利用空间向量解决探索性问题

1. 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离； (2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离ABCPEDCDBAPE2. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，点E在上，且:2:1(1) 证明 平面；(2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小；(3) 在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论3. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB4，BC1，BE3，CF4.(1) 求和点G的坐标；(2) 求GE与平面ABCD所成的角；ZADGEFCBxy(3) 求点C到截面AEFG的距离4. 如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，BGGC，GBGC2，E是BC的中点(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；PAGBCDFE(2)求点D到平面PBG的距离；(3)若F点是棱PC上一点，且DFGC，求的值空间向量章节测试题1在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（）ABCD2在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为A.60B. 90 C.105 D. 753正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）AB。C。D。4设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60角的对角线的数目是（）A0 B2 C4 D65棱长都为2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为（）AB C D6在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（）A B C D7棱长为a的正四面体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则a、H、h、d的大小关系正确的是（）AaHhdBadhH CahdH DahHd8将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD平面CBD，E是CD中点，则的大小为（）A. B. C. D.9三棱锥ABCD的高AH = 3，H是底面BCD的重心若AB=AC，二面角ABCD为60，G是ABC的重心，则HG的长为（）A B C D10PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（）AB。C。D。11已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 。ABMDC12。如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .13正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为 14已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA面ABC，且PA=2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离为 AEDCBA1FD1C1B115如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1（1）求二面角C-DE-C1的正切值；（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值16如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； (III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值QPDCBA17如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a0），PA平面AC，且PA=1（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，使得PQQD？（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQQD时，求二面角Q-PD-A的大小空间向量章节测试题答案1B。2B。3A。4C。提示：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1，0，0)，E(1，0)，C(0，1，0)设平面A1ECF的法向量为n=(x，y，z)，则由=0及=0，可得x=z=y，于是可取n=(1，1)，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60而其它的面对角线所在的向量均不满足条件5 D。6C。7C。8A。9D。10 D11。12 。13设AC与BD相交于点O，则与所成的角即EOC为所求易得大小为451415（1）如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有其中z0取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，n0与所成的角为二面角C-DE-C1的平面角，（2）设EC1与FD1所成角为b，则16 (1) PC平面ABC,平面ABC，PCAB.CD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB二面角C-PA-B的大小的余弦值为 (2) 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B为原点，如图建立坐标系则（,），（0,0,0）， C（,0），P（,2）=(,2)，=(,0,0)则=+0+0=2 = 异面直线AP与BC所成的角为 （3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)=(0, ,0),=(,2)，则 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1) 设平面PAC的法向量为n=(x, y, z).(0,0,2), =(,0)， 则 即解得 令x=1, 得 n= (1，1，0) z第10题答图QPDCBAyxMN=. 二面角C-PA-B的大小的余弦值为17（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图所示PA=AB=1，BC=a，P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，a，0）（2）设点Q（1，x，0），则由，得x2-ax+1=0显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQQD，故=a2-40因a0，故a的取值范围为a0（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，