高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5.ppt

2 5等比数列的前n项和 1 2 1 等比数列的前n项和公式数列 an 是公比为q的等比数列 则当q 1时 sn na1 练一练1等比数列 an 的公比q 2 首项a1 2 则sn等于 a n2 nb n2 nc 2n 1 2d 2n 1答案 c 1 2 名师点拨1 推导等比数列前n项和的方法为错位相减法 2 在运用等比数列的前n项和公式时 一定要注意对公比q的讨论 q 1或q 1 3 当q 1时 若已知a1及q 则用公式较好 若已知an 则用公式较好 1 2 2 等比数列前n项和性质 1 在等比数列 an 中公比q 1时 连续相同项数和也成等比数列 即sk s2k sk s3k s2k 仍成等比数列 2 当n为偶数时 偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比 即 3 若一个非常数列 an 的前n项和sn aqn a a 0 q 0 n n 则数列 an 为等比数列 即sn aqn a 数列 an 为等比数列 练一练2已知数列 an 是等比数列 其前n项和为sn 若s2 2 s4 6 则s6 解析 由题意知s2 s4 s2 s6 s4成等比数列 又s2 2 s4 s2 4 s6 s4 8 s6 8 s4 14 答案 14 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一等比数列前n项和的基本计算在等比数列 an 的五个量a1 q an n sn中 a1与q是最基本的元素 已知其中三个 求其余两个时 可利用通项公式与求和公式 列出方程组求解 即 知三求二 在解方程组时 要注意整体思想的运用 如qn 都可看作一个整体 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题1在等比数列 an 中 其前n项和为sn 1 s2 30 s3 155 求sn 2 若sn 189 a1 3 an 96 求q和n 思路分析 可利用等比数列的求和公式列方程 组 求解 探究一 探究二 探究三 探究四 2 等比数列 an 中 a1 3 an 96 sn 189 189 q 2 an a1qn 1 96 3 2n 1 n 5 1 6 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练1 设数列 an 是等比数列 sn是其前n项和 1 若a1 a3 10 a4 a6 求a4和s5 2 若q 2 s4 1 求s8 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二等比数列前n项和的性质的应用等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式 前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的 因而利用有关性质可以简化计算 但通项公式 前n项和公式仍是解答等比数列问题的最基本方法 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题2 1 在等比数列 an 中 已知sn 48 s2n 60 求s3n 2 一个等比数列的首项为1 项数是偶数 其奇数项的和为85 偶数项和为170 求出数列的公比和项数 思路分析 用求和公式直接求解或用性质求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 方法二 an 为等比数列 sn s2n sn s3n s2n也成等比数列 s2n sn 2 sn s3n s2n 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 方法二 由等比数列前n项和的性质知s偶 qs奇 又s偶 170 s奇 85 q 2 又sn 170 85 255 a1 1 255 即2n 256 n 8 数列的公比为2 项数为8 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练2 等比数列 an 共有2n项 它的全部各项的和是奇数项的和的3倍 则公比q 解析 设 an 的公比为q 由已知可得q 1 则奇数项也构成等比数列 其公比为q2 首项为a1 答案 2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三等差 等比数列的综合应用1 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点 特别是等差 等比数列的通项公式 前n项和公式以及等差中项 等比中项问题是历年命题的热点 2 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值 同时对两种数列的性质 要熟悉它们的推导过程 利用好性质 可降低题目的难度 解题时有时还需利用条件联立方程组求解 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题3已知sn是无穷等比数列 an 的前n项和 且公比q 1 已知1是的等差中项 6是2s2和3s3的等比中项 1 求s2和s3 2 求此数列 an 的前n项和公式 3 求数列 sn 的前n项和 思路分析 先利用等差中项与等比中项求出s2与s3 进而求出a1与公比q 再写出sn 根据sn的特点求 sn 的前n项和 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四易错辨析易错点未讨论q是否为1致错典型例题4已知等比数列 an 中 其前n项和为sn a1 2 s3 6 求a3和q 错解 由等比数列的前n项和公式 解得q 2 故a3 a1q2 2 2 2 8 错因分析 在上面的求解过程中 没有讨论公比q是否为1 就直接使用了等比数列的前n项和公式 从而出现漏解情况 探究一 探究二 探究三 探究四 正解 若q 1 则s3 3a1 6 符合题意 此时 q 1 a3 a1 2 若q 1 则由等比数列的前n项和公式 解得q 1 舍去 或q 2 此时 a3 a1q2 2 2 2 8 综上所述 a3 2 q 1或a3 8 q 2 12345 1 已知等比数列的公比为2 且前5项和为1 那么前10项的和等于 a 31b 33c 35d 37答案 b 12345 2 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s3 a2 10a1 a5 9 则a1 解析 设公比为q s3 a2 10a1 a5 9 答案 c 12345 3 等比数列 an 的前5项和s5 10 前10项和s10 50 则它的前15项和s15 解析 s5 10 s10 50 且 an 是等比数列 s5 10 s10 s5 40 s15 s10 160 s15 10 40 160 210 答案 210 12345 4 已知等比数列 an 的前