上海市实验学校2015-2016学年高二下学期期末数学试题（解析版）

上海市实验学校2015-2016学年度第二学期期末考试高二年级数学试卷（本试卷共4页，满分100分，考试用时90分钟）一、填空题：（每小题4分，共40分）1.若，则_【答案】5【解析】【分析】根据组合数公式化简，解方程即得结果.【详解】故答案为：5【点睛】本题考查组合数公式，考查基本分析求解能力，属基础题.2.从2016年3月8日起，进行自主招生的高校陆续公布招生简章，某市教育部门为了调查几所重点高中的学生参加今年自主招生的情况，选取了文科生与理科生的同学作为调查对象，进行了问卷调查，其中，“参加自主招生”、“不参加自主招生”和“待定“的人数如表：在所有参加调查的同学中，用分层抽样方法抽取人，其中“参加自主招生”的同学共36人，则_【答案】【解析】【分析】根据分层抽样列式计算即可.【详解】由题意得故答案为：80【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.3.已知，若，则_.【答案】【解析】【分析】将所给多项式配凑成符合二项展开式的形式，从而还原为，解方程求得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查二项展开式还原的问题，关键是能够配凑成符合二项展开式形式的式子，进而将式子还原为的形式.4.二项式展开式中系数的值是_【答案】6；【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】二项式展开式中： 取即，代入计算得到 故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.5.设样本数据，的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数，2，10），则，的方差为_【答案】4【解析】【分析】根据得两组数据方差关系，即得结果.【详解】因为，(，2，10）,所以，的方差为，的方差的倍，因此，的方差为4故答案为：4【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.6.如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为_【答案】【解析】分析】根据坐标确定圆锥的高与底面半径，再根据圆锥体积公式得结果.【详解】由题意得圆锥的高为,底面半径为2,所以圆锥体积为故答案为：【点睛】本题考查圆锥体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为_【答案】【解析】【分析】根据独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式求概率.【详解】两个零件中恰有一个一等品的概率为故答案为：【点睛】本题考查独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.正方体的棱长为1，是正方体内切球的直径，为正方体表面上的动点，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】先设中点为，再根据极化恒等式化简数量积，最后根据对角线长可得最大值.【详解】设中点为，则为正方体的中心，所以故答案为：【点睛】本题考查向量数量积，考查综合分析求解能力，属中档题.9.已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_.【答案】 【解析】【分析】利用点到平面的距离的向量求法计算得解.【详解】设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则,可取n，又(7，7,7)点D到平面ABC的距离d.故答案为【点睛】本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.10.设，则的所有子集的最小元素之和为_【答案】【解析】【分析】先确定元素，再确定该元素为最小时对应子集个数，最后利用错位相减法求和.【详解】若1为最小元素，则对应子集个数为个；若2为最小元素，则对应子集个数为个；.若n为最小元素，则对应子集个数为个；所以的所有子集的最小元素之和为设相减得故答案为：【点睛】本题考查错位相减法求和以及子集个数，考查综合分析求解能力，属中档题.二、选择题：（每小题4分，共16分）11.下列四个命题：任意两条直线都可以确定一个平面；若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；若直线l上有一点在平面外，则l在平面外.其中错误命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面外，则由直线与平面的位置关系得l在平面外.【详解】在中，两条异面直线不能确定一个平面，故错误；在中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故错误；在中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体SABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故错误；在中，若直线l上有一点在平面外，则由直线与平面的位置关系得l在平面外，故正确.故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.12. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）A. 这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D. 该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】根据分层抽样和系统抽样定义判断A，B，求出五名男生和五名女生成绩的方差判断C.A，不是分层抽样，因为抽样比不同B，不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知C，五名男生成绩的平均数是90，五名女生成绩的平均数是91，五名男生成绩的方差为s12(1616440)8，五名女生成绩的方差为s22(94494)6，显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差D，由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩【此处有视频，请去附件查看】13.在的展开式中，含项的系数是 （ ）A. 30B. 30C. 70D. 90【答案】A【解析】【分析】由二项式展开式可知因式展开式中的次数都为偶次，所以与相乘得到是展开式中的项，与相乘不会出现，与相乘得到是展开式中的项，从而得到答案.【详解】由二项式展开式，可知，与相乘得到是展开式中的项，为，展开式中的次数都为偶次，所以与相乘不会出现，与相乘得到是展开式中的项，为所以项的系数是.故选A项.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，属于简单题.14. 在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有A. 56个B. 57个C. 58个D. 60个【答案】C【解析】试题分析：第一类23154，有1个，第二类234*形式，有2个，第三类235*形式，有2个，第四类24*形式，有个，第五类25*形式，有个，第六类3*形式，有个，第七类41*形式，有个，第八类42*形式，有个，第九类43*形式，有个，合计共58个考点：排列组合问题点评：将大于23145且小于43521的数按首位不同由小到大分类，依次找到各类中包含的数字求其总数正确求解本题的前提是合理的分类三、解答题：（第15题、第16题每题10分，第17题、第18题每题12分）15.（1）7名学生站成一排，甲、乙只能站在两端的排法有多少种？（结果用数值表示）（2）7名学生站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（3）7名学生站成一排，甲、乙和丙3名学生必须相邻的排法有多少种？（4）7名学生站成一排，甲、乙两名学生必须相邻，而且丙不能站在排头与排尾的排法有多少种？（5）7名学生站成一排，甲、乙和丙3名学生都不能相邻的排法有多少种？【答案】（1）240；（2）2400；（3）720；（4）960；（5）1440【解析】【分析】（1）先排甲、乙，再排剩下5人，最后根据分步乘法原理求结果；（2）先安排除甲乙外5人站在排头和排尾，再排剩下5人，最后根据分步乘法原理求结果；（3）将甲乙丙看成一个元素，排5人，然后排甲乙丙，最后根据分步乘法原理求结果；（4）先安排丙，再将甲乙看成一个元素，分类排甲乙，然后排剩下4人，最后根据分类加法原理和分步乘法原理求结果；（5）先安排除甲乙丙外4人，再插入甲乙丙，最后根据分步乘法原理求结果.【详解】（1）先排甲、乙，有2种排法，再排剩下5人，有种排法，所以所求排法有种方法；（2）先安排除甲乙5人站在排头和排尾，有种排法，再排剩下5人，有种排法，所以所求排法有种方法；（3）将甲乙丙看成一个元素，排5人，有种排法，然后排甲乙丙，有种排法，所以所求排法有种方法；（4）若丙排在第2位或第6位，再将甲乙看成一个元素，此时甲乙有种排法，然后排剩下4人，有种排法；若丙排在第3，4，5位，再将甲乙看成一个元素，此时甲乙有种排法，然后排剩下4人，有种排法；所以所求排法有种方法；（5）先安排除甲乙丙4人，有种排法，再插入甲乙丙，有种排法，所以所求排法有种方法.【点睛】本题考查分类与分布计数原理以及相邻问题和不相邻不相邻问问他，考查综合分析求解能力，属中档题.16. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）【答案】（1）；（2），；（3）第4组.【解析】试题分析：（1）由频率分布表知，100人中有10人阅读时间不少于12小时，所以由对立事件的概率计算公式得p=；（2）由频率分表知，阅读时间在4，6）的共17人，所以样本落在该组的概率为017，则频率分布直方图中样本落在4，6）的小矩形的面积为017，从而求出矩形的高即a的值，同理得到b的值；（3）可以通过频率分布表或频率分布直方图求出平均数即可知平均数在那一组试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是；（2）课外阅读时间落在4，6）的有17人，频率为017，所以，课外阅读时间落在8，10）的有25人，频率为025，所以，（3）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组考点：频率分布表和频率分布直方图的应用【方法点睛】频率分布直方图的几个常用结论：（1）所有小矩形的面积和为1；（2）小矩形的高等于样本落在该组的概率除以组距；（3）最高的小矩形的所在组的区间的中点值即为众数；（4）每个组的区间中点值乘以所在组的概率之和即为平均数；（4）样本取值m，两侧的样本数据的概率相等且为，则m即为中位数【此处有视频，请去附件查看】17.如图，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，且（1）若点、分别在棱、上，且，求证：平面；（2）若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长【答案】（1）见解析； （2）.【解析】分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积垂直关系坐标表示表示计算论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理得结果；（2）先利用向量求点面距，再根据体积公式列方程解得向量的坐标，最后根据向量的模的坐标公式求结果.【详解】（1）以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系则，因为，所以，则，即垂直于平面中两条相交直线，所以平面（2），可设，所以向量的坐标为，平面的法向量为点到平面的距离中，所以三棱锥的体积，所以此时向量的坐标为，即线段的长为【点睛】本题考查利用空间向量证线面垂直以及利用空间向量求点面距，考查基本分析求解能力，属中档题.18.已知数列为首项为，公比为的等比数列，为其前项和（1）计算、的值；（2）归纳对一切正整数成立的恒等式，并给予证明；（3）对于公比，计算的值【答案】（1），； （2）见解析； （3）时，；时，所求为0【解析】【分析】（1）根据等比数列通项公式以及二项式定理化简求值；（2）根据规律进行一般化推广，再根据二项式定理进行证明；（3）根据公比是否为1分类讨论对应数列的和，再分别根据二项式定理化简求值.【详解】（1），同理，；（2）一般结论：其中（且）证明：左边=右边.（3）时时，所求为0【点睛】本题考查等比数列通项公式、求和公式以及利用二项式定理化简求证，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.19.已知各项不为零的数列的前项和为，且，（）（1）求证：数列是等差数列；（2）设数列满足：，且，求正整数的值；（3）若、均为正整数，且，在数列中，求.【答案】（1）见解析（2）2（3）【解析】【分析】（1）通过，利用整理得，进而可知数列是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知，进而可知，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；（3）通过及分别计算出、表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论【详解】（1）证明：，整理得：，又，数列的通项公式，即数列是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知，又