高中数学 2.3第1课时空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 空间向量与立体几何 第二章 2 3向量的坐标表示和空间向量基本定理第1课时空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理 第二章 1 空间向量基本定理定理 如果三个向量a b c 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p 其中 a b c 叫做空间的一个基底 都叫做基向量 2 空间向量的正交分解及其坐标表示 1 单位正交基底三个有公共起点o的 的单位向量e1 e2 e3称为单位正交基底 xa yb zc a b c 两两垂直 不共面 原点 e1 e2 e3 平移 xe1 ye2 ze3 x y z p x y z 1 用空间三个不共面的已知向量a b c可以线性表示出空间任意一个向量 而且表示的结果是唯一的 空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底 用基底中的基向量表示向量 即向量的分解 关键是结合图形 运用三角形法则 平行四边形法则及多边形法则 逐步把待求向量转化为基向量的 代数和 2 空间向量基本定理的证明 3 空间直角坐标系与单位正交基底的关系在空间选一点o和一个单位正交基底 e1 e2 e3 以点o为原点 分别以e1 e2 e3的方向为正方向建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 它们都叫坐标轴 这样我们就建立了一个空间直角坐标系oxyz 其中o叫原点 向量e1 e2 e3都叫坐标向量 经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 它们分别是xoy平面 xoz平面 yoz平面 4 空间一点的坐标的确定方法对空间的一点p x y z 如图 1 所示 过点p作面xoy的垂线 垂足为p 在面xoy中 过p 分别作x轴 y轴的垂线 垂足分别为a c 则 x p c y ap z pp 根据点a c d的位置即可确定x y z的符号 例如 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 3 ad 2 aa1 1 则a 2 0 0 b 2 3 0 c 0 3 0 d 0 0 0 a1 2 0 1 b1 2 3 1 c1 0 3 1 d1 0 0 1 如图 2 所示 5 特殊向量的坐标表示若向量a平行x轴 则a x 0 0 若向量a平行y轴 则a 0 y 0 若向量a平行z轴 则a 0 0 z 若向量a平行xoy平面 则a x y 0 若向量a平行yoz平面 则a 0 y z 若向量a平行zox平面 则a x 0 z 1 如果a b与任何向量都不能构成空间的一个基底 则 a a与b共线b a与b同向c a与b反向d a与b共面 答案 a 解析 因为空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 因此 a b必与任何向量共面 所以a b为共线向量 故选a 3 向量a 0 2 3 则 a a平行于x轴b a平行于平面yozc a平行于平面zoxd a平行于平面xoy 答案 b 解析 因为a的横坐标为0 所以a平行于平面yoz 5 设x a b y b c z c a 且 a b c 是空间的一个基底 给出下列向量组 a b x x y z b c z x y a b c 其中可以作为空间的基底的向量组有 个 答案 3 解析 都可以作为空间的一组基底 对于 x a b 显然a b x共面 故 a b x 不能作为空间的一个基底 空间向量基本定理 总结反思 用基底表示空间向量 一般要用向量的加法 减法 数乘的运算法则 及加法的平行四边形法则 加法 减法的三角形法则 逐步向基向量过渡 直到全部用基向量表示 空间向量的坐标表示 总结反思 本题主要考查空间向量的坐标表示 解题时 首先要找准标准正交基 然后根据向量a xi yj zk 则a x y z 即可得到结果 探索性问题 设a1 2i j k a2 i 3j 2k a3 2i j 3k a4 3i 2j 5k 试问是否存在实数 v 使a4 a1 a2 va3成立 如果存在 求出 v的值 如果不存在 请给出证明 迷津点拨 正确理解共面向量