高考数学易忘公式及结论

第 1 页 共 8 页 高考数学高考数学知识点全扫描知识点全扫描 高考数学易忘公式及结论高考数学易忘公式及结论 集合集合 包含关系包含关系 ABAABB BA 集合集合 12 n a aa的子集个数共有的子集个数共有2n 个 真子集有个 真子集有2n 1 1 个 非空子集个 非空子集 有有2n 1 1 个 非空的真子集有个 非空的真子集有2n 2 2 个个 二次函数 二次方程二次函数 二次方程 方程方程0 xf在在 21 kk上有且只有一个实根上有且只有一个实根 与与0 21 kfkf不等价不等价 前者是后者的一个必要而不是充分条件前者是后者的一个必要而不是充分条件 闭区间上函数的最值闭区间上函数的最值 只能在只能在0 x f处及区间的两端点处取得 处及区间的两端点处取得 二次二次函数函数0 2 cbxaxxf恒成立的充要条件恒成立的充要条件 是是 04 0 2 acb a 简易逻辑简易逻辑 真值表真值表 非 非 或 或 且 且 真真 真真 假假 真真 真真 真真 假假 假假 真真 假假 假假 真真 真真 真真 假假 假假 假假 真真 假假 假假 常见结论的否定形式常见结论的否定形式 原结论原结论 反设词反设词 原结论原结论 反设词反设词 是是 不是不是 至少有一个至少有一个 一个也没有一个也没有 都是都是 不都是不都是 至多有一个至多有一个 至少有两个至少有两个 大于大于 不大于不大于 至少有至少有n个个 至多有 至多有 1n 个 个 小于小于 不小于不小于 至多有至多有n个个 至少有 至少有 1n 个 个 对所有对所有x 成立成立 存在某存在某x 不成立不成立 p或或q p 且且q 对任何对任何x 不成立不成立 存在某存在某x 成立成立 p且且q p 或或q P 否定一个含有量词否定一个含有量词 或或 的命题的命题 不但要改变量词不但要改变量词 改为改为 还 还 要对量词后面的命题加以否定 但作用范围不变 要对量词后面的命题加以否定 但作用范围不变 函数的单调性函数的单调性 1 1 设设 2121 xxbaxx 那么那么 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是增函数 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是减函数上是减函数 第 2 页 共 8 页 2 2 设函数设函数 xfy 在某个区间内可导 如果在某个区间内可导 如果0 x f 则 则 xf为增函数 为增函数 如果如果0 x f 则 则 xf为减函数为减函数 f amxf bmx f abmxf mx 两个函数图象的对称性两个函数图象的对称性 1 1 函数函数 yf x 与函数与函数 yfx 的图象关于直线的图象关于直线0 x 即即y轴轴 对称对称 2 2 函数函数 amxf 与函数与函数 yf bmx 的图象关于直线的图象关于直线 2 ab x m 对称对称 3 3 函数函数 xfy 和和 1 xfy 的图象关于直线的图象关于直线 y xy x 对称对称 若 将 函 数若 将 函 数 xfy 的 图 象 右 移的 图 象 右 移a 上 移 上 移b个 单 位 得 到 函 数个 单 位 得 到 函 数 baxfy 的图象 若将曲线的图象 若将曲线0 yxf的图象右移的图象右移a 上移 上移b个单个单 位 得到曲线位 得到曲线0 byaxf的图象的图象 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b aN baN 0 1 0 aaN 对数的换底公式对数的换底公式 log log log m a m N N a 推论推论 loglog m n a a n bb m 对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a a 1 1 M M 0 0 N N 0 0 则 则 1 1 log loglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 3 3 loglog n aa MnM nR 设函数设函数 0 log 2 acbxaxxf m 记记acb4 2 若若 xf的定义的定义 域为域为R 则则0 a 且 且0 若若 xf的值域为的值域为R 则则0 a 且 且0 对于对于 0 a的情的情形形 需要单独检验需要单独检验 数列数列 等差数列的等差数列的通项公式通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 分期付款分期付款 按揭贷款按揭贷款 每次还款每次还款 1 1 1 n n abb x b 元元 贷款贷款a元元 n次还清次还清 每期利率为每期利率为b 第 3 页 共 8 页 数列的通项公式与前数列的通项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 1 1 1 2 n nn sn a ssn 三角函数三角函数 常见三角不等式常见三角不等式 1 1 若 若 0 2 x 则 则sintanxxx 2 2 若若 0 2 x 则 则 1sincos2xx 3 3 sin cos 1xx 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 和角与差角公式和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan sincosab 22 sin ab 辅助角辅助角 所在象限由点所在象限由点 a b的象限决的象限决 定定 tan b a 二倍角公式二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin 2 2tan tan2 1 tan 三角函三角函数的周期公式数的周期公式 函数函数sin yx x x R R 及函数及函数cos yx 的周期的周期 2 T 函数 函数 tan yx 的周期的周期T 正弦定理正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 余弦定理余弦定理 222 2cosabcbcA 面积定理面积定理 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 向量向量 a a与与 b b 的数量积的数量积 或内积或内积 a a b b a a b cos b cos a a b b 的几何意义的几何意义 数量积数量积 a a b b 等于等于 a a 的长度的长度 a a 与与 b b 在在 a a 的方向上的投影的方向上的投影 b cos b cos 的乘积 的乘积 设设 a a 11 x y b b 22 xy 则 则 a a b b 1212 x xy y 向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a a 11 x y b b 22 xy 且 且 b b 0 0 则 则 a a b bb b 0 0 1221 0 x yx y 第 4 页 共 8 页 a a b ab a 0 0 a a b 0b 0 1212 0 x xy y 线段的定比分公式线段的定比分公式 设设 111 P x y 222 P xy P x y是线段是线段 12 PP的分点的分点 是实数 且是实数 且 12 PPPP 则则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABCABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为 11 A x y 22 B x y 33 C x y 则 则 ABCABC 的重的重 心的坐标是心的坐标是 123123 33 xxxyyy G 三角形五 心 向量形式的充要条件三角形五 心 向量形式的充要条件 设设O为为ABC 所在平面上一点 角所在平面上一点 角 A B C所对边长分别为所对边长分别为 a b c 则 则 1 1 O为为ABC 的外心 中垂线 的外心 中垂线 222 OAOBOC 2 2 O为为ABC 的重心 中线 的重心 中线 0OA OBOC 3 3 O为为ABC 的垂心 高 的垂心 高 OA OBOB OCOC OA 4 4 O为为ABC 的内心 角平分线 的内心 角平分线 0aOA bOBcOC 不等式不等式 常用不等式 常用不等式 1 1 a bR 22 2abab 当且仅当当且仅当 a a b b 时取 时取 号 号 2 2 a bR 2 ab ab 当且仅当当且仅当 a a b b 时取 时取 号 号 3 3 柯西不等式 柯西不等式 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2211 bbaababa 当且仅当当且仅当 ii ba 时时 取 取 号 号 4 4 bababa 直线方程直线方程 两条直线的平行和垂直两条直线的平行和垂直 121212 llkk bb 121 2 1llk k 两直线垂直的充要条件是两直线垂直的充要条件是 1212 0AABB 即 即 12 ll 1212 0AABB 点到直线的距离点到直线的距离 00 22 AxByC d AB 点点 00 P xy 直线直线l 0AxByC 圆圆 直线的参数方程直线的参数方程 sin cos 0 0 tyy txx t t 为参数 为参数 圆的参数方程圆的参数方程 cos sin xar ybr 为参数 为参数 第 5 页 共 8 页 椭圆椭圆 椭圆椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的参数方程是的参数方程是 cos sin xa yb 为参数 为参数 焦点三角形 焦点三角形 P P 为椭圆为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上一点 则三角形上一点 则三角形 1 2 PFF的面的面 积积 S S 2 12 tan 2 PFF b 特别地 若特别地 若 12 PFPF 此三角形面积为此三角形面积为 2 b 在椭圆在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上存在点上存在点 P P 使 使 12 PFPF 的条件是的条件是 c c b b 即即 椭圆的离心率椭圆的离心率 e e 的范围是的范围是 2 1 2 双曲线双曲线 双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 1 1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程 渐近线方程 22 22 0 xy ab x a b y 2 2 若若渐近线方程为渐近线方程为x a b y 0 b y a x 双曲线可设为双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x 3 3 若若双曲线与双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线 有公共渐近线 可设为可设为 2 2 2 2 b y a x 0 焦 焦 点在点在 x x 轴上 轴上 0 焦点在 焦点在 y y 轴上 轴上 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度 即焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度 即 b b 值 值 抛物线抛物线 焦点与准线焦点与准线 2 2 0 0 44 0 44 aa yax ax aa ay a 抛物线焦点是准线 抛物线x焦点是 0 准线y 焦半径公式焦半径公式 抛物线抛物线 2 2 0 ypx p C C 00 xy为抛物线上一点 焦半径为抛物线上一点 焦半径 0 2 p CFx 过 抛 物 线过 抛 物 线pxy2 2 p 0 p 0 的 焦 点的 焦 点F F的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 22 11221212 4 1 4 A x y B xyy ypx xp O OAOB 则有 即k K 为原点 4 4 2 21 OBOA Kkpxx即 直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2222 211212 1 1 tan 1tABkxxxxyyco 比如在椭圆中 比如在椭圆中 1122 22 11 22 22 22 22 22 01212 22 12120 M 0 0 1 1 1 2 1 2 A xyB xyxy xy ab xy ab xyyxxbb xxyyaya 中点则有 第 6 页 共 8 页 1 1 2 2 2 2 0 0 21 21 a b y x xx yy k 立体几何立体几何 直线直线l的方向向量为的方向向量为 a a 直线直线l与平面所成的角为与平面所成的角为 平面的法向量为平面的法向量为 u u 直线直线l与平面法向量的夹角为与平面法向量的夹角为 则则 ua ua cossin 二面角的两个面的法向量的夹角二面角的两个面的法向量的夹角 或其补角或其补角 就是二面角的平面角的就是二面角的平面角的 大小 大小 异面直线间的距离异面直线间的距离 CD n d n 12 l l是两异面直线 其公垂向量为是两异面直线 其公垂向量为n CD 分别是分别是 12 l l上任一上任一 点 点 d为为 12 l l间的距离间的距离 点点B到平面到平面 的距离的距离 AB n d n n为平面为平面 的法向量 的法向量 AB是经是经 过面过面 的一条斜线 的一条斜线 A 面积射影面积射影定理定理 cos S S 平面多边形及其射影的面积分别是平面多边形及其射影的面积分别是S S 它们所在平面所成锐二面角的为 它们所在平面所成锐二面角的为 球的半径是球的半径是 R R 则其体积 则其体积 3 4 3 VR 其表面积其表面积 2 4SR 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 棱长为棱长为a的的正四面体的内切球的半径为正四面体的内切球的半径为 6 12 a 外接球的半径为外接球的半径为 6 4 a 柱体 锥体的体积柱体 锥体的体积 1 3 VSh 柱体 ShSh S是柱体的底面积 是柱体的底面积 h是柱体的高 是柱体的高 1 3 VSh 锥体 S是锥体的底面积 是锥体的底面积 h是锥体的高 是锥体的高 组合数公式组合数公式 m n C m n m m A A m mnnn 21 1 1 mnm n 二项式定理二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 二项展开二项展开 式的通项公式式的通项公式 rrnr nr baCT 1 210 nr 概率概率 n n 次独立重复试验中某事件恰好发生次独立重复试验中某事件恰好发生 k k 次的概率次的概率 第 7 页 共 8 页 1 kkn k nn P kC PP 离散型随机变量的分布列的两个性质离散型随机变量的分布列的两个性质 1 1 0 1 2 i Pi 2 2 12 1PP 数学期望数学期望 1 122nn Ex Px Px P 数学期望的性质数学期望的性质 1 1 E abaEb 2 2 若 若 B n p 则则Enp 方差方差 222 1122nn DxEpxEpxEp 标准差标准差 D 方差的性质方差的性质 1 1 2 D aba D 2 2 若 若 B n p 则 则 1 Dnpp 正态分布密度函数正态分布密度函数 2 2 26 1 2 6 x f xex 式中的实数 式中的实数 0 0 是参数 分 是参数 分 别表示个体的平均数与标准差别表示个体的平均数与标准差 标准正态分布标准正态分布密度函数密度函数 2 2 1 2 6 x f xex 对于对于 2 N 6826 0 XP 9544 0 22 XP 9974 0 33 XP 回归直线方程回归直线方程 yabx 其中 其中 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx 点点 yxP在回归直线上 在回归直线上 不能期望回归方程得到不能期望回归方程得到 y y 的预报值就是预报变量的预报值就是预报变量 y y 的精确值 的精确值 相关系数相关系数 r r 1 1 且 且 r r 越接近于越接近于 1 1 相关程度越大 相关程度越大 r r 越接近于越接近于 0 0 相关程度越小 相关程度越小 r