高中数学 2.1.5.1两点间的距离公式课件 北师大版必修2 .ppt

对于平面内两点间距离公式的理解 1 当a b中有一个为原点时 公式变为 2 如果ab x轴 则 ab x2 x1 如果ab y轴 则 ab y2 y1 特别地 如果能确定a b的先后顺序 则上式中的绝对值号均可以去掉 为计算方便 可依据a b两点的具体位置 选择相应的计算方法 求两点间的距离 例1 求下列两点间的距离 1 a 2 5 b 2 5 2 a 2 5 b 2 5 3 a 0 0 b 3 4 审题指导 已知两点的坐标 解答本题的关键是先具体分析两点的位置 然后代入相应公式运算 规范解答 1 方法一 方法二 易知直线ab平行于y轴 ab 5 5 10 2 方法一 方法二 易知直线ab平行于x轴 ab 2 2 4 变式训练 求下列两点间的距离 1 a a b b b a 2 a 0 0 b x y 解析 利用两点间的距离公式求参数的值 利用两点间的距离公式求参数的值 1 一般是采取待定系数法 其实质就是先利用两点间的距离公式建立方程 然后利用方程的思想求解参数 2 解答此类问题有时可利用点与点 点与线 线与线的位置关系 结合图形 转化成对称问题或线与线的交点问题来解决 例2 已知点在x轴上找一点p 使得 pa pb 并求出 pa 的值 审题指导 解答本题的关键是利用 pa pb 建立关于p点坐标的方程 利用方程的思想求解 规范解答 设p x 0 则由 pa pb 可得解得 互动探究 把本题的条件 在x轴上找一点p 换成 在y x上找一点p 其他条件不变 求点p的坐标 解题提示 设点p x x 利用 pa pb 列方程求解 解析 因点p在直线y x上 故可设点p x x 由 pa pb 得解得 点p的坐标为 1 对解析法的认识解析法是建立平面几何与代数运算间关系的桥梁 是它们之间相互转化的纽带 平面几何中求线段长度 判断点的位置 证明线段成比例等问题 都可以通过解析法转化为代数问题来解决 解析法的应用 2 解析法证明几何问题的步骤用解析法解题的关键是建立适当的坐标系 例3 用坐标法证明 三角形的中位线长为其对应边长的一半 审题指导 1 用坐标法证明需要建立适当的平面直角坐标系 2 要证明三角形的中位线长与其对应边长的关系 需应用坐标表示出三角形的中位线长及对应边长 再找其对应关系 规范解答 已知 abc d e分别是边ac和bc的中点 求证 证明 以a为原点 ab所在的直线为x轴 建立平面直角坐标系 如图所示 则a 0 0 设b c 0 c a b a 0 b 0 c 0 由d e分别是边ac和bc的中点可知由两点间的距离公式得又 ab c 所以 ab 2 de 所以三角形的中位线长为其对应边长的一半 变式训练 已知梯形abcd中 ab cd ad bc 试建立适当的直角坐标系 证明 对角线 ac bd 证明 以ab所在直线 ab的中垂线分别为x轴 y轴 建立如图所示的坐标系 设a a 0 d b c 则b a 0 c b c ac bd 距离公式几何意义的理解 1 涉及到有关的最值运算时常常考虑距离公式的几何意义 即把函数f x y 的最值问题等价转化成平面直角坐标系上的点p x y 到点b a b 的距离的最值问题 利用两点间的距离公式的几何意义解题 2 距离公式从本质上反映了代数问题几何化的思想 为一些代数问题的解决提供了几何背景 因此解答含有的问题时 可通过构造几何图形 借助几何图形的直观性来解决代数问题 在构造几何图形时 应灵活变形 重在体现代数问题几何化的思想 例 求函数的最小值 审题指导 已知的函数解析式是两部分的代数和 且都含有根式 联想平面上两点间的距离公式 先对被开方数分别实行配方 然后转化成 平面上的点到两定点的距离之和最小 这才是解决本题的关键 规范解答 令a 6 1 b 2 3 p x 0 则要求函数f x 的最小值等价于在x轴上找一点p 使 pa pb 最小 如图所示 设b关于x轴的对称点为b 则b 2 3 pa pb pa pb ab 当b p a三点共线时取等号 即 pa pb 的最小值为也就是f x 的最小值为 变式备选 求函数的值域 解题提示 先把函数f x 转化成动点 x 0 到平面上两点间的距离差 然后借助图形求解 解析 设a 6 1 b 2 3 p x 0 则f x 表示动点p x 0 到a 6 1 和b 2 3 的距离之差 即f x pa pb 如图所示 当a b p三点共线时 有 pa pb ab 又且由三角形的知识可知 pa pb ab f x 的值域为 典例 12分 2011 黄岗高二检测 一条直线l经过点p 2 3 且和两条直线l1 3x 4y 7 0和l2 3x 4y 8 0分别相交于a b两点 若求直线l的方程 审题指导 直线l经过点p 2 3 故只需知道该直线的斜率便可求出直线l的方程 因此求解本题的关键是先求出a b两点的坐标 然后由已知条件 建立直线斜率的等量关系并求解 规范解答 1 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为x 2 此时的交点分别为则不合题意 4分 2 当直线l的斜率存在时设为k 则直线l的方程为由得 6分 由得 8分 7k2 48k 7 0 k 7或 10分 所求直线的方程为7x y 17 0或x 7y 19 0 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 2011 佛山高二检测 已知a b为x轴上不同的两点 点p的横坐标为1 且 pa pb 若直线pa的方程为x y 1 0 则直线pb的方程为 a x y 3 0 b x 3y 7 0 c x y 5 0 d x 2y 3 0 解析 选a 由 pa pb 可知直线pa pb关于直线x 1对称 在直线pb上任取一点 x y 其关于直线x 1对称的点 2 x y 必在直线pa上 又直线pa的方程为x y 1 0 所以直线pb的方程为x y 3 0 1 a b是数轴上的两点 点b的坐标是 1 ab 3 则点a的坐标是 a 2 b 4 c 2或 4 d 4 解析 选c ab xb xa 3 且xb 1 故xa 2或 4 2 两点a 1 3 b 2 5 之间的距离为 a b c d 3 解析 选b 由两点间的距离公式得 3 以点a 3 0 b 3 2 c 1 2 为顶点的三角形是 a 等腰三角形 b 等边三角形 c 直角三角形 d 等腰直角三角形 解析 选c bc 2 ac 2 ab 2 abc为直角三角形 4 如图所示 则 1 ab 2 ac 3 bd 解析 由图可知a 4 0 b 0 2 c 1 0 d 0 2 ac 1 4 5 bd 2 2 4 答案 2 5 3 4 5 已知点m x 4 与点n 2 3 间的距离为则x等于 解析 x2 4x 45 0 解得x 5或9 答案 5或9 6 用解析法证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和 证明 如图 以顶点a为坐标原点 ab边所在直线为x轴 过点a且垂直于ab的直线为y轴 建立平面直角坐标系 有a 0 0 设b a 0 d b c 由平行四边形的性质得点c的坐标为 a b c 因为 ab 2 a2 cd 2 a2 ad 2 b2 c2 bc 2 b2 c2 ac 2 a b 2 c2 bd 2 a b 2 c2 所以 ab 2 cd 2 ad 2 bc 2 2 a2 b2 c2 ac 2 bd 2 2 a2 b2 c2 所以 ab 2 cd 2 ad 2 bc 2 ac 2 bd 2 因此 平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和 一 选择题 每题4分 共16分 1 如图 数轴上到1 2两点距离之和等于1的点的集合 a 0 3 b 0 1 2 3 c 1 2 d x 1 x 2 解析 选d 结合数轴上点的特征及距离的计算方法易知数轴上到1 2两点距离之和等于1的点的集合为 x 1 x 2 2 2011 广州高一检测 已知点a 1 2 点b 5 2 则在坐标轴上到点a与点b的距离相等的点的坐标是 a 3 0 和 3 0 b 0 3 和 0 3 c 3 0 和 0 3 d 3 0 和 0 3 解析 选d 由题可知该点的坐标即为线段ab的中垂线与坐标轴的交点 又线段ab的中垂线的方程为x y 3 0 所以在坐标轴上到点a与点b的距离相等的点的坐标是 3 0 和 0 3 3 无论m为何实数值 直线y 1 m x 2 总过一个定点a 该定点a到点b 2 2 的距离为 a 0 b 1 c 2 d 5 解析 选b 直线y 1 m x 2 总过定点a 2 1 由两点间的距离得 ab 2 1 1 4 过点a 4 a 和点b 5 b 的直线与y x m平行 则 ab 的值为 a 6 b c 2 d 不能确定 解析 选b 又 过a b的直线与y x m平行 b a 1 二 填空题 每题4分 共8分 5 2011 南京高二检测 已知两点a 0 m b 8 5 之间的距离是17 则实数m的值为 解析 m 5 2 225 m 10或m 20 答案 10或 20 6 2011 福州模拟 一条光线经过点p 2 3 射在直线l x y 1 0上 反射后穿过点q 1 1 则该光线从点p到点q所走的路程为 解题提示 根据光的反射原理 求出点q关于直线l的对称点q 计算 pq 即可 解析 设点q关于直线l的对称点q 的坐标为 x y 由题意可知qq l 且线段qq 的中点在直线l上 即解得即q 2 2 答案 三 解答题 每题8分 共16分 7 已知 abc的三个顶点坐标分别为a 1 1 b 5 3 c 0 3 求证 abc是直角三角形 证明 ab 2 ac 2 bc 2 abc是直角三角形 8 已知 abd和 bce是在直线ac同侧的两个等边三角形 如图所示 用解析法证明 ae cd 解题提示 以点b为坐标原点 以ac所在的直线为x轴建立平面直角坐标系 利用等边三角形设出相应点的坐标 用两点间的距离公式证明 证明 如图 以b点为坐标原点 取ac所在直线为x轴 建立平面直角坐标系xoy 设 abd和 bce的边长分别为a c a 0 c 0 挑战能力 10分 已知点a 1 1 点b 3 5 点p是直线y x上的动点 当 pa pb 的值最小时 求点p的坐标 解析 如图 ab与直线y x交于点q 则当点p移动到点q位置时 pa pb 的值最小 直线ab的方程为即3x y 4 0 解方程组得于是当 pa pb 的值最小时 点p的坐标为 2 2 方法技巧 揭秘直线上动点到两定点距离最值的求法已知动点p在定直线l上运动 给定的两点a b 1 如果两点都处于直线l的同一侧 求 pa pb 的最小值时 常常找出其中一点 不妨设点a 关于直线l的对称点 得到a 此时 pa pb 的距离就等价转化为 pa pb 显然当a b p三点共