二元一次方程组竞赛经典题集(修改)

精品文档 1欢迎下载 二元一次方程组竞赛题集二元一次方程组竞赛题集 点拨点拨 含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同 但注意求解时需要讨论字母系数 的取值情况 对于 x y 的方程组中 a1 b1 c1 a2 b2 c2均为已知数 且 a1与 b1 a2与 b2都至 少有一个不等于零 则 时 原方程组有惟一解 时 原方程组有无穷多组解 时 原方程组无解 例 1 k b 为何值时 方程组 1 有惟一一组解 2 无解 3 有无穷多组解 2 13 xky bkxy 2 已知关于 x y 的方程组当 a b 满足什么条件时 方程组有唯一解 无解 有无数解 byx yxa5 1 3 已知方程组有无穷多个解 试求 a b 的值 bayx yx 9 1243 4 已知关于 的二元一次方程 a 1 x a 2 y a 0 当 a 每取一个值时 都可得到一个方程 而 这些方程有一个公共解 求这个公共解 并证明对于任何 a 值 它都能使方程成立 5 若方程组的解是 求方程组的解 222 111 cybxa cybxa 15 14 y x 222 111 957 957 cybxa cybxa 6 已知 m 是整数 方程组有整数解 求 m 的值 266 634 myx yx 7 已知 xyz 0 且 求的值 072 0634 zyx zyx 222 222 75 632 zyx zyx 精品文档 2欢迎下载 8 若 a c d 是整数 b 是正整数 且满足 a b c b c d c d a 那么 a b c d 的最大值是 A 1 B 5 C 0 D 1 拓展提高 拓展提高 1 已知方程组的解 x y 满足方程 5x y 3 求 k 的值 2 2 解方程组 3 某种商品价格为每件 元 某人身边只带有 元和 元两种面值的人民币各若干张 买了一件这种商品 若无 需找零钱 则付款方式有哪几种 指付出 元和 元钱的张数 哪种付款方式付出的张数最少 4 4 某中学新建了一栋 4 层的教学大楼 每层楼有 8 间教室 这栋大楼共有 4 道门 其中两道正门大小相同 两道侧 门大小也相同 安全检查中 对 4 道门进行了训练 当同时开启一道正门和两道侧门时 2 分钟内可以通过 560 名学 生 当同时开启一道正门和一道侧门时 4 分钟可以通过 800 名学生 1 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生 2 检查中发现 紧急情况时因学生拥挤 出门的效率将降低 20 安全检查规定 在紧急情况下全大楼的学生 应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离 假设这栋教学大楼每间教室最多有 45 名学生 问 建造的这 4 道门是否符合安 全规定 请说明理由 5 5 某水果批发市场香蕉的价格如右表 张强两次共购买香蕉 50 千克 第二次多于第一次 共付款 264 元 请问张强第一次 第二次分别购买香蕉多少 千克 6 6 用如图 中的长方形和正方形纸板做侧面和底面 做成如图 的竖式和横式两种无盖纸盒 现在仓库里有 张正方形纸板和 000 张长方形纸板 问两种纸盒各做多少个 恰好将库存的纸板用完 精品文档 3欢迎下载 二元一次方程组竞赛题集 答案二元一次方程组竞赛题集 答案 解析 解析 例例 1 1 已知方程组的解 x y 满足方程 5x y 3 求 k 的值 思考与分析 本题有三种解法 前两种为一般解法 后一种为巧解法 由已知方程组消去 k 得 x 与 y 的关系式 再与 5x y 3 联立组成方程组求出 x y 的值 最后将 x y 的 值代入方程组中任一方程即可求出 k 的值 把 k 当做已知数 解方程组 再根据 5x y 3 建立关于 k 的方程 便可求出 k 的值 将方程组中的两个方程相加 得 5x y 2k 11 又知 5x y 3 所以整体代入即可求出 k 的值 把代入 得 解得 k 4 解法二 3 得 17y k 22 解法三 得 5x y 2k 11 又由 5x y 3 得 2k 11 3 解得 k 4 精品文档 4欢迎下载 小结 解题时我们要以一般解法为主 特殊方法虽然巧妙 但是不容易想到 有思考巧妙解法的时间 可能 这道题我们已经用一般解法解了一半了 当然 巧妙解法很容易想到的话 那就应该用巧妙解法了 例例 2 2 某种商品价格为每件 元 某人身边只带有 元和 元两种面值的人民币各若干张 买了一件这种 商品 若无需找零钱 则付款方式有哪几种 指付出 元和 元钱的张数 哪种付款方式付出的张数最少 思考与分析 本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解 我们先找出问题中的数量关系 再找 出最主要的数量关系 构建等式 然后找出已知量和未知量设元 列方程组求解 最后 比较各个解对应的 x y 的值 即可知道哪种付款方式付出的张数最少 解 设付出 元钱的张数为 x 付出 元钱的张数为 y 则 x y 的取值均为自然数 依题意可得方程 2x 5y 33 因为 5y 个位上的数只可能是 或 所以 2x 个位上数应为 或 又因为 x 是偶数 所以 x 个位上的数是 从而此方程的解为 由得 x y 12 由得 x y 15 所以第一种付款方式付出的张数最少 答 付款方式有 种 分别是 付出 张 元钱和 张 元钱 付出 张 元钱和 张 元钱 付出 张 元钱和 张 元钱 其中第一种付款方式付出的张数最少 例例 3 3 解方程组 思考与分析 本例是一个含字母系数的方程组 解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样 在方程两 边同时乘以或除以字母表示的系数时 也需要弄清字母的取值是否为零 解 由 得 y 4 mx 把 代入 得 2x 5 4 mx 8 解得 2 5m x 12 当 2 5m 0 即 m 时 方程无解 则原方程组无解 当 2 5m 0 即 m 时 方程解为将代入 得 精品文档 5欢迎下载 故当 m 时 原方程组的解为 小结 含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同 但注意求解时需要讨论字母系数的取 值情况 对于 x y 的方程组中 a1 b1 c1 a2 b2 c2均为已知数 且 a1与 b1 a2与 b2都至少有一个不等 于零 则 时 原方程组有惟一解 时 原方程组有无穷多组解 时 原方程组无解 例例 4 4 某中学新建了一栋 4 层的教学大楼 每层楼有 8 间教室 这栋大楼共有 4 道门 其中两道正门大小相同 两 道侧门大小也相同 安全检查中 对 4 道门进行了训练 当同时开启一道正门和两道侧门时 2 分钟内可以通过 560 名学生 当同时开启一道正门和一道侧门时 4 分钟可以通过 800 名学生 1 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生 2 检查中发现 紧急情况时因学生拥挤 出门的效率将降低 20 安全检查规定 在紧急情况下全大楼的学生 应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离 假设这栋教学大楼每间教室最多有 45 名学生 问 建造的这 4 道门是否符合安 全规定 请说明理由 思考与解 1 设平均每分钟一道正门可通过 x 名学生 一道侧门可以通过 y 名学生 根据题意 得 所以平均每分钟一道正门可以通过学生 120 人 一道侧门可以通过学生 80 人 2 这栋楼最多有学生 4 8 45 1440 人 拥挤时 5 分钟 4 道门能通过 5 2 120 80 1 20 1600 人 因为 1600 1440 所以建造的 4 道门符合安全规定 答 平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过 120 名学生 80 名学生 建造的这 4 道门符合安全规定 精品文档 6欢迎下载 例例 5 5 某水果批发市场香蕉的价格如下表 张强两次共购买香蕉 50 千克 第二次多于第一次 共付款 264 元 请问张强第一次 第二次分别购买香蕉多少 千克 思考与分析 要想知道张强第一次 第二次分别购买香蕉多少千克 我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的 千克数以及付的钱数来入手 通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段 分别是 6 元 5 元 4 元 相对应的香蕉的千 克数也分为三段 我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内 利用分类讨论的方法求得张强第一次 第二次分别购买香蕉的千克数 解 设张强第一次购买香蕉 x 千克 第二次购买香蕉 y 千克 由题意 得 0 x 25 当 0 x 20 y 40 时 由题意 得 当 040 时 由题意 得 与 0 x 20 y 40 相矛盾 不合题意 舍去 当 20 x 25 时 25 y 30 此时张强用去的款项为 5x 5y 5 x y 5 50 250 264 不合题意 舍去 综合 可知 张强第一次购买香蕉 14 千克 第二次购买香蕉 36 千克 答 张强第一次 第二次分别购买香蕉 14 千克 36 千克 反思 我们在做这道题的时候 一定要考虑周全 不能说想出了一种情况就认为万事大吉了 要进行分类讨论 考虑所有的可能性 看有几种情况符合题意 例例 6 6 用如图 中的长方形和正方形纸板做侧面和底面 做成如图 的竖式和横式两种无盖纸盒 现在仓库里有 张正方形纸板和 000 张长方形纸板 问两种纸盒各做多少个 恰好将库存的纸板用完 思考与分析 我们已经知道已知量有正方形纸板的总数 1000 长方形纸板的总数 2 未知量是竖式纸盒的 个数和横式纸盒的个数 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成 如果我们知 道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板 就能建立起如下的等量关系 每个竖式纸盒要用的正方形纸板数 竖式纸盒个数 每个横式纸盒要用的正方形纸板数 横式纸盒个数 正 方形纸板的总数 每个竖式纸盒要用的长方形纸板数 竖式纸盒个数 每个横式纸盒要用的长方形纸板数 横式纸盒个数 长 精品文档 7欢迎下载 方形纸板的总数 通过观察图形 可知每个竖式纸盒分别要用 张正方形纸板和 张长方形纸板 每个横式纸盒分别要用 张正方形 纸板和 张长方形纸板 解 由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系 设竖式纸