高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆课件 文.ppt

文数课标版 第五节椭圆 1 椭圆的定义平面内到两个定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做 椭圆 这两个定点叫做椭圆的 焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a 0 c 0 且a c为常数 教材研读 1 若 a c 则集合p表示椭圆 2 若 a c 则集合p表示线段 3 若 a c 则集合p为空集 2 椭圆的标准方程和几何性质 3 点p x0 y0 和椭圆的位置关系 1 p x0 y0 在椭圆内 1 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成 pf1f2的周长为2a 2c 其中a为椭 圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆既是轴对称图形 又是中心对称图形 4 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 5 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲线是椭圆 1 如图所示 一圆形纸片的圆心为o f是圆内一定点 m是圆周上一动点 把纸片折叠使m与f重合 然后抹平纸片 折痕为cd 设cd与om交于点p 则点p的轨迹是 a 椭圆b 双曲线c 抛物线d 圆答案a由折叠过程可知点m与点f关于直线cd对称 故 pm pf 所以 po pf po pm om r of r为圆o的半径 故由椭圆的定义可知 点p的轨迹为椭圆 2 已知f1 f2是椭圆 1的两焦点 过点f2的直线交椭圆于a b两点 在 af1b中 若有两边之和是10 则第三边的长度为 a 6b 5c 4d 3答案a根据椭圆的定义 知 af1b的周长为4a 16 故所求的第三边的长度为16 10 6 3 椭圆x2 my2 1 m 0 的焦点在y轴上 长轴长是短轴长的2倍 则m等于 a b 2c 4d 答案d由x2 1 m 0 及题意知 2 2 2 1 解得m 故选d 4 已知椭圆的方程为2x2 3y2 m m 0 则此椭圆的离心率为 a b c d 答案b2x2 3y2 m m 0 1 c2 e2 又0 e 1 e 故选b 5 已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f 1 0 离心率等于 则c的方程是 答案 1解析依题意 设椭圆方程为 1 a b 0 则有解得a 2 b2 3 故c的方程为 1 考点一椭圆的定义及标准方程典例1 1 已知两圆c1 x 4 2 y2 169 c2 x 4 2 y2 9 动圆在圆c1内部且和圆c1相内切 和圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 a 1b 1c 1d 1 2 已知椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点为f1 f2 离心率为 过f2的直线l交c于a b两点 若 af1b的周长为4 则c的方程为 a 1b y2 1c 1d 1 考点突破 3 已知f1 f2是椭圆c 1 a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且 若 pf1f2的面积为9 则b 答案 1 d 2 a 3 3解析 1 设圆m的半径为r 则 mc1 mc2 13 r 3 r 16 又 c1c2 8 16 动圆圆心m的轨迹是以c1 c2为焦点的椭圆 且2a 16 2c 8 则a 8 c 4 b2 48 故所求的轨迹方程为 1 2 由题意及椭圆的定义知4a 4 则a 又 c 1 b2 2 c的方程为 1 3 pf1 pf2 2a pf1 2 pf2 2 f1f2 2 4c2 2 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 pf1 pf2 2b2 pf1 pf2 2b2 b2 9 b 3 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 4c2 1 椭圆定义的应用类型及方法 1 利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆 2 利用定义解决与焦点三角形相关的周长 面积及最值问题 方法指导 2 椭圆标准方程的求法求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 具体过程是先定形 再定量 即首先确定焦点所在位置 然后再根据条件建立关于a b的方程组 如果焦点位置不确定 要考虑是否有两解 有时为了解题方便 也可把椭圆方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 1 1一个椭圆的中心在原点 焦点f1 f2在x轴上 p 2 是椭圆上一点 且 pf1 f1f2 pf2 成等差数列 则椭圆的标准方程为 a 1b 1c 1d 1答案a设椭圆的标准方程为 1 a b 0 由点p 2 在椭圆上知 1 又 pf1 f1f2 pf2 成等差数列 则 pf1 pf2 2 f1f2 即2a 2 2c 又c2 a2 b2 联立得a2 8 b2 6 故椭圆方程为 1 1 2设f1 f2分别是椭圆e x2 1 00 又 af1 3 f1b 由 3得b 代入x2 1得 1 又c2 1 b2 b2 故椭圆e的方程为x2 y2 1 考点二椭圆的几何性质典例2 1 2016课标全国 12 5分 已知o为坐标原点 f是椭圆c 1 a b 0 的左焦点 a b分别为c的左 右顶点 p为c上一点 且pf x轴 过点a的直线l与线段pf交于点m 与y轴交于点e 若直线bm经过oe的中点 则c的离心率为 a b c d 2 已知动点p x y 在椭圆 1上 若a点的坐标为 3 0 1 且 0 则 的最小值为 答案 1 a 2 解析 1 解法一 设点m c y0 oe的中点为n 则直线am的斜率k 从而直线am的方程为y x a 令x 0 得点e的纵坐标ye 同理 oe的中点n的纵坐标yn 因为2yn ye 所以 即2a 2c a c 所以e 故选a 解法二 如图 设oe的中点为n 由题意知 af a c bf a c of c oa ob a pf y轴 又 即 a 3c 故e 2 由 1 a 3 0 知点m在以a 3 0 为圆心 1为半径的圆上运动 0 pm am 即pm为 a的切线 连接pa 如图 则 又 p在椭圆上运动 当 min 5 3 2时 min 方法技巧求椭圆离心率的常用方法 1 直接求出a c 利用定义求解 2 构造a c的齐次式 解出e 由已知条件得出关于a c的二元齐次方程 然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解 3 通过特殊值或特殊位置求出离心率 2 1 2016课标全国 5 5分 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 则该椭圆的离心率为 a b c d 答案b如图 ob 为椭圆中心到l的距离 则 oa of af ob 即bc a 所以e 故选b 2 2已知f1 f2分别是椭圆x2 2y2 2的左 右焦点 点p是该椭圆上的一个动点 那么 的最小值是 a 0b 1c 2d 2答案c设p x0 y0 则 1 x0 y0 1 x0 y0 2x0 2y0 2 2 点p在椭圆上 0 1 当 1时 取最小值 为2 考点三直线与椭圆的位置关系典例3已知椭圆e 1 a b 0 的离心率为 右焦点为f 1 0 1 求椭圆e的标准方程 2 设点o为坐标原点 过点f作直线l与椭圆e交于m n两点 若om on 求直线l的方程 解析 1 依题意可得解得a b 1 所以椭圆e的标准方程为 y2 1 2 设m x1 y1 n x2 y2 当mn垂直于x轴时 直线l的方程为x 1 不符合题意 当mn不垂直于x轴时 设直线l的方程为y k x 1 联立得方程组 消去y整理得 1 2k2 x2 4k2x 2 k2 1 0 所以x1 x2 x1 x2 所以y1 y2 k2 x1x2 x1 x2 1 因为om on 所以 0 所以x1 x2 y1 y2 0 所以k 即直线l的方程为y x 1 方法技巧 1 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦中点的问题常用 点差法 解决 往往会更简单 2 设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 ab k为直线斜率 k 0 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 3 1 2016山西太原五中月考 已知p 1 1 为椭圆 1内一定点 经过p引一条弦 使此弦被p点平分 则此弦所在的直线方程为 答案x 2y 3 0解析解法一 易知此弦所在直线的斜率存在 所以设其方程为y 1 k x 1 弦的端点坐标为 x1 y1 x2 y2 由消去y得 2k2 1 x2 4k k 1 x 2 k2 2k 1 0 x1 x2 又 x1 x2 2 2 解得k 故此弦所在的直线方程为y 1 x 1 即x 2y 3 0 解法二 易知此弦所在直线的斜率存在 所以设斜率为k 弦的端点坐标为 x1 y1 x2 y2 则 1 1 得 0 x1 x2 2 y1 y2 2 y1 y2 0 k 此弦所在的直线方程为y 1 x 1 即x 2y 3 0 3 2已知圆m x 1 2 y2 1 圆n x 1 2 y2 9 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 圆心p的轨迹为曲线c 1 求c的方程 2 l是与圆p 圆m都相切的一条直线 l与曲线c交于a b两点 当圆p的半径最长时 求 ab 解析由已知得圆m的圆心为m 1 0 半径r1 1 圆n的圆心为n 1 0 半径r2 3 设圆p的圆心为p x y 半径为r 1 因为圆p与圆m外切并且与圆n内切 所以 pm pn r r1 r2 r r1 r2 4 由椭圆的定义可知 曲线c是左 右焦点为m n 长半轴长为2 短半轴 长为的椭圆 左顶点除外 其方程为 1 x 2 2 对于曲线c上任意一点p x y 由于 pm pn 2r 2 2 所以r 2 当且仅当圆p的圆心为 2 0 时 r 2