复数基础知识导引

【基础知识导引】1掌握复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方的运算法则，熟练地进行复数的三角形式的运算。2理解复数乘法、除法的几何意义。3掌握复数集内实系数一元二次方程的解法。4了解二项方程的概念，掌握二项方程的解法以及根的几何分布。【教材内容全解】1两个复数与相乘，有即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和2根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下(图5-11)：在复平面内作出、对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角 (若，则按顺时针方向旋转一个角)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量就表示积，也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩旋转方向与角度取决于另一复数的辐角，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小3两个复数与相除，有即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差4根据三角形式的除法法则，结合向量知识，可以对复数除法的几何意义解释如下(图5-12)：在复平面内作出、所对应的向量，将向量按顺时针方向旋转一个角 (若，则按逆时针方向旋转一个角)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量就表示商。也就是说，复数除法实质上也是向量的旋转与伸缩，旋转的方向和角度取决于，伸长与缩短及其倍数取决于。5复数的三角形式的乘方运算若z=r(cos+isin)，n为正整数，则即复数的n次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍这个公式也叫做棣莫弗公式6复数的三角形式的开方运算若z=r(cos+isin)，则z的n次方根是注意：(1)任意复数的n次方根有且只有n个，这n个方根仍然是复数；(2)公式中是指正数r的n次算术根7在复数集内任何实系数一元二次方程都是有解的，当实系数一元二次方程的根的判别式时，其求根公式为8形如的方程称为二项方程二项方程在复数集中一定有解，它的n个根对应复平面内的n个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆上以原点为起点，相邻两点分别为终点的两个向量间的夹角为【难题巧解点拨】例1 计算（1）；（2）解 （1）原式 ；（2）原式 说明：复数的乘、除运算一般用三角形式较方便，最后结果中辐角是特殊角时，常常化为代数形式表示。例2 设复数、对应的向量为、，O为坐标原点，且。若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数。解 依题意，。说明：本例是把向量旋转问题与复数三角形式的乘、除法联系起来，列出复数等式，从而求出，还可以用数形结合的方法，求出的辐角主值为，模为2，于是。例3 已知复数，求3i-|z|的模与辐角主值。分析 应先求|z|，再代入求解。解 ，3i-|z|=3i-4=-4+3i。因为|-4+3i|=5，即3i-|z|的模是5。又-4+3i在第二象限，。例4 已知，求正整数n的最小值。解 原式可化为，即，。，。，n=-3(2k+1)(kZ)。因此正整数n的最小值为3。例5 已知复数z的一个四次方根是，求它的另外三个四次方根。解法1： 。z的四次方根是，k=0，1，2，3。可得所求的另外三个四次方根是，。解法2：，又k取0，1，2，3时，方根的辐角相差，因此其他三个四次方根分别是，。说明：解法1是由方根乘方求出复数，只要有z的值，z的任意n次方根便可求得。解法2则充分注意到n次方根中，k取0，1，2，n-1各值时，辐角依次成等差数列，公差为，从而由一个的辐角，容易求出其他n个根的辐角。例6 求arg(3+i)+arg(2+i)的值。解法1：设=arg(3+i)，=arg(2+i)，则有，。，又0(+) ，即。解法2：，又arg(3+i)、，。例7 已知复平面内，点A、B、C分别对应复数z、，且，求（1）向量、对应的复数； （2）BAC的大小。解 （1）对应的复数为。对应的复数为。（2）与的夹角BAC=90。说明：由本例可以看出，利用复数除法可以求两个向量的夹角。例8 已知方程有两个虚数根和，且|-|=4，求实数m的值。分析 注意到和都虚数根，而mR，所以和应是共轭复数。解 由于和是实系数方程的两个虚根，则有=4-4m1。解方程，得，。当|-|=4，得|，于是，m=5。说明：应当注意，当和是虚数时，等式是不成立的，所以应用它求m的值是错误的，但是等式是成立的，因此本例也可以利用上述等式及根与系数关系求解。【课本习题解答】练习（第217）页）1（1）；（2）；（3）；（4）30(cos180+isin180)=-30。2（1）；（2）；（3）；（4）。3见本节“【教材内容全解】”中第4条。4（1）， ；（3）， 。练习（第222页）1（1）3i； （2）1.7i；（3）； （4）；（5）|m|i（也可答mi）； （6）。2（1） （2）；（3）； （4）。3（1）因为，所以它的平方根是，即-i的平方根是下面两个复数：，。（2）因为，所以它的平方根是即的平方根是下面两个复数：，。（3）因为1=cos0+isin0，所以它的立方根是。即1的立方根是下面三个复数：1，。（4）因为-16=16(cos+isin)，所以它的四次方根是即-16的四次方根是下面四个复数：，。4因为实系数一元二次方程在复数集内有两个根，所以。5因为，所以根据复数五次方根在复平面内所对应的点的几何特征，可知z的另外四个五次方根是，6（1），所以，即，。（2），所以，即，。（3），所以，即，。（4），所以，即，。根的几何表示从略。7可以得到一个以原点为中心，以实数为半径长的正n边形，这个正n边形是以原点为圆心，以实数为半径的圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。习题561（1）；（2）.2（1）左边=右边（2）左边= =右边3（1）；（2） .4因为2，把复数对应的向量按逆时针方向旋转60，相当于把复数乘以，所以所得的向量对应的复数是，即.（2）因为，把复数对应的向量按顺时针方向旋转60，相当于把复数除以，所以与所得的向量对应的复数是，即。5（1）左边右边。（2）当时，由第（1）小题，有，的模是，辐角是；当时，由第（1）小题，有，的模是1，辐角是；当时，有，由第（1）小题，有，的模是1，辐角是；6（1）原式。（2）原式。7证明：A、O、B是AOB的三个顶点，所以，设，且不妨设，则由棣莫弗公式，可得，。由及复数相等的定义，所以将+，可得即由，可得。由得（与不符，舍去），或，即所以AOB是直角三角形8（1）原式 ，（2）原式 。9 10由习题55的第3题及棣莫弗公式，可知左边 右边11（1），所以。（2），所以。（3），所以x=4i。（4），所以。12提示：将，按复数加法、乘法的定义进行运算，即可获证。13（1）或（2）先求出，然后仿照解第（1）小题的方法，可得或或或14由和第12题的结论，有，；又由已知条件，有，所以。由pR，知，所以，或。当时，有；当时，有；当时，有x=1i；当时，有x=-1i。15因为1=cos0+isin0，1的六次方根是，即1的六次方根是下面六个复数：1，-1，。根的几何表示从略。16（1）8(cos60+isin60)的六次方根是，即，（2），所以-i的五次方根是，即，。17（1），所以，即，。（2），所以，即，。【同步达纲练习】一、选择题1已知复数，则的辐角主值是（ ）A B C D2把复数a+bi(a，bR)在复平面内的对应向量，绕O点按顺时针方向旋转90后，所得向量对应的复数为（ ）Aa-bi B-a+bi Cb-ai D-b+ai3复平面内向量、分别对应于非零复数和，若，则一定是（ ）A非负数 B纯虚数 C正实数 D非纯虚数4设3+4i的辐角主值为，则(3+4i)i的辐角主值是（ ）A B C D5设-1a1，z是复数，且满足，则复数z在复平面内对应点在（ ）Ay轴左方 By轴右方 Cx轴上方 Dx轴下方6复数，是由绕原点按逆时针方向旋转得到，则的值为（ ）A B C D二、填空题7_。8_。9把复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角（02)，所得向量对应的复数为-2，则=_。10复平面内向量对应的复数为2+i，A点对应的复数为-1，把绕A点按顺时针方向旋转90后，得到向量，则C点对应的复数为_。三、解答题11若复数，满足，且，求的值。12关于x的方程的两虚根为、，且满足|-|=3，求实数m的值。13若复数，满足，求使为实数的最小自然数n。14在复平面内，直角ABC的顶点A、B、C对应的复数分别为z，若|z|=2，求复数z。参考答案【同步达纲练习】一1B 2C 3B 4A 5C 6D二、