 0 1 是的单调减区间 0 1 x 0g x g x 当时 故是的单调增区间 1 x 0g x 1 g x 因此 是的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为1x g x 1 1g 1 lngxx x 设 则 11 2lnh xg xgxx xx 2 2 1 x h x x 当时 即 1x 1 0h 1 g xg x 当时 0 1 1 x 0h x 1 0h 因此 在内单调递减 h x 0 当时 即 01x 1 0h xh 1 g xg x 当时 即 1x 1 0h xh 1 g xg x 满足条件的不存在 0 x 证明如下 证法一 假设存在 使 对任意 成立 0 0 x 0 1 g xg x x 0 x 即对任意 有 0 x x xxgx 2 ln ln 0 但对上述 取时 有 这与 左边不等式矛盾 0 x 0 1 g x xe 10 Inxg x 因此 不存在 使 对任意成立 0 0 x 0 1 g xg x x 0 x 证法二 假设存在 使 对任意的成立 0 0 x 0 1 g xg x x 0 x 由 知 的最小值为 0 g x e 1g x 下载文档可编辑 又 而时 的值域为 1 g xInx x Inx 1x Inx 0 时 的值域为 1x g x 1 从而可取一个 使 1 1x 10 1g xg x 即 故 与假设矛盾 1 g x 0 g x1 10 1g xg x 1 1 x 例 22 已知函数在上有极值 1 ln x a xy 1 0 e 1 求的取值范围 a 2 设 求证 1 1 0 21 xx2 1 12 e exfxf 解 1 2 2 2 1 1 2 1 1 x xax x a x y 要使函数在上有极值 则要求 1 ln x a xy 1 0 e 在有零点 即方程1 2 2 xaxxg 1 0 e 在有解 而在上的值域为 x x a 1 2 2 1 0 ex x u 1 2 1 0 ee eu 1 所以的取值范围为a2 1 e ea 设为的两个零点 1 2 2 xaxxg 则 所以不妨设1 2 ae e 1 0 故有函数在为增函数 在上为减函数 1 ln x a xxf 0 所以在有最大值 同理在有最小值 xf 1 0 f xf 1 f 故 12 ffxfxf 1 ln 1 ln aa 由消去及得1 2 a a h 1 ln2 e h0 1 1 2 2 所以 e eehh 1 2 min 例 23 设函数在两个极值点 且 32 33f xxbxcx 12 xx 12 10 1 2 xx I 求满足的约束条件 在下面的坐标平面内 画出满足这些条件的点的区域 bc b c II 证明 2 1 10 2 f x 分析 I 这一问主要考查了二次函数根的 分布及线性规划作可行域的能力 大部分考生有思路并能够得分 由题意知方程 2 363fxxbxc 有两个根 0fx 12 xx 则有 1 10 x 且 2 1 2 x 10f 故有 00 f 1020ff 右图中阴影部分即是 满足这些条件的点 的区域 b c II 这一问考生不易得分 有一定的区分度 主要原因是含字母较多 不易找到突破口 此 题主要利用消元的手段 消去目标中的 如果消会较繁琐 32 2222 33f xxbxcx b c 再利用的范围 并借助 I 中的约束条件得进而求解 有较强的技巧性 2 x 2 0 c 解 由题意有 2 222 3630fxxbxc 下载文档可编辑 又 32 2222 33f xxbxcx 消去可得 b 3 222 13 22 c f xxx 又 且 2 1 2 x 2 0 c 2 1 10 2 f x 例 24 利用已知不等式证明不等式 1 1ln 1 xxx x x 1 利用 已知 求证 1 1ln xxx ln xxf ba 0 22 2 ba aba bfaf b ab b ba b ba b a bfaf 1ln ln 只需证明即可 0 2 22 ba aba b ab 2 证明不等式 1 2 12 1 ln 3 3ln 2 2ln 2 2 2 2 2 2 n nn n n 由得即 1 1ln xxx 0 1ln xxx xx x1 1 ln 令再适当的放缩即可 2 nx 3 相关的不等式使用 证明 1 1 ln x x xx nn n1 1 ln 4 3ln 3 2ln 1 Nnn 令即可 nx 已知函数 f x x ax a 1 1 讨论函数的单调性 2 1 2 ln x1a f x 2 证明 若 则对任意 x x xx 有 5a 12 0 1 2 12 12 1 f xf x xx 解 1 的定义域为 f x 0 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx i 若即 则故在单调增加 11a 2a 2 1 x fx x f x 0 ii 若 而 故 则当时 1 1a 1a 12a 1 1 xa 0fx 当及时 故在单调减少 在 0 1 xa 1 x 0fx f x 1 1 a 单调增加 0 1 1 a iii 若 即 同理可得在单调减少 在单调增加 11a 2a f x 1 1 a 0 1 1 a II 考虑函数 g xf xx 2 1 1 ln 2