北京市第101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试理科数学试题（解析版）

北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题共8小题，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.三条直线l1，l2，l3的位置如图所示，它们的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是（ ）A. k1k2k3B. k1 k3 k2C. k3 k2 k1D. k2 k3 k1【答案】D【解析】由图形可得：三条直线l1，l2，l3的倾斜角 满足： 所以k2 k3 k1故选D 2.如图所示，在长方体中，为与的交点若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接,交于点,代入整理即可【详解】由题,连接,交于点,则故选A【点睛】本题考查向量的线性运算,考查空间向量,属于基础题3.过点（-l，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ）A. x-2y-5=0B. x-2y+7=0C. 2x+y-1=0D. 2x+y-5=0【答案】B【解析】与直线x-2y+3=0平行的直线可设为x-2y+C=0因为直线过（-l，3）所以C=7故所求直线为x-2y+7=0故选B4.已知球O与正方体各棱均相切，若正方体棱长为，则球O的表面积为（ ）A. B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】球O与正方体各棱均相切，正方体棱长为则球O半径为 ，所以球O的表面积为 故选C5.在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z，使得正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】：若向量 共线，则向量所在的直线平行，此命题不正确，同一直线上的两个向量也是共线的，此时两直线重合；若向量所在的直线为异面直线，则向量不共面，此命题不正确，任意两两向量是共面的；若三个向量 两两共面，则向量共面，此命题不正确，两两共面的三个向量不一定共面，三个不共面的向量也满足任意两个之间是共面的；已知空间不共面的三个向量则对于空间的任意一个向量 总存在实数x、y、z，使得 此命题是正确的，它是空间向量共面定理；综上讨论知，只有是正确的故选B6.如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos（，）的值为（ ）A. B. 0C. D. 【答案】B【解析】 故选B7.如图，点O为正方体ABCD-ABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A光线从左向右照射得到B故选D点睛：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同8.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，则在小圆中，在大圆中，根据大圆的半径是小圆半径的 倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点而在小圆中，圆心角（是小圆与的交点）恰好等于，则，而点与点其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点与点是同一个点在不同时刻的位置由于的任意性，可知点的轨迹是大圆水平的这条直径类似的可知点的轨迹是大圆竖直的这条直径.故选A.【此处有视频，请去附件查看】二、填空题共6小题，共30分。9.若直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直，则a的值为_【答案】10【解析】直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直，所以 故答案为10 10.过原点且倾斜角为60的直线被圆所截得的弦长为_.【答案】2【解析】直线方程为，圆方程为，圆心到直线的距离，弦长点睛：处理圆的弦长问题方法有二：其一，联立方程，结合根与系数关系由弦长公式求弦长，其二，通常利用垂径定理由勾股定理来求弦长.11.正四面体棱长为，则它的体积是_【答案】【解析】如图，正四面体S-ABC的棱长为，取BC中点D，连结AD，过S作SO底面ABC，交AD于O，则AO=正四面体的体积：V=SABCSO= 故答案为12.若直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l与直线2x-3y=5平行，则m的值是_【答案】【解析】直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l与直线2x-3y=5平行，则（2m2+m-3）=（m2-m） 解得或 检验当时直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l不存，舍去；当时符合题意故答案为13.如图，在一个60的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为_【答案】【解析】在一个60的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， 故答案为14.在如图所示的棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是_；截得的平面图形中，面积最大的值是_【答案】 (1). (2). 【解析】截得的三角形中面积最大是以正方体的表面正方形的对角线所构成的等边三角形，如图中的A1C1B，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，A1C1=C1B=A1B=2SA1C1B=如图平面截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中MN=2截面面积S=2 故答案为 (1). (2). 点睛：本题考查了正方体的截面图形的面积计算，关键是判断截面的形状，根据形状计算面积三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且圆心在x轴上（1）求直线PQ方程；（2）圆C的方程；（3）若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】试题分析：（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程（2）根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；（3）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍试题解析：（1）直线PQ的方程为x+y-2=0（2）C在PQ的中垂线 即 设 由题意有或 （舍去），或（舍去）圆C的方程为（x-1）2+y2=13（3）设直线l的方程为y=-x+m，A（x1，m-x1），B（x2，m-x2），由题意可知OAOB，即=0，所以x1x2+（m-x1）（m-x2）=0，化简得2x1x2-m（x1+x2）+m2=0（*）由得2x2-2（m+1）x+m2-12=0，所以x1+x2=m+1，x1x2=代入（*）式，得m2-12-m（m+1）+m2=0，所以m=4或m=-3，经检验都满足判别式0，所以直线l的方程为x+y-4=0或x+y+3=016.如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（）由即可求解.试题解析:（I）因为，所以平面，又因为平面，所以.（II）因为，为中点，所以，由（I）知，所以平面.所以平面平面.（III）因为平面，平面平面，所以因为为的中点，所以，.由（I）知，平面，所以平面.所以三棱锥的体积.【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.17.已知圆，是轴上的动点，分别切圆于两点（1）若，求切线的方程；（2）求四边形面积的最小值；（3）若，求直线的方程【答案】（1）和；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）讨论直线斜率是否存在，根据圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率；（2）根据面积公式可知MQ最小时，面积最小，从而得出结论；（3）根据切线的性质列方程取出MQ的值，从而得出Q点坐标，进而求出直线MQ的方程【详解】（1）设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离为1，所以，所以或0，所以的方程分别为）和（2）因为，所以 所以四边形面积的最小值为 （3）设与交于 ，则，所以 在中，即，所以，所以 设，则，所以，所以，所以的方程为或【点睛】本题考查切线方程的求法、圆中最值问题及弦长问题，注意根据几何性质来求切线方程，本题属于中档题.18.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点（1）求证：B1C平面A1BD；（2）求二面角A1-BD-A的大小； （3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，由已知条件得四边形AA1B1B是矩形，由三角形中位线能证明B1C平面A1BD（2）作COAB于O，建立空间直角坐标系O-xyz利用向量法能求出二面角A1-BD-A的大小（3）设E（1，x，0），求出平面B1C1E的法向量，利用向量法能求出存在点E，使得平面B1C1E平面A1BD，且AE试题解析：（1）连结AB1交A1B于M，连结DM，因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为AB1的中点 因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，所以MDB1C 因为MD平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD （2）作COAB于O，所以CO平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中如图建立空间直角坐标系O-xyz 因为AB=2，AA1=，D是AC的中点 所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0，），A1（1，0），所以D（，0，），=（，0，），=（2，0） 设n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，所以即，令x=-，则y=2，z=3，所以n=（-，2，3）是平面A1BD的一个法向量由题意可知=（0，0）是平面