北师大版高考数学选修23同步教案 第1部分 第3章 1 回归分析

北师大版高考数学选修23同步教案 第1部分 第3章 1 回归分析 1回归分析1线性回归方程设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x n，y n)，线性回归方程为yabx.则l xx?i1n(x ix)2?i1nx2in x2，l xy?i1n(x ix)(yiy)?i1nx i y in xy，l yy?i1n(y iy)2?i1ny2in y2，blxyl xx?i1n ixiy?i1n ix2?i1nx i y in xy?i1nx2in x2，ayb x.2相关系数计算rl xylxx lyy?i1n ix iy?i1n ix2?i1n iy2?i1nx i y in x y?i1nx2in x2?i1ny2in y2性质范围r1,1线性 (1)|r|越大，线性相关程度越高；相关程度 (2)|r|越接近于0，线性相关程度越低； (3)当r0时，两个变量正相关； (4)当r0时，两个变量负相关； (5)当r0时，两个变量线性不相关1回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法2回归直线yabx过点(x，y)，其中x1n?i1nx i，y1n?i1ny i.3相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；相关系数越接近于0，相关性越弱线性回归方程例1某班5名学生的数学和物理成绩如下表 (1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩思路点拨先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关，若相关再利用线性回归模型求解精解详析 (1)散点图如图 (2)x15(8876736663)73.2，y15(7865716461)67.8.?i15x iy i8878766573716664636125054.?i15x2i88276273266263227174.所以b?i15x iy i5x y?i15x2i5x225054573.267.827174573.220.625.ayb x67.80.62573.222.05.所以y对x的回归直线方程是y22.050.625x. (3)x96，则y0.6259622.0582，即可以预测他的物理成绩是82.一点通求回归直线方程的基本步骤1已知x与y之间的几组数据如下表x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ybxa，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是()Abb，aaBbb，aaDba.2调查了某地若干户家庭的年收入x(单位万元)和年饮食支出y(单位万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程y0.254x0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元解析以x1代x，得y0.254(x1)0.321，与y0.254x0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元答案0.2543从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位千元)与月储蓄y i(单位千元)的数据资料，算得?i110x i80，?i110y i20，?i110x iy i184，?i110x2i720. (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ybxa； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄解 (1)由题意知n10，x1n?i1nx i80108，y1n?i1ny ixx2.又?i1nx2in x2720108280，?i1nx iy in xy184108224，由此可得b?i1nx iy in xy?i1nx2in x224800.3，ayb x20.380.4，故所求回归方程为y0.3x0.4. (2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b0.30)，故x与y之间是正相关 (3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y0.370.41.7(千元).相关系数例2关于两个变量x和y的7组数据如下表所示x21232527293235y711212466115325试判断x与y之间是否有线性相关关系思路点拨首先求出r的值，再判断相关关系精解详析x17(21232527293235)27.4，y17(711212466115325)81.3，?i17x2i2122322522722923223525414，?i17x iy i2172311252127242966321153532518542，?i17y2i7211221224266211523252124393，r?i17x iy i7xy?i17x2i7x2?i17y2i7y218542727.481.3727.42781.320.8375.由于r0.8375与1比较接近，x与y具有线性相关关系一点通回归分析是定义在具有相关关系的两个变量的基础上的，对于相关关系不明确的两个变量，可先作散点图，由图粗略的分析它们是否具有相关关系，在此基础上，求其回归方程，并作回归分析4对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知n7，r0.9533；n15，r0.3012；n17，r0.4991；n3，r0.9950.则变量y和x线性相关程度最高的两组是()A和B和C和D和解析选B相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关程度越高，故选B.5某厂的生产原料耗费x(单位百万元)与销售额y(单位百万元)之间有如下的对应关系x2468y30405070判断x与y之间是否存在线性相关关系解画出(x，y)的散点图，如图所示，由图可知x，y呈现线性相关关系x5，y47.5，?i14x2i120，?i14y2i9900，?i14x iy i1080，r?i14x iy i4xy?i14x2i4x2?i14y2i4y210804547.5452447.520.9827.故x与y之间存在线性相关关系.可线性化的回归分析问题例3为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下时间x/天123456繁殖个数y612254995190 (1)作出这些数据的散点图； (2)求y与x之间的回归方程思路点拨作出数据的散点图，选择合适的函数模型转化为线性模型精解详析 (1)散点图如图所示 (2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数yc1ec2x图像的周围，于是令zln y，则x123456z1.792.483.223.894.555.25由计算器算得z0.69x1.112，则有ye0.69x1.112.一点通非线性回归问题一般不给出经验公式，这时，应先画出已知数据的散点图，把它与所学过的各种函数图像作比较，挑选一种跟这些散点图拟合得最好的函数，采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使问题得以解决6下列数据x，y符合哪一种函数模型()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A.y213x By2e xCy2e1x Dy2ln x解析选D选项A中当x8,9,10时，函数值与所给数值偏差较大，不合题意；选项B中当x10时，y2e10，远远大于4.3，不合题意；选项C中的函数在(0，)上为减函数，不合题意7在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程解由数值表可作散点图如下根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设ykx，令t1x，则ykt，原数据变为t4210.50.25y1612521由置换后的数值表作散点图如下由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系列表如下i t iy i tiy i t2iy2i141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062517.753694.2521.3125430所以t1.55，y7.2.所以b?i15tiy i5ty?i15t2i5t24.1344.aybt0.8.所以y0.84.1344t.所以y对x的回归方程是y0.84.1344x.1判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断2相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度，明确的给出有无必要建立两变量间的线性回归方程1在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤对所求出的回归直线方程作出解释；收集数据(x i，y i)，i1,2，n；求线性回归方程；求相关系数；根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是()ABCD解析选D对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(x i，y i)，i1,2，n；根据所搜集的数据绘制散点图观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是.2根据如下样本数据x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为ybxa，则()Aa0，b0Ba0，b0Ca0Da0，b0解析选B由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b0.3设某大学的女生体重y(单位kg)与身高x(单位cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71，则下列结论中不正确的是()Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心(x，y)C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析选D由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确4某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得线性回归方程ybxa中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A63.6万元B65.5万元C67.7万元D72.0万元解析选B样本中心点是(3.5,42)，则ayb x429.43.59.1，所以回归直线方程是y9.4x9.1，把x6代入，得y65.5.5下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y关于x的线性回归方程为y0.7x0.35，那么表中m的值为_.x3456y2.5m44.5解析x345644.5，y2.5m44.54m114，又(x，y)在线性回归方程上，m1140.74.50.35，m3.答案36某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如表数据记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为y45xa，当某儿童的记忆能力为12时，预测他的识图能力为_解析因为x4681047，y356845.5，所以5.50.87a，所以a0.1.当x12时，y0.8120.19.60.19.5.答案9.57某公司的生产部门调研发现，该公司第二，三季度的月用电量与月份线性相关，且数据统计如下月份456789月用电量(千瓦时/月)61627554656但核对电费报表时发现一组数据统计有误 (1)请指出哪组数据有误，并说明理由； (2)在排除有误数据后，求月用电量与月份之间的回归方程ybxa，并预测统计有误那个月份的用电量(结果精确到0.1)解 (1)作散点图如图所示因为用电量与月份之间线性相关，所以散点图的样本点分布在回归直线附近比较窄的带状区域内，而点(7,55)离其他点所在区域较远，故(7,55)这组数据有误 (2)排除(7,55)这一组有误数据后，计算得x6.4，y30.2.因为b?i15x iyi5xy?i15x2i5x29.98，ayb x33.67，所以回归方程为y9.98x33.67，当x7时，y36.2，即7月份的用电量大约为36.2千瓦时8某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568 (1)求回归直线方程ybxa，其中b20，ayb x； (