高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.4 离散型随机变量及其分布列课件 理 新人教版.ppt

12 4离散型随机变量及其分布列 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 离散型随机变量 知识梳理 随着试验结果变化而称为随机变量 常用字母x y 表示 所有取值可以的随机变量 称为离散型随机变量 2 离散型随机变量的分布列及性质 1 一般地 若离散型随机变量x可能取的不同值为x1 x2 xi xn x取每一个值xi i 1 2 n 的概率p x xi pi 则表 变化的变量 一一列出 称为离散型随机变量x的 简称为x的分布列 有时也用等式p x xi pi i 1 2 n表示x的分布列 2 离散型随机变量的分布列的性质 pi 0 i 1 2 n 概率分布列 1 两点分布若随机变量x服从两点分布 即其分布列为 3 常见离散型随机变量的分布列 其中p 称为成功概率 p x 1 2 超几何分布一般地 在含有m件次品的n件产品中 任取n件 其中恰有x件次品 则p x k k 0 1 2 m 其中m min m n 且n n m n n m n n 如果随机变量x的分布列具有下表形式 则称随机变量x服从超几何分布 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 抛掷均匀硬币一次 出现正面的次数是随机变量 2 离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象 3 某人射击时命中的概率为0 5 此人射击三次命中的次数x服从两点分布 4 从4名男演员和3名女演员中选出4名演员 其中女演员的人数x服从超几何分布 5 离散型随机变量的分布列中 随机变量取各个值的概率之和可以小于1 6 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 考点自测 1 教材改编 抛掷甲 乙两颗骰子 所得点数之和为x 那么x 4表示的事件是a 一颗是3点 一颗是1点b 两颗都是2点c 甲是3点 乙是1点或甲是1点 乙是3点或两颗都是2点d 以上答案都不对 答案 解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知 c正确 答案 解析 即 x 0 表示试验失败 x 1 表示试验成功 2 设某项试验的成功率是失败率的2倍 用随机变量x去描述1次试验的成功次数 则p x 0 等于 设x的分布列为 3 从标有1 10的10支竹签中任取2支 设所得2支竹签上的数字之和为x 那么随机变量x可能取得的值有a 17个b 18个c 19个d 20个 答案 解析 x可能取得的值有3 4 5 19 共17个 4 从装有3个红球 2个白球的袋中随机取出2个球 设其中有x个红球 则随机变量x的分布列为 答案 解析 0 1 0 6 0 3 x的所有可能取值为0 1 2 x的分布列为 5 教材改编 一盒中有12个乒乓球 其中9个新的 3个旧的 从盒中任取3个球来用 用完后装回盒中 此时盒中旧球个数x是一个随机变量 则p x 4 的值为 答案 解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球 1个新球 题型分类深度剖析 题型一离散型随机变量的分布列的性质 例1 1 设x是一个离散型随机变量 其分布列为 答案 解析 则q等于 解答 2 设离散型随机变量x的分布列为 求2x 1的分布列 由分布列的性质知0 2 0 1 0 1 0 3 m 1 得m 0 3 从而2x 1的分布列为 首先列表为 引申探究 解答 1 在本例 2 的条件下 求随机变量 x 1 的分布列 由 2 知m 0 3 列表 p 1 p x 0 p x 2 0 2 0 1 0 3 p 0 p x 1 0 1 p 2 p x 3 0 3 p 3 p x 4 0 3 故 x 1 的分布列为 2 若本例 2 中条件不变 求随机变量 x2的分布列 解答 依题意知 的值为0 1 4 9 16 p 0 p x2 0 p x 0 0 2 p 1 p x2 1 p x 1 0 1 p 4 p x2 4 p x 2 0 1 p 9 p x2 9 p x 3 0 3 p 16 p x2 16 p x 4 0 3 1 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值 此时要注意检验 以保证每个概率值均为非负数 2 求随机变量在某个范围内的概率时 根据分布列 将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可 其依据是互斥事件的概率加法公式 思维升华 跟踪训练1设随机变量x的分布列为p x ak k 1 2 3 4 5 1 求a 解答 解答 解答 命题点1与排列组合有关的分布列的求法例2 2015 重庆改编 端午节吃粽子是我国的传统习俗 设一盘中装有10个粽子 其中豆沙粽2个 肉粽3个 白粽5个 这三种粽子的外观完全相同 从中任意选取3个 1 求三种粽子各取到1个的概率 解答 题型二离散型随机变量的分布列的求法 令a表示事件 三种粽子各取到1个 2 设x表示取到的豆沙粽个数 求x的分布列 解答 x的所有可能值为0 1 2 且 综上知 x的分布列为 命题点2与互斥事件有关的分布列的求法例3 2015 安徽改编 已知2件次品和3件正品混放在一起 现需要通过检测将其区分 每次随机检测一件产品 检测后不放回 直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束 1 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 解答 记 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 为事件a 2 已知每检测一件产品需要费用100元 设x表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用 单位 元 求x的分布列 解答 x的可能取值为200 300 400 p x 400 1 p x 200 p x 300 故x的分布列为 命题点3与独立事件 或独立重复试验 有关的分布列的求法例4 2016 蚌埠模拟 甲乙两人进行围棋比赛 约定先连胜两局者直接赢得比赛 若赛完5局仍未出现连胜 则判定获胜局数多者赢得比赛 假设每局甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 各局比赛结果相互独立 1 求甲在4局以内 含4局 赢得比赛的概率 2 记x为比赛决出胜负时的总局数 求x的分布列 解答 用a表示 甲在4局以内 含4局 赢得比赛 ak表示 第k局甲获胜 bk表示 第k局乙获胜 1 p a p a1a2 p b1a2a3 p a1b2a3a4 2 x的可能取值为2 3 4 5 p a1 p a2 p b1 p a2 p a3 p a1 p b2 p a3 p a4 p x 2 p a1a2 p b1b2 p x 3 p b1a2a3 p a1b2b3 p x 4 p a1b2a3a4 p b1a2b3b4 故x的分布列为 求离散型随机变量x的分布列的步骤 1 理解x的意义 写出x可能取的全部值 2 求x取每个值的概率 3 写出x的分布列 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率 在求解时 要注意应用计数原理 古典概型等知识 思维升华 跟踪训练2 2016 湖北部分重点中学第一次联考 连续抛掷同一颗均匀的骰子 令第i次得到的点数为ai 若存在正整数k 使a1 a2 ak 6 则称k为你的幸运数字 1 求你的幸运数字为3的概率 解答 设 连续抛掷3次骰子 和为6 为事件a 则它包含事件a1 a2 a3 其中a1 三次恰好均为2 a2 三次中恰好1 2 3各一次 a3 三次中有两次均为1 一次为4 a1 a2 a3为互斥事件 则 2 若k 1 则你的得分为6分 若k 2 则你的得分为4分 若k 3 则你的得分为2分 若抛掷三次还没找到你的幸运数字 则记0分 求得分 的分布列 解答 由已知得 的可能取值为6 4 2 0 故 的分布列为 题型三超几何分布 例5 2017 济南质检 pm2 5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2 5微米的可入肺颗粒物 根据现行国家标准gb3095 2012 pm2 5日均值在35微克 立方米以下空气质量为一级 在35微克 立方米 75微克 立方米之间空气质量为二级 在75微克 立方米以上空气质量为超标 从某自然保护区2016年全年每天的pm2 5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本 监测值频数如下表所示 1 从这10天的pm2 5日均值监测数据中 随机抽出3天 求恰有一天空气质量达到一级的概率 解答 记 从10天的pm2 5日均值监测数据中 随机抽出3天 恰有一天空气质量达到一级 为事件a 2 从这10天的数据中任取3天数据 记 表示抽到pm2 5监测数据超标的天数 求 的分布列 解答 依据条件 服从超几何分布 其中n 10 m 3 n 3 且随机变量 的可能取值为0 1 2 3 故 的分布列为 1 超几何分布的两个特点 超几何分布是不放回抽样问题 随机变量为抽到的某类个体的个数 2 超几何分布的应用条件 两类不同的物品 或人 事 已知各类对象的个数 从中抽取若干个个体 思维升华 跟踪训练3某大学志愿者协会有6名男同学 4名女同学 在这10名同学中 3名同学来自数学学院 其余7名同学来自物理 化学等其他互不相同的七个学院 现从这10名同学中随机选取3名同学 到希望小学进行支教活动 每位同学被选到的可能性相同 1 求选出的3名同学来自互不相同学院的概率 解答 设 选出的3名同学来自互不相同的学院 为事件a 2 设x为选出的3名同学中女同学的人数 求随机变量x的分布列 解答 随机变量x的所有可能取值为0 1 2 3 故随机变量x的分布列是 典例某射手有5发子弹 射击一次命中概率为0 9 如果命中就停止射击 否则一直到子弹用尽 求耗用子弹数 的分布列 离散型随机变量的分布列 现场纠错系列17 错解展示 现场纠错 纠错心得 1 随机变量的分布列 要弄清变量的取值 还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率 2 验证随机变量的概率和是否为1 返回 解p 1 0 9 p 2 0 1 0 9 0 09 p 3 0 1 0 1 0 9 0 009 p 4 0 13 0 9 0 0009 p 5 0 14 0 0001 的分布列为 返回 课时作业 1 2016 太原模拟 某射手射击所得环数x的分布列为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 根据x的分布列知 所求概率为0 28 0 29 0 22 0 79 则此射手 射击一次命中环数大于7 的概率为 a 0 28b 0 88c 0 79d 0 51 2 2016 岳阳模拟 设x是一个离散型随机变量 其分布列为 答案 解析 则q等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 郑州模拟 已知随机变量x的分布列为p x i i 1 2 3 4 则p 2 x 4 等于 答案 解析 由分布列的性质知 则a 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 湖北孝感汉川期末 设随机变量 的分布列为p i a i i 1 2 3 则实数a的值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2017 武汉调研 从装有3个白球 4个红球的箱子中 随机取出3个球 则恰好是2个白球 1个红球的概率是 答案 解析 如果将白球视为合格品 红球视为不合格品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2017 长沙月考 一只袋内装有m个白球 n m个黑球 连续不放回地从袋中取球 直到取出黑球为止 设此时取出了x个白球 下列概率等于的是 答案 解析 a p x 3 b p x 2 c p x 3 d p x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 甲 乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题 比赛规定 对于每一个题 没有抢到题的队伍得0分 抢到题并回答正确的得1分 抢到题但回答错误的扣1分 即得 1分 若x是甲队在该轮比赛获胜时的得分 分数高者胜 则x的所有可能取值是 答案 解析 1 0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 1 甲抢到一题但答错了 而乙抢到了两个题目都答错了 x 0 甲没抢到题 乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题 但答时一对一错 而乙答错一个题目 x 1 甲抢到1题且答对 乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题 且1错2对 x 2 甲抢到2题均答对 x 3 甲抢到3题均答对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 随机变量x的分布列如下 其中a b c成等差数列 则p x 1 公差d的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 a b c成等差数列 2b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 设离散型随机变量x的分布列为 答案 解析 若随机变量y x 2 则p y 2 0 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由分布列的性质 知 0 2 0 1 0 1 0 3 m 1 m 0 3 由y 2 即 x 2 2 得x 4或x 0 p y 2 p x 4或x 0 p x 4 p x 0 0 3 0 2 0 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 袋中有4只红球3只黑球 从袋中任取4只球 取到1只红球得1分 取到1只黑球得3分 设得分为随机变量 则p 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2015 山东改编 若n是一个三位正整数 且n的个位数字大于十位数字 十位数字大于百位数字 则称n为 三位递增数 如137 359 567等 在某次数学趣味活动中 每位参加者需从所有的 三位递增数 中随机抽取1个数 且只能抽取一次 得分规则如下 若抽取的 三位递增数 的三个数字之积不能被5整除 参加者得0分 若能被5整除 但不能被10整除 得 1分 若能被10整除 得1分 1 写出所有个位数字是5的 三位递增数 解答 个位数是5的 三位递增数 有125 135 145 235 245 345 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若甲参加活动 求甲得分x的分布列 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 随机变量x的取值为0 1 1 因此 所以x的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 12 2016 遂宁期末