八上第02章实数

实数一、要求1.分清有理数和无理数。2.掌握“平方根和立方根。3.掌握实数的计算。二、知识点1、有理数：整数和分数统称为有理数。有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。即任何一个有理数总可以写成两个整数的比（其中即互质）。2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。3、平方根：（1）算术平方根：如果一个正数的平方等于，那么这个数就是的算术平方根。即记为，其中根指数2可以省略。简记作，读作“根号”。规定：（2）平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就是的平方根。即求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中叫做被开方数。说明：一个正数有两个平方根，一个是算术平方根，另一个是，它们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作,读作“正、负根号”；正数有两个平方根；0只有一个平方根，就是它本身0；负数没有平方根；由于平方和开平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根，亦可以用平方运算来检验所求的的平方根是否正确。（2）平方根的性质：；（其中）算术平方根具有双重非负性：，；3、立方根：（1）立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数就是的立方根。即那么就是的立方根，记为，其中根指数3不能省略，读作“三次根号”。求一个数的平方根的运算，叫做开立方，其中叫做被开方数。说明：每一个数都有且只有一个立方根；正数的平方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数；由于立方和开立方互为逆运算，因此我们可以利用立方运算来求一个数的立方根，亦可以用立方运算来检验所求的的立方根是否正确。（2）立方根的性质：； 。4、平方根与立方根的区别与联系：区别：平方根的根指数2可以省略，而立方根的根指数3不能省略；只有非负数才有平方根，而任何数都有立方根；一个正数的平方根有两个，一个数的立方根只有一个。联系：它们都与相应的乘方运算互为逆运算；0的平方根和立方根都是0本身；5、实数：有理数和无理数统称为实数。（1）实数的分类按概念分： 按性质分： （2）相关概念相反数：实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称绝对值： ， 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离。倒数： 实数a(a0)的倒数是(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数（3）实数与数轴的关系实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。说明：对于数轴上的任意两点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；所有正数大于0；所有负数小于0；任意正数大于所有负数；两个负数，绝对值大的数反而小。（3）实数的运算有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序（在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减有括号时，先算括号里面）。在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方物种运算都可以进行。在做开方时，要注意正实数和零能开平方，也能开立方，负实数不能开平方。（4）实数有下列重要性质：1、有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里是互质的整数，且。2、有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数。经典例题：基础 ：平方根与立方根1、平方根等于本身的实数是_。 2、的算术平方根是_；1的立方根是_ ; 的平方根是 3、化简： 4、下列说法错误的是（ ） A. 1的平方根是1 B. 1的立方根是1 C. 是2的平方根 D. 0的平方根0 5、下列说法：64的立方根是4，49的算数平方根是7 ,的立方根是,的平方根是 , 其中正确说法的个数是 （ ）A.1 B.2 C .3 D.46、的平方根是（ ）A、 B、 C、 D、7、下列运算中错误的有（ ）个 A B C D8、已知2b+1的平方根为3,3a+2b-1的算术平方根为4,求a+2b的平方根。9、 实数1、在，,0,0.010010001，0.333， 3.1415，2.010101(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（ ）A.1个 B.2个 C .3个 D.4个2、把下列各数填入相应的集全内：-8.6， ，9，0.99，-，（1）有理数集全： ；（2）无理数集全： ；（3）正实数集合： ；（4）负实数集合： ；3、下列说法正确的是（ ） A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限小数 C. 无限小数是无理数 D. 是无理数4、的相反数是（ ）.A. B. C. D.5、若与|b+1|互为相反数,则的值为b-a=（ ）A. B. C. D. 6、若，则 7、若x、y都是实数，且y= ,则x+y的值为_。8、已知a、b、c为三角形三边长，且满足，则三角形的形状为_。9、下列各语句中错误的个数为（ ）.最小的实数和最大的实数都不存在；任何实数的绝对值都是非负数；任何实数的平方根都是互为相反数；若两个非负数的和为零，则这两个数都为零. A.4 B.3 C.2 D.110、比较下列实数的大小（在 填上、或） ； ； 11、实数a在数轴上的位置如图2-6-2，则a，-a，的大小关系是（ ）.A. B. C. D. 12、实数a、b、c在数轴上的对应关系如图2-6-1，化简。13、判断下列各式是否成立。你认为成立的请在（）内打 ，不成立的打。 （ ）； ( ) （ ）；( ) 你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并说明n的取值范围？ 根式化简1、化简：（1）； （2）； （3）2、计算：（1）;（2）（3）; （4）;（5）（6）。3、化简（1） （2）4、计算（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；（6）;（7）;（8）; （9）; （10）; （11）（12）竞赛：【例1】已知的平方根是及，求的的值。【例2】求的立方根。思路点拨：将看作一个整体。【例3】已知实数满足条件，求的值。若a、b满足，则S的取值范围是 _。 已知，求代数式的值。思路点拨：利用非负数的性质； 利用恒等变形、整体代入的思想。【例4】设是一个无理数，且满足，则是一个( ) A、小于0的有理数 B、大于0的有理数 C、小于0的无理数 D、大于0的无理数 下列各实数中最大的是( ) A、 B、 C、 D、思路点拨：对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式。根据各选项的特点选取一个参照标准，然后以此标准判断。【例5】已知是有理数，且，求的值。思路点拔：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于的方程组。【例6】(1)已知的小数部分是，的小数部分是，求。(2) 已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且满足，求的值。(3)设为一实数，表示不大于的最大整数，求满足77.66=77.66+1的整数的值。思路点拨：(1)一个数可以改写成整数部分与小数部分之和，我们只要求其整数部分就可以知道小数部分了；(2)运用估算的方法，先确定的值，再代入中求出a、b的值；(3)运用的性质，简化方程。注：设x为一实数，则表示不大于的最大整数，又叫做实数的整数部分，有以下基本性质： (1)1 (2)若，则； (3)若为实数，为整数，则+= + 。【例7】化简：(1)；(2).思路点拨：(1)用拆项、凑项的方法配成完全平方式。(2)仔细观察，制造相同因数达到通过约分化简的目的。【例8】已知在等式中，都是有理数，是无理数，解答：(1)当满足什么条件时，s是有理数；(2) 当满足什么条件时，s是无理数。 思路点拨：(1)把s用只含a、b、c、d的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：设a 是有理数，r是无理数，那么a+r是无理数；若a 0，则a r也是无理数；r的倒数也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a、b、c、d取值进行详细讨论。注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾。中考：一、选择题1. （2011福建泉州，1）在实数0，2中，最小的是（ ）.A B C0 D22. （2011广东广州市，1）四个数5，0.1，中为无理数的是( ).A. 5 B. 0.1 C. D. 3. （2011福建泉州，2）(2)2的算术平方根是（ ）.A 2 B 2 C2 D 4. （2011四川成都，8,3分）已知实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 (A) (B) (C) (D) 5. （2011山东滨州，10）在快速计算法中,法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的,而后面“六到九”的运算就改用手势了.如计算89时,左手伸出3根手指,右手伸出4根手指,两只手伸出手指数的和为7,未伸出手指数的积为2,则89=107+2=72.那么在计算67时,左、右手伸出的手指数应该分别为 ( )A.1,2 B.1,3 C.4,2 D.4,36. （2011湖北鄂州，10）计算=（ ）A2B2C6D107. （2011山东菏泽6）定义一种运算，其规则为ab=，根据这个规则、计算23的值是 A B C5 D68. （2011台湾台北，19）若a、b两数满足a3103，a103b，则之值为何？A B C D9. （2011台湾全区，12）12判断312是96的几倍？A 1 B ()2 C ()6 D (6)210. （2011湖南常德，9）下列计算错误的是（ ） A. B. C. D.11. （2011湖北襄阳，6）下列说法正确的是（ ）A.是无理数B.是有理数C.是无理数D.是有理数12. （2011贵州贵阳，6）如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（第6题图） （A）2.5 （B）2 （C） （D） 13（2011广东茂名，9）对于实数、，给出以下三个判断： 若，则 若，则 若，则 其中正确的判断的个数是（ ）A3 B2 C1 D0二、填空题1. （2011安徽，12）根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E与震级n的关系为E=10n，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是 2. 2011江苏连云港，13）如图，是一个数值转换机.若输入数为3，则输出数是_.输入数（ ）2-1（ ）2+1输出数减去53. （2011湖南怀化，11）定义新运算：对任意实数a、b，都有ab=a2-b,例如，32=32-2=7，那么21=_.4（2011安徽，14，5分）定义运算aUb=a（1b），下面给出了关于这种运算的几个结论：2U（2）=6 aUb= b U a若a+b=0，则（aU a）+（b U b）=2 ab 若aUb=0，则a =0其中正确结论的序号是 （在横线上填上你认为所有正确结论的序号）5. (20011江苏镇江,9)计算:-(-)=_;=_;=_; =_.6. （2011广东湛江20,4分）已知：,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算 （直接写出计算结果），并比较 （填“”或“”或“=”）7. （2010湖北孝感，17）对实数a、b，定义运算如下：ab=，例如23=2-3=.计算2（4）（4）（2）三、解答题1. （2011浙江金华，17）计算：|1|（5）0. 2. （2011福建福州，16）计算: 3. （2011山东济宁18）观察下面的变形规律： 1； ；解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想 ；（2）证明你猜想的结论；（3）求和： .4. （2011浙江温州，17）计算：；5. （2011江苏连云港，17）计算.6. （2011四川成都，23）设, ，设，则S=_ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)7. （2011四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过nn的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+n2但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道01+12+23+(n1)n=n(n+1)(n1)时，我们可以这样做：(1)观察并猜想：12+22=(1+0)1+(1+1)2=1+01+2+12=(1+2)+(01+12)12+22+32=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3=1+01+2+12+3+23=(1+2+3)+(01+12+23)12+22+32+42=(1