高中数学 3.3.1函数的单调性与导数课件 新人教A版选修11.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修1 11 2 导数及其应用 第三章 3 3导数在研究函数中的应用 第三章 3 3 1函数的单调性与导数 结合实例 借助几何直观图探索并了解函数的单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 重点 利用求导的方法判断函数的单调性 难点 探索发现函数的导数与单调性的关系 函数的单调性与导函数正负的关系 负 正 正 新知导学2 设函数y f x 在区间 a b 内可导 1 如果在区间 a b 内 f x 0 则f x 在此区间单调 2 如果在区间 a b 内 f x 0 则f x 在此区间内单调 递增 递减 思维导航2 上面我们已经知道f x 的符号反映f x 的增减情况 那么能否用导数解释f x 变化的快慢呢 3 在同一坐标系中画出函数y 2x y 3x y y x2 y x3的图象 观察x 0时 函数增长的快慢 与各函数的导数值的大小作对比 你发现了什么 函数的变化快慢与导数的关系 新知导学3 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么这个函数在这个范围内变化较 其图象比较 快 陡峭 答案 a 2 函数y x3 x的单调递增区间为 a 0 b 1 c 1 d 答案 d 解析 y 3x2 1 0恒成立 函数y x3 x在 上是增函数 故选d 答案 c 4 若在区间 a b 内有f x 0 且f a 0 则在 a b 内有 a f x 0b f x 0c f x 0d 不能确定 答案 a 解析 在区间 a b 内有f x 0 且f a 0 函数f x 在区间 a b 内是递增的 且f x f a 0 5 函数y ax3 1在 上是减函数 则a的取值范围是 答案 0 解析 y 3ax2 0恒成立 a 0 当a 0时 y 1不是减函数 a 0 故a的取值范围是 0 求下列函数的单调区间 并画出其大致图象 1 f x sinx x x 0 2 f x x3 2x2 x 分析 由于函数的单调性与函数导数的符号有关 因此 可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间 解析 1 因为f x cosx 1 0 因此 函数f x sinx x在 0 是减少的 其大致图象如图 所示 利用导数求函数的单调区间 方法规律总结 1 函数的单调区间是定义域的子集 利用导数的符号判断函数的单调性和求函数的单调区间 必须先考虑函数的定义域 写函数的单调区间时 一定要注意函数的不连续点和不可导点 2 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤为 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x 0 4 根据 3 的结果确定函数f x 的单调区间 2014 三亚市一中月考 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 答案 d 解析 f x x 3 ex f x ex x 3 ex x 2 ex 由f x 0得x 2 选d 已知函数的单调性 确定参数的取值范围 解法二 转化为不等式恒成立的问题 f x x2 ax a 1 因为f x 在 1 4 内单调递减 所以f x 0在 1 4 上恒成立 即a x 1 x2 1在 1 4 上恒成立 所以a x 1 因为27 所以a 7时 f x 0在 6 上恒成立 综上知5 a 7 方法规律总结 1 已知函数f x 在某区间a上单调求参数的值或取值范围时 一般转化为在区间a上f x 0 f x 单调递增时 或f x 0 f x 在区间a上单调递减时 恒成立求解 有时也用数形结合方法求解 2 y f x 在 a b 内可导 f x 0或f x 0且y f x 在 a b 内导数为0的点仅有有限个 则y f x 在 a b 内仍是单调函数 例如 y x3在r上f x 0 所以y x3在r上单调递增 已知函数f x ax3 3x2 x 1在 上是减函数 求实数a的取值范围 设f x 是函数f x 的导函数 将y f x 和y f x 的图象画在同一个直角坐标系中 不可能正确的是 分析 若函数f x 在某一区间上是增加的 则f x 0 所以在此区间导函数图象应在x轴的上方 据此进行判定 函数与其导函数图象的判断 解析 对于a 若曲线c1为函数f x 的图象 由于函数在 0 内是减少的 f x 0 f x 图象在x轴的上方 因此a符合题意 同理 b c中若c2为f x 的图象 c1为f x 的图象也符合题意 对于d 若曲线c1为函数f x 的图象 则函数f x 在 内是增加的 与c2不相符 若曲线c2为函数f x 的图象 则函数f x 在 内是减少的 与c1不相符 所以答案选d 答案 d 方法规律总结 解决函数与其导函数的图象关系问题时 要抓住各自的关键要素 对于原函数 要重点考察其图象在哪个区间内上升或下降 而对于导函数 则应考察其函数值在哪个区间内大于零 小于零 并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致 如果函数y f x 的图象如图所示 那么导函数y f x 的图象可能是 答案 a 解析 本题有多种解法 如可以利用函数的单调性的图