高中数学 第2讲 直线与圆的位置关系 第2节 圆内接四边形的性质与判定定理课件 新人教A版选修41.ppt

第二节圆内接四边形的性质与判定定理 1 理解圆内接多边形 多边形的外接圆的概念 2 掌握并灵活运用圆内接四边形的性质与判定定理及其推论 课标定位 1 圆内接四边形的性质与判定定理的应用 重点 2 圆内接四边形的性质与判定的研究往往与三角形联系在一起 难点 3 以选择题 填空题为主 no 1预习学案 1 圆内接四边形的性质 1 圆的内接四边形 如图 四边形abcd内接于 o 则有 a 180 b 180 对角互补 c d 2 圆内接四边形的外角等于它的 如图 cbe是圆内接四边形abcd的一外角 则有 cbe 内角的对角 d 2 圆内接四边形的判定 1 判定定理 如果一个四边形的 那么这个四边形的四个顶点共圆 2 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的 那么这个四边形的四个顶点 对角互补 对角 共圆 1 已知四边形abcd是圆内接四边形 下列结论中正确的有 如果 a c 则 a 90 如果 a b 则四边形abcd是等腰梯形 a的外角与 c的外角互补 a b c d可以是1 2 3 4 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 由 圆内接四边形的对角互补 可知 相等且互补的两角必为直角 两相等邻角的对角也相等 亦可能有 a b c d的特例 互补两内角的外角也互补 两组对角之和的份额必须相等 这里1 3 2 4 因此得出 正确 错误 答案 b 2 圆内接平行四边形一定是 a 正方形b 菱形c 等腰梯形d 矩形解析 由于圆内接四边形对角互补 平行四边形的对角相等 圆内接平行四边形的各角均为直角 故为矩形 答案 d 3 如图 四边形abcd为 o内接四边形 已知 bod 60 则 bad bcd 答案 30 150 4 如图 四边形abcd内接于 o 过点a作ae bd交cb的延长线于点e 求证 ab ad be cd no 2课堂学案 在 o中 ac ab e是弦bc延长线上的一点 ae交 o于点d 求证 ac2 ad ae 用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题 1 已知如图 四边形abcd内接于圆 延长ad bc相交于点e 点f是bd的延长线上的点 且de平分 cdf 1 求证 ab ac 2 若ac 3cm ad 2cm 求de的长 解析 1 证明 abc 2 2 1 3 4 3 abc 4 ab ac 如图所示 在圆内接四边形abcd中 ac平分bd 且ac bd bad 72 求四边形其余的各角 利用圆内接四边形的性质定理求角 思路点拨 解题过程 四边形abcd是圆内接四边形 bad bcd 180 又 bad 72 bcd 108 又 ac平分bd 并且ac bd ac是四边形abcd外接圆的直径 abc adc 90 规律方法 如何利用圆内接四边形的性质定理求角 1 观察图形 找出圆内接四边形的对角或内对角 2 利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求出所要求的角 2 如图所示 已知 o的内接四边形abcd ab和dc的延长线交于点p ad和bc的延长线交于点q 如果 a 50 p 30 求 q的度数 解析 abcd是 o的内接四边形 qcd a 50 又 p 30 cdq p a 80 q 180 80 50 50 如图所示 在 abc中 ad db df ab交ac于f ae ec eg ac交ab于g 求证 1 d e f g四点共圆 2 g b c f四点共圆 证明点共圆问题 思路点拨 1 要证d e f g四点共圆 只需找到过这四点的外接圆的圆心 证明圆心到四点的距离相等 可取gf的中点h 证点h即为圆心 2 要证g b c f四点共圆 只需证 b afg 或 c agf 由d e为中点 可知de bc b ade 故只需证 ade afg 由d e f g四点共圆可得 解题过程 证明 1 如图 连接gf 取gf的中点h df ab eg ac dgf egf都是直角三角形 又 点h是gf的中点 点h到d e f g的距离相等 点h是过d e f g的外接圆的圆心 d e f g四点共圆 2 连接de 由 1 知 d g f e四点共圆 由四点共圆的性质定理的推论 得 ade afg ad db ae ec d是ab的中点 e是ac的中点 de bc ade b afg b g b c f四点共圆 规律方法 1 判断四点共圆的步骤 观察几何图形 找到一定点 一对对角或一外角与其内对角 判断四点与这一定点的关系 判断四边形的一对对角的和是否为180 判断四边形一外角与其内对角是否相等 下结论 2 注意事项在证明一个命题成立时 要根据命题中的条件和结论画出图形 并且写出已知和求证 3 已知 如图 e f g h分别为菱形abcd各边的中点 对角线ac与bd相交于o点 求证 e f g h共圆 用 四边形对角互补 的方法证明 证明 连接ef fg gh he e f分别为ab bc的中点 ef ac 同理eh bd hef aob ac bd hef 90 同理 fgh 90 hef fgh 180 e f g h共圆 圆内接多边形的综合应用 解析 1 证明 如图 设f为ad延长线上一点 a b c d四点共圆 cdf abc 又ab ac abc acb 又 adb acb adb cdf 又 edf adb edf cdf 即ad的延长线平分 cde 规律方法 此类问题综合性较强 考查知识点较为丰富 往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用 最终得到某些结论的成立 1 证明四点共圆有哪几种常用方法 1 证明四点到一定点距离相等 2 同底同侧等顶点的两个三角形共外接圆 3 对角互补 外角等于它的内角的对角 的四边形的顶点共圆 4 满足相交弦定理 割线定理 第五节学习 的四点共圆 2 如何证明多圆共点 证明多圆共点没有现成的定理可用 常常把要证的命题化归为共圆点的命题来解决 可证两圆的交点在第三圆上 或证各圆通过同一点 3 圆内接四边形中应注意哪些问题 1 圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况 它们的关系可以用集合形式表示 圆内接四边形 圆内接多边形 2 掌握一些常见的结论 例如 正多边形一定存在外接圆 三角形一定存在外接圆 并且三角形的外接圆的圆心 即外心 是三条边的垂直平分线的交点 圆内接梯形一定是等腰梯形等 3 在圆内接四边形的判定定理的证明中 利用了穷举法 所谓的 穷举法 就是当问题的结论存在多种情形时 通过对每