高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1.1 综合法课件 新人教A版选修12.ppt

第1课时综合法 1 了解直接证明的一种基本方法 综合法 2 理解综合法的思考过程 特点 会用综合法证明数学问题 做一做1 综合法是 a 执果索因的逆推证法b 由因导果的顺推证法c 因果分别互推的两头凑法d 原命题的证明方法 解析 由综合法的概念知 综合法是一种由因导果的推理方法 故选b 答案 b 做一做2 命题 函数f x x xlnx在区间 0 1 内是增函数 的证明过程 对函数f x x xlnx求导 得f x lnx 当x 0 1 时 f x lnx 0 故函数f x 在区间 0 1 内是增函数 应用了的证明方法 解析 本命题的证明利用题设条件和导数与函数单调性的关系 经推理论证得到了结论 所以应用的是综合法的证明方法 答案 综合法 怎样认识综合法及其思维特点 剖析 1 一般地 综合法是利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 2 综合法的思维特点是从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理实际上是寻找它的必要条件 3 综合法是从原因推导结果的思维方法 因此综合法又叫做顺推证法或由因导果法 4 应用综合法时 应从命题的前提出发 在选定了真实性是无可争辩的出发点以后 它基于题设或已知的真命题 再依次由它得出一系列的命题 判断 其中每一个命题都是真实的 但它们不一定都是所需求的 且最后一个命题必须包含要证明的命题的结论 5 用p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示所要证明的结论 则综合法可表示如下 p q1 q1 q2 q2 q3 qn q 题型一 题型二 题型三 题型四 利用综合法证明数列 例1 设数列 an 的前n项和为sn 且 3 m sn 2man m 3 n n 其中m为常数 且m 3 1 求证 an 是等比数列 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思用综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下相关知识 1 数列的概念 特别是等差数列 等比数列的定义 2 等差数列与等比数列的基本性质以及数列前n项和的性质 3 数列的通项公式an与数列的前n项和sn之间的关系 4 递推公式与通项公式的关系 题型一 题型二 题型三 题型四 所以数列 bn 是等差数列 其中b1 1 公差为1 2 解由 1 得bn n an n 2n 1 所以sn 1 20 2 21 n 1 2n 2 n 2n 1 所以2sn 1 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n 两式相减 得sn n 2n 1 20 1 21 1 2n 1 n 2n 2n 1 2n n 1 1 题型一 题型二 题型三 题型四 利用综合法证明不等式 分析 解答本题时可先构建基本不等式模型 再利用基本不等式进行证明 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思用综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式 其中常用的有如下几个 1 a2 0 a r 2 a b 2 0 a b r 其变形有 4 a2 b2 c2 ab bc ca a b c r 由基本不等式a2 b2 2ab 易得a2 b2 c2 ab bc ca 而此结论是一个很重要的不等式 许多不等式的证明都可以用该结论 5 a b c a2 b2 c2 ab bc ca这三个式子之间的关系由 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 给出 在这三个式子中 知道两个式子 第三个式子就可以由该等式用另两个式子表示出来 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 利用综合法证明立体几何问题 例3 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 证明 cd ae 2 证明 pd 平面abe 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 解答本题时可先明确线线 线面垂直的判定定理及其性质定理 再用定理进行证明 证明 1 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd ac cd pa ac a cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 题型一 题型二 题型三 题型四 2 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中点 ae pc 由 1 知 ae cd 又pc cd c ae 平面pcd 而pd 平面pcd ae pd pa 底面abcd pa ab 又ab ad ad pa a ab 平面pad ab pd 又ab ae a pd 平面abe 题型一 题型二 题型三 题型四 反思立体几何中线面之间垂直关系的证明是高考考查的重点 利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线 线面以及面面之间垂直关系的转化 另外 利用一些常见的结论还可以将线面间的垂直与平行进行转化 比如 两条平行线中的一条垂直于平面 则另外一条也垂直于平面 垂直于同一条直线的两个平面互相平行等 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 如图 三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直 pd pc 4 ab 6 bc 3 1 证明 bc 平面pda 2 证明 bc pd 3 求点c到平面pda的距离 1 证明因为四边形abcd是长方形 所以bc ad 因为bc 平面pda ad 平面pda 所以bc 平面pda 题型一 题型二 题型三 题型四 2 证明因为四边形abcd是长方形 所以bc cd 因为平面pdc 平面abcd 平面pdc 平面abcd cd bc 平面abcd 所以bc 平面pdc 因为pd 平面pdc 所以bc pd 题型一 题型二 题型三 题型四 3 解取cd的中点e 连接ae和pe 因为pd pc 所以pe cd 因为平面pdc 平面abcd 平面pdc 平面abcd cd pe 平面pdc 所以pe 平面abcd 由 2 知bc 平面pdc 由 1 知bc ad 所以ad 平面pdc 因为pd 平面pdc 所以ad pd 设点c到平面pda的距离为h 因为v三棱锥c pda v三棱锥p