一元二次方程【韦达定理、根与系数的关系练习+答案】

第 1 页 共 15 页 韦达定理与根与系数的关系练习题韦达定理与根与系数的关系练习题 一 填空题一 填空题 1 关于的方程 当 时 方程有两个正数根 x032 2 mxx 当 时 方程有一个正根 一个负根 m 当 时 方程有一个根为0 m 2 已知一元二次方程的两根为 则 0132 2 xx 1 x 2 x 21 xx 3 如果 是方程的两个根 那么 1 x 2 x065 2 xx 21 xx 4 已知 是方程的两实数根 则的值为 1 x 2 x036 2 xx 2 1 1 2 x x x x 5 设 是方程的两个根 则 1 x 2 x0342 2 xx 1 1 21 xx 6 若方程的两根为 则 0342 2 xx 22 2aa 7 已知 是关于的方程的两个实数根 且 则 1 x 2 xx01 1 22 axxa 1 x 2 x 3 1 21 xx 8 已知关于的一元二次方程的两根为和 且 x064 2 xmx 1 x 2 x2 21 xx 则 m 21 21 xx xx 9 若方程的两根之比是2 3 则 052 2 kxx k 10 如果关于的方程的两根差为2 那么 x06 2 kxx k 11 已知方程两根的绝对值相等 则 042 2 mxx m 12 已知方程的两根互为相反数 则 02 2 mxx m 13 已知关于的一元二次方程两根互为倒数 则 x01 1 1 22 xaxa a 14 已知关于的一元二次方程 若方程的两根互为倒数 则 x0 1 2 22 mxmx m 若方程两根之和与两根积互为相反数 则 m 15 一元二次方程的两根为 0 和 1 则 0 0 2 prqxpx qp 16 已知方程 要使方程两根的平方和为 那么常数项应改为 013 2 xx 9 13 17 已知方程的一个根比另一个根小4 则 024 2 mxx m 第 2 页 共 15 页 18 已知关于的方程的两根立方和为 0 则 x03 2 kxx k 19 已知关于的方程的两根为 且 则 x0 1 23 2 mmxx 1 x 2 x 4 311 21 xx m 20 若方程与有一个根相同 则 04 2 mxx02 2 mxx m 21 一元二次方程的两根与的两根之间的关系是 0132 2 xx023 2 xx 22 请写出一个二次项系数为 1 两实根之和为 3 的一元二次方程 23 已知一元二次方程的两根之和为 5 两根之积为 6 则这个方程为 24 若为实数且 则以为根的一元二次方程为 0 2 3 2 其中二次项系数为1 25 求作一个方程 使它的两根分别是方程两根的二倍 则所求的方程为 023 2 xx 二 解答题二 解答题 1 已知m 是一元二次方程的两个实数根 求的值 n052 2 xxmnm232 22 2 设 是方程的两个根 求 的值 1 x 2 x0142 2 xx 21 xx 3 已知 是方程的两个实数根 且 1 x 2 x02 2 axx232 21 xx 1 求 及的值 2 求的值 1 x 2 xa 21 2 1 3 1 23xxxx 4 已知 是一元二次方程的两个实数根 且 1 x 2 x0 2 nxmx3 2 21 2 2 2 1 xxxx 求和的值 5 22 2 2 2 1 xx mn 5 已知 且 求的值 aa 1 2 bb 1 2 ba 1 1 ba 第 3 页 共 15 页 6 设 且 求的值 01163 2 aa01163 2 bbba ba 7 已知 是关于的二次方程 的两个不等实根 x04 4 2 2 2 mxmxm 1 若为正整数时 求此方程两个实根的平方和的值 2 若时 求的值 m6 22 m 8 已知关于的二次方程的一个根是 求另一个根及的值 x01 2 mxx12 m 9 已知方程的一根是 5 求方程的另一根及的值 0105 2 mxxm 10 已知是的一根 求另一根和的值 32 04 2 kxxk 11 1 方程的一个根是 则另一个根是 03 2 mxx2 2 若关于的方程的两个根中只有一个根为0 那么应满足 y0 2 nmyynm 12 如果是方程的一个根 则 另一个根为 1 x0132 2 mxx m 13 已知关于的方程的一个根是 2 求它的另一个根及的值 xmxx 52 2 m 14 已知关于的方程的一个根是 2 求它的另一个根及 的值 xtxx 13 2 t 第 4 页 共 15 页 15 在解方程时 小张看错了 解得方程的根为1与 3 0 2 qpxxp 小王看错了 解得方程的根为4与 2 这个方程的根应该是什么 q 16 已知一元二次方程 05 1 8 2 mymy 1 为何值时 方程的一个根为零 m 2 为何值时 方程的两个根互为相反数 m 3 证明 不存在实数 使方程的两个相互为倒数 m 17 方程中的是什么数值时 方程的两个实数根满足 03 2 mxxm 1 一个根比另一个根大2 2 一个根是另一个根的3倍 3 两根差的平方是17 18 已知一元二次方程 根据下列条件 分别求出的值 07 12 8 2 mxmxm 1 两根互为倒数 2 两根互为相反数 3 有一根为零 4 有一根为1 20 已知关于的一元二次方程的两根之差为11 求的值 x012 2 mxxm 21 已知关于的二次方程有实数根 x05 2 2 22 axax 且两根之积等于两根之和的2倍 求的值 a 第 5 页 共 15 页 22 已知方程有两个不相等的正实根 0 2 cbxx 两根之差等于3 两根的平方和等于29 求的值 cb 23 已知关于的方程的两根满足关系式 求的值及两个根 x01 1 2 2 mxmx1 21 xxm 24 已知关于的方程的两个实数根的平方和等于 6 求的值 x02 1 2 kxkxk 25 是关于的一元二次方程的两个实数根 x01 1 2 xxm 且满足 求实数的值 1 1 1 m m 26 是关于的方程的两个实根 x0444 22 mmmxx 并且满足 求的值 100 9 1 1 1 m 27 已知 是关于的方程的两根 求的值 x01 2 2 xmx 1 1 22 mm 28 已知关于 的方程 问 是否存在正实数 使方程的两个实数根的平方和x0 2 2 22 mxmxm 等于 56 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 m 29 关于的一元二次方程的x0 2 14 3 22 mmxmx 两实根之和等于两个实根的倒数和 求的值 m 第 6 页 共 15 页 30 已知关于的一元二次方程 的两根之比为 求证 x0 2 cbxax0 a1 2acb92 2 31 已知方程和有一个相同的根 求的值及这个相同的根 04 2 mxx016 2 2 xmxm 32 已知关于的一元二次方程的两根为 且两个关于的方程x0 2 cbxax x 与有唯一的公共根 求的关系式 0 1 22 xx0 1 22 xxcba 33 已知 是关于的方程的两根 是关于的方程的 1 x 2 xx0 2 qpxx1 1 x1 2 xx0 2 pqxx 两根 求常数的值 qp 34 已知方程的两实根是和 方程的两实根是和 012 2 mxx 1 x 2 x0 2 nmxx7 1 x7 2 x 求和的值 mn 35 已知 为实数 且 求下列各式的值 0742 2 ss0247 2 ttts 1 st 1 2 t st1 t sst323 36 已知 是关于的方程的两个实数根 是关于的方程 1 x 2 xx0 22 nxmx 1 y 2 yy 的两个实数根 且 求 的值 075 2 myy2 11 yx2 22 yxmn 37 关于的方程有两个乘积为1的实根 x01 32 22 xmxm 有大于 0 且小于 2 的根 求的整数值 0462 2 22 mmaxmaxa 第 7 页 共 15 页 38 已知关于的方程两根相等 方程的一个根是另一个根的3倍 x02 2 nxmx034 2 nmxx 求证 方程一定有实数根 0 2 mkxnkx 39 已知关于的一元二次方程 x012 14 2 mxmx 1 求证 不论为任何实数 方程总有两个不相等的实数根 m 2 若方程两根为 且满足 求的值 1 x 2 x 2 111 21 xx m 40 关于的方程 其中 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长 x0 4 1 2 22 nmxxmn 1 求证 这个方程有两个不相等的实根 2 若方程两实根之差的绝对值是8 等腰三角形的面积是12 求这个三角形的周长 41 已知关于的方程 y0422 2 aayy 1 证明 不论取何值 这个方程总有两个不相等的实数根 a 2 为何值时 方程的两根之差的平方等于16 a 42 已知方程的两根之比为 方程的两根相等 0352 2 nmxx3 2082 2 mnxx0 mn 求证 对任意实数 方程恒有实数根 k01 1 2 kxknmx 43 如果关于的实系数一元二次方程有两个实数根 x03 3 2 22 mxmx 那么的最小值是多少 22 1 1 第 8 页 共 15 页 44 已知方程的两根为 且 又知根的判别式 求的值 0 2 baxx 1 x 2 x04 21 xx25 ba 45 求一个一元二次方程 使它的两个根是和 62 62 46 已知方程 不解方程 求作一个一元二次方程 使它的两个根分别是已知方程的075 2 xx 两个根的负倒数 47 已知方程的两个根分别为 利用根与系数的关系 求一个一元二次方程 0332 2 xxab 使它的两个根分别是 1 2 1 a1 b a b2 b a2 48 已知两数之和为 7 两数之积为12 求这两个数 49 已知两数的和等于6 这两数的积是4 求这两数 50 一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm 面积为 求这个直角三角形斜边的长 2 2 7 cm 51 已知关于的方程的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的x0 1 4 12 2 axax 长 求这个直角三角形的面积 52 试确定使的根同时为整数的整数的值 0 2 axbaxa 53 已知一元二次方程 且是腰长为 7 的等腰三角形的底边长 0524 32 2 kkxxk14 k 求 当取何整数时 方程有两个整数根 k 第 9 页 共 15 页 54 已知关于的一元二次方程有两个实根和 在数轴上 表示的x02 22 pxx 1 x 2 x 21 xx 2 x 点在表示的点的右边 且相距 求的值 1 x1 pp 答案答案 一 填空题一 填空题 1 8 9 0 m 2 2 3 3 6 4 10 5 2 5 6 10 7 1 8 2 8 9 3 10 8 11 0 12 0 13 2舍去2 14 1 舍去131 舍去31 15 1 16 2 17 4 0 0 18 3 19 3 1 20 3 或 0 21 互为倒数 22 03 2 答案不唯一 xx 23 065 2 答案不唯一 xx 第 10 页 共 15 页 24 023 2 xx 25 086 2 答案不唯一 xx 二 解答题二 解答题 1 5252 22 nnmm 原式 372566232 22 nmmnm 2 24 21 2 2121 xxxxxx 3 1 解之 232 2 21 21 21 xx axx xx 1 21 21 2 1 a x x 2 原式 12 1 2 1 xx11 21 xx 4 解之或 nxxmxx 2121 5 2 2 2 2 3222 2 22 21 21 2 21 21 2 21 n nm xx xxxx nmxxxx 1 2 1 n m 53 10 21 n m 舍去 5 11 1 1 baabba 6 3 422 ba 7 且0 4 m2 m 1 时 时 1 m036 2 xx30 22 3 m012 2 xx6 22 2 即 62 222 6 2 4 2 2 4 2 2 m m m m 化简得 解得06 2 mm23 21 mm 8 212 2 mx 9 23 5 2 2 mx 10 132 2 kx 11 1 2 23 00 mn且 12 1 2 1 第 11 页 共 15 页 13 2 2 1 2 mx 14 2 11 6 1 2 tx 15 所以原方程为 解得 2 2 4 3 3 1 p q 032 2 xx31 21 xx 16 1 方程的一个根为 0 即 此时 0 c5 m 2 方程的两根互为相反数 即 此时 0 b1 m 3 方程的两根互为倒数 即 此时 原方程为 ca 13 m08148 2 yy060 17 1 2 3 mxx xx 21 21 3 4 5 m 16 27 m2 m 18 1 方程的两根互为倒数 即 此时 ca 15 m0176 2 7 4 2 m 2 方程的两根互为相反数 即 此时 0 b 2 1 m 3 方程的一个根为 0 即 此时 0 c7 m 4 方程的一个根为 1 此时 解得 07128 mm0 m 19 20 解之 11 12 21 21 21 xx xx mxx 13 1 12 2 1 m x x 21 由题意可得 即 解得或 舍 0 4 9 a 2121 2 21 21 2 5 2 2 xxxx axx axx 2 45 2 aa1 a3 a 22 不相等的两正根 则 由题意解得 0 0 0 c b 10 7 c b 23 1 2 1 4 2 1 4 2 21 2 21 2 21 mm xxxxxx 即0 1 11 1110 2 mmmm 当时 解得 11 m065 2 xx32或 x 当时 解得1 m0 2 xx10 或x 24 化简得 所以或 舍 6 2 2 1 2 2 21 2 21 2 2 2 1 kkxxxxxx09 2 k3 k3 k 25 解得或 舍 11 1 1 m m mm 1 1 1 1 1 m2 m 第 12 页 共 15 页 26 解得或 舍 100 9 4 4 1 1 1 2 m mm 5 3 m 5 3 m 27 则有 原式 xmxx21 2 21 2 m 21 2 m41422 28 化简得 或 舍 562 2 2 2 22 21 2 21 2 2 2 1 mmxxxxxx0208 2 mm2 m10 m 29 即 21 21 21 21 11 xx xx xx xx 0 1 1 21 21 xx xx 当时 解得 舍 0 21 xx014 2 m 2 1 2 1 mm或 当时 解得 舍 0 21 xx0 1 1 21 xx 1 3 2 21 mm xx13 mm或 综上所述 3 2 1 mm或 30 不妨设 则有 得 即 21 2xx 2 221 221 2 3 x a c xx x a b xx 2 1 2 2 9 2 ac b acb92 2 3131 方法一 方法一 得 即020 22 xm10 xmx 代入 中得 解得 06 2 xx3 1 x2 2 x 当时 方程 的解为 方程 的解为 符合题意 3 x 3 13 m 3 4 3 3 16 3 当时 方程 的解为 方程 的解为 符合题意 2 x4 m22 82 综上所述 当时相同根为 当时相同根为 3 13 m3 4 m2 方法二 方法二 得 即 020 22 xm m x 1 10 代入 中得 化简为 解得 或 04 1 10 1 10 2 2 m m m 0523 2 mm 3 13 m4 m 当时由 相同根为 当时相同根为 3 13 m3 4 m2 32 得 由题意得 所以 0 22 x x 代入 中化简得 即 0 2 2 02 2 a b a c a b abacb 2 2 第 13 页 共 15 页 33 31 qp 34 547 nm 35 两边同除得 所以是同一方程的两根 0247 2 tt 2 t 07 42 2 ttt s 1 0742 2 xx 2 1 t s 2 71 t s 1 2 11 t s t st 2 1 2 7 2 2 32 3 3 323 t s t s t sst 36 因为 两式相加得 2 11 yx2 22 yx4 2121 yyxx 即 整理得 解得 舍 4 5 2 mm045 2 mm14 mm或 37 方程 有两个乘积为 1 的实根 解得 舍 1 1 2 21 m xx11 mm或 当时 方程 化为1 m012 1 2 2 axax 即0 12 1 axx 解得 不符合题意 舍去 1 12 21 xax 所以 解得 又 是整数 2 12 0 a 2 1 3 2 aa1 a 38 方程 有两根相等 008 2 mmn 且 方程 中不妨设 则有 得 即 21 3xx 2 221 221 3 4 x a c xx x a b xx 2 1 2 3 16 3 16 22 n m ac b nm 2 综上 此时原方程化为42 nm 02 4 2 kxkx 所以该方程一定有实数根 020 2 2 4 4 22 kkk 39 1 所以该方程总有两个不相等的实数根 0516 12 4 14 22 mmm 2 解得 2 1 12 14 11 21 21 21 m m xx xx xx2 1 m 40 1 所以该方程总有两个不相等的实数根 0 2 2 4 1 4 2 22 nmnmnm 2 844 22 21 2 2121 nmxxxxxx 12 22 1 2 2 n mnS 第 14 页 共 15 页 解得 所以三角形周长56 mn 162 nmC 41 1 所以该方程总有两个不相等的实数根 012 1 4 42 4 2 22 aaa 2 解得16 42 4 2 4 2 21 2 21 2 21 aaxxxxxx20 aa 或 42 方程 不妨设 则有 得 即 21 3 2 xx 2 221 221 3 2 3 5 x a c xx x a b xx 2 1 2 6 25 6 25 22 n m ac b nm 2 方程 中有两根相等 即0844 2 mnmn8 2 综上 此时原方程化为42 nm 01 3 2 2 kxkx 所以该方程一定有实数根 0 1 1 24 3 22 kkk 43 即 3 3 2 2 m m 02424 3 4 3 4 22 mmm1 m 原式 54 7 22 3 2 3 2 3 42 22 2222 mmmm 当时 原